钱志杰

【内容摘要】根据“直角三角形”在几何计算及证明中的地位与作用及其教育价值，通过“过程教育”指导下的多次螺旋式加深发展的教学探索与反思.初步的理论求证与实践验证表明，探索中形成的教学操作方法对促进学生全面、和谐发展有积极的影响。

【关键词】过程教育直角三角形方程思想教学说明

一、课例的背景

“过程教育”是旨在满足学生全面、和谐发展的需要，关注数学结果形成与应用的过程和获得数学结果（或解决问题）之后反思过程的育人活动.浙教版《义务教育教科书·数学》八年级上册“2.6直角三角形”是认识特殊三角形的继续.直角三角形是几何图形中一个常见的基本图形，运用直角三角形相关性质来解决角与边的问题在后继学习中经常遇到；研究直角三角形中方程思想应用的方法对后继学习有指导作用.生成构造直角三角形、利用勾股定理解决线段边长问题的过程有能力发展点、个性和创新精神培养点；其蕴含的分类讨论思想、方程思想、生成基本图形的数学活动经验等，对发展学生的智力有积极的影响.基于“过程教育”的“直角三角形中方程思想的应用”的教学怎样操作？笔者在“过程教育”指导下的多次螺旋式加深发展的教学探索与反思的基础上，将形成的教学经验整理出来，供参考。

二、教学实录

环节1：经历再认三角形常规性问题的过程——体会用字母代替未知的量。

师：问题1：已知三角形的两条边长分别为3和4，求第三边长。

生1：条件不足，无法求出第三边的具体长度。

师（追问）：具体长度不能求，那能确定第三边长的取值范围吗？

生2：可以，利用三角形边长性质：两边之和大于第三边，可以算出第三边大于1小于7。

师：很好，你利用了三角形边长的性质.我们不妨设第三边长为x，根据两边之和大于第三边可以得到关于x的不等式组

3+4>xx+3>4

，

解得1

在已知普通三角形两边长的情况下，我们无法求出第三边的具体值，但是可以确定它的取值范围。

师：现在请大家继续来解决三角形边长问题。

问题2：已知直角三角形的两条边长分别为3和4，求第三边长。

生3：利用直角三角形勾股定理，解得第三边长x=32+42=5。

师：不错，你利用直角三角形特有的勾股定理，把已知两边长看作是两条直角边，求出斜边长为5，有没有同学补充的？

生4：答案也有可能为7，当4为斜边时，x=42-32=7。

师：很好，当直角三角形两边属性不明时，需要分类讨论：（1）4为直角边；（2）4为斜边。分类讨论思想是解决数学问题的一个重要思想，这个思想在几何问题中经常遇到。做题时，我们不妨简单的画出两种情况的直角三角形，结合图形更能直观的得到答案，这种数形结合的思想在解决几何问题中也是不可缺少的一种工具。

