杨 鎏

(陕西学前师范学院 数学系,西安 710100)

超空间是无限维拓扑的经典研究对象.Hausdorff 建立拓扑空间后不久,Vietoris在20世纪20年代开始了超空间的研究.至20世纪70年代,Curtis-Schori-West超空间定理的出现,标志着超空间理论的基本成熟[1-5].继经典的超空间定理之后,国内外许多学者在超空间理论中又做了很多有意义的工作.例如国内学者杨忠强和日本学者SAKAI K[3,6]研究了底空间为局部紧的度量空间的超空间的拓扑结构.2007年,文献[7]又开始考虑Banach空间中闭凸集的超空间.实际上证明了n维欧氏空间Rn中所有非空闭凸集赋予Fell拓扑所构成的超空间同胚于R×Q;n=1时同胚于R×I,其中Q=[-1,1]ϖ,I=[0,1].杨忠强还把超空间理论和函数空间理论结合起来,研究了连续函数空间下方图形的超空间拓扑结构[8-9].实际上,其在超空间理论和函数空间理论进行了大量深刻而系统的研究[10-16].有关无限维拓扑学函数空间理论的详细基础知识,可参考文献[17].

底空间为线性空间的超空间拓扑结构研究,代表性论文源于1979年[18],考虑了局部凸的可度量空间紧凸集的超空间的拓扑结构.文献[19-20]研究了Banach空间上非空闭凸集的全体赋予Hausdorff度量,其超空间连通分支的拓扑结构,Banach空间超空间在广义Hausdorff度量下其度量分支的拓扑结构.本文将给出Banach空间上Hausdorff度量的若干性质,以及对偶空间上的性质.

1 超空间上的Hausdorff度量拓扑

对于度量空间(X,d),(Y,ρ), 记C(X,Y)上的一致收敛拓扑为τuc[21],则C(X,Y)上存在一个自然的无限值的相容的一致超度量duc,

定义1 设CL(X)表示空间X的所有非空闭集构成……