接下来请同学们模仿上述思维活动过程解决下例变式问题。

变式：已知直角三角形的两边长分别为8和15，则斜边上的中线长为。

环节2：参与尝试性质应用的活动——体会用数学思想解题的过程

师：同学们已经会解决已知两边求第三边的问题，下面请大家尝试下已知一边求一边的情况。

问题3：已知直角三角形三边长为整数，其中有一条直角边为11，求斜边的长。

师（学生独立思考5分钟后）：通过画图，发现只知道一条直角边.在求斜边的过程中，你遇到了什么困难？

生5：如果能求出另一条直角边的长，答案就呼之欲出了。

师（追问）：没错，但是另一条直角边也是个未知的量，通过刚才两个问题的解决对于未知量的处理你们有什么启发吗？

生6：可以假设另一条直角边为a，斜边长为c，根据勾股定理可列出关于a与c的方程：a2+121=c2。

师：很好，你巧妙的运用了方程思想，根据勾股定理这个等量关系得到方程.请其他同学一同列出这个方程，并尝试解出这个方程的解。

师（学生绞尽脑汁地解题，5、6分钟后）：你们能解决这个方程吗？

生7：不能，这是个二元二次方程。

师：的确，那不妨我们尝试着降次.原方程变形后可得：c2-a2=121，观察这个方程，你发现了什么？

生8：方程左边是个平方差公式，课进行因式分解得到（c+a） （c-a）=121。

师（激动）：聪明！其中a、c是整数，你能尝试解出这个方程吗？

生9：∵a、c都是整数

∴c-a和c+a也是整数

∵c+a=11c-a=11

解得c=11a=0

生10：不對不对，应该是

c+a=121c-a=1

解得

c=61c=60

师（鼓掌）：在两位同学共同的努力下，我们最终得到了正确答案，c=61，即斜边长为61.得到上述答案经历了哪几个步骤？

生11：先根据题意画出图形，再用字母表示未知的量，最好根据勾股定理列出方程并解方程。

师：不错，一般地，在直角三角形解决边长的问题中，我们常常将未知的量用字母代替，并利用勾股定理构造方程.在假设未知量的个数时，能少则尽可能的少。解方程时遇到多元化一元，高次降低次。

接下来，教师提供下列目标检测题，要求学生独立完成，并请几个同学在黑板上演示.待学生完成任务后，教师组织学生进行交流与评价。

1、如图，RtDABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°将DABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为。

2、如图，一张直角三角形的纸片ABC，两直角边AC=6cm，BC=8cm现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且AC与AE重合，求CD的长.

环节3：参与回顾与思考的活动——合作进行反思与总结

首先，教师出示下列“问题清单”，并要求学生围绕“问题清单”进行回顾与思考。

（1）本节课复习了哪些内容？我们是怎样复习的？

（2）生成用勾股定理构造方程解决直角三角形线段边长的问题的过程经历了哪几个步骤？你感悟了哪些数学思想？

（3）你對解决直角三角形线段边长问题有何感触？你认为其他哪些类型的问题也可以用此类方法解决？

其次，教师组织学生合作交流，同时教师边倾听、边评价。

第三，在此基础上教师进行总结性讲解。

三、教学说明

根据“直角三角形中方程思想的应用”的地位与作用及其教育价值，落实其全面、和谐的教学目标，需要引导学生经历生成由简单到复杂、方程思想的构造的实质性思维过程.但目前在这节课的教学中普遍存在生成思想的认知过程短暂和生成思想及方法后的反思过程缺失的问题.这有悖于“过程教育”，不能满足学生理解方法、感悟蕴含的数学思想、积淀蕴含的数学活动经验及发展能力和个性等的需要.本节课以有代表性的“题材”为载体，采用教师价值引导与学生自主建构相结合的适度开放的方法，引导学生经历了完整的认知过程——既有求简单的三角形边长的取值范围、观察直角三角形边长属性不明基础上进行分类讨论求第三边的长、用方程思想解决典型的直角三角形线段边长的认知过程，以生成解决直角三角形线段的方法，也有生成方法之后反思的认知过程，以感悟生成用方程思想解决直角三角形线段的步骤和蕴含的数学思想；既有将二元二次方程化归为一元一次方程组的认知过程，以巩固一元一次方程（组）和发展化归技能，也有化归之后反思的认知过程，以感悟用方程思想解决直角三角形线段边长问题的步骤和积淀蕴含的数学活动经验.这体现了“过程教育”，对落实全面、和谐的教学目标有积极的影响.教学实践表明，在性质教学中要实现知识、技能、能力、态度的完美统一，需要教师增强揭示方法及思想所蕴含的思维活动过程的自觉性，而引导学生经历实质性思维过程需要教师贯彻启发式教学思想——以符合“最近发展区”理论的题材为载体，运用教师价值引导与学生自主建构相结合的适度开放的方法，能使学生经历“过程”中的思维“站点”，从而能促进学生全面、和谐发展。

【参考文献】

[1]中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]范良火.义务教育教科书·数学（八年级上册）[M].杭州：浙江教育出版社，2015.

[3]郑瑄. 数学课[M].上海：华东师范大学出版社，2009.

（作者单位：浙江省象山县定塘中学）