吴黎杰,蒋志迪,吴振谦*

(1.宁波大学电路与系统研究所,浙江 宁波 315211;2.宁波大学科学技术学院信息工程学院,浙江 宁波 315211)

随着加工产业中浓度测量装置的换代升级,液体浓度的高精度测量在生产加工过程中受到越来越多的关注。如何能够快捷方便而又准确地测出液体中固定成份的浓度成为当下研究的热点[1]。

在现代化工业生产中,实时的液体浓度测量成为高端自动化生产的必要条件。通过液体浓度的实时测量,能够提高生产效率,较传统的测量方式[2]更具优势。目前,液体浓度的测量主要有光谱法[3]、密度法[4]和声波衰减法[5]。光谱法易受限于测量环境条件,而密度法操作过程繁琐,皆不易于推广到实际生产。利用超声波声速法测量液体浓度能够很好地适用于不同的生产环境,且系统结构简单、成本低廉、易于实现[6]。

超声波声速值与液体浓度呈非线性函数关系,可由声速值的变化测量液体浓度[7]。然而液体中的声速受温度影响较大[8],因此在高精度液体浓度的测量中,温度补偿必不可少。文献[5]利用超声衰减特性测量纸浆浓度,研究了不同超声频率声速值与纸浆浓度之间的关系,但未进行温度补偿,存在一定的测量误差。文献[9]利用三次样条插值对传感器进行了温度补偿,但在曲面拟合过程中使用散点值进行拟合,忽略了较大测量误差点对整体测量的影响。本文提出的超声浓度方法不仅消除了环境温度的影响,而且考虑了系统参数校正阶段测量数据的非平稳因素。测量系统采集不同浓度液体在不同温度梯度下的声速数据,通过加权预处理消除测量数据的非平稳性,减小测量误差对整体测量数据的影响。之后运用三次样条插值测量数据进行插值处理,并分别建立声速-温度(T-V)曲线模型、声速-浓度(S-V)曲线模型。最后通过S-V、T-V曲线实现三维S-T-V网线模型,运用最小二乘法对网线模型实现曲面拟合,建立S-T-V曲面模型。通过实际测量氯化钠溶液质量浓度数据表明,本测量方法受环境温度的影响较小,精度较高,具有较好的实际应用和推广价值。

1 实验装置

液体浓度测量装置由恒温水浴锅、换能器组、液体容器、声速测量系统、PC机组成,液体浓度测量装置平台如图1所示。

图1 液体浓度测量装置平台

液体容器置于恒温水浴锅(力辰科技 HH-2双孔水浴锅)中。恒温水浴锅对待测溶液进行加热,温控精度≤0.1 ℃。液体浓度测量装置通过换能器组及声速测量系统获得超声在待测液中传播的声速,由串口传至PC机,之后进行数据拟合、建模分析得到S-T-V曲面特性,从而实现超声液体浓度测量。

声速测量系统利用飞行时间测量声速[10],如图2所示。该系统主要由FPGA、单片机、双路AD等电路构成。系统发射1 MHz正弦波激励信号,通过超声波发射换能器在待测液体中传播声波,接收换能器接收到具有延时的正弦波信号。声速测量系统由双路AD电路对发射信号和接收信号进行分别采样并存储在FPGA中,然后由单片机通过访问FPGA存储的数据进行声速计算。该系统实现飞行时间的测量精度为 ±5 ns,声速测量精度可达0.01 m/s。

图2 声速测量系统

图3 曲面拟合算法流程图

2 拟合算法及模型构建

获得S-T-V曲面特性是超声浓度高精度测量的关键。S-T-V曲面拟合算法如图3所示,共可分为3个步骤。第1步数据预处理:利用熵权法[11]对采集的非平稳数据进行加权预处理,从而减小非线性测量误差的影响。第2步插值处理:通过三次样条插值对预处理数据进行插值处理,为后续的曲线拟合提供更多的拟合数据点,提高曲线的拟合优度。第3步曲面模型构建:首先进行单曲线拟合,通过计算拟合优度的选优方法,选择最佳曲线拟合函数类型,从而构建T-V曲线模型、S-V曲线模型,最后运用最小二乘法对T-V曲线和S-V曲线进行曲面拟合,最终实现S-T-V曲面模型的建立。

(1)

当确定系数R2越趋近1时表明拟合曲线的拟合程度越好,本文中选用确定系数R2以选优的方式选择曲线和曲面拟合函数的类型。

2.1 数据预处理

在校正过程中,浓度测量系统为提高数据测量的可靠性,一般采用加热与降温两阶段进行数据测量,以减小温度变化过程的影响,然而这种操作导致获得的数据为非平稳数据[13]。此时,直接对非平稳数据拟合,偏差不可避免。因此,在拟合之前进行数据预处理有助于降低系统测量误差。对非平稳数据进行权重分析,利用权重系数获得测量数据的真实估计,从而减小数据测量误差。浓度测量系统中获得的声速值具有一定的独立性,此时可利用熵权法对测量过程的各组数据进行分析,由各组数据的熵值计算[14]其信息量作为该组数据的权重大小,并获得该组的最终测量数据。

原始测量数据为n×m矩阵,其中m表示在每个测量点处的测量组数,n表示在每个测量点处每组的测量次数。标准化处理后得到规范化矩阵Znm,并进行如下归一化处理:

(2)

利用熵权法求得各组数据的熵值[14]Hj(s)为:

(3)

各组数据的权重系数Wj(s)为:

(4)

(5)

利用熵权法对各组的原数测量数据进行权重分析,利用权重大小获得各组的测量数据,实现数据预处理,减少非平稳测量过程中的系统测量误差,即减小传感器非线性测量误差。

2.2 插值处理

插值处理后的数据,增加了参与拟合的数据量,可提高曲线的拟合优度。三次样条插值在节点区间上二阶连续可导,可保证各数据节点间具有连续性。利用三次样条曲线插值处理可得到平滑的插值点[15]。三次样条插值在相邻数据节点间通过三次样条函数进行插值计算得到。假设有t个数据节点,且对应的数据节点为(x1,y1)(x2,y2)…(xs,ys)…(xt,yt)。则t-1段三次样条函数为:

(6)

式中:每段函数的定义域为x∈[xs,xs+1]s=1,2,…,t。

由三次样条函数构造的必要条件得:

(7)

将式(7-1)代入式(6)可得:

as=ys

(8)

(9)

(10)

(11)

结合自然边界条件r0=rs=0得到N元一次方程组,分别可求得r1,r2,…,rs值。然后代入式(8)～式(11)可求出对应三次样条函数的系数as,bs,cs,ds,最终获得t-1段三次样条插值函数Yt-1(x)。利用三次样条插值函数对预处理得到的数据进行插值处理,为后续拟合曲线提供一系列测量数据。

2.3 模型构建

对插值处理后得到的一系列散点数据采用最小二乘法进行曲线拟合[16]。构建拟合函数集{φ1(x),φ2(x),…,φk(x)},根据式(1),由max[R2(i)]选择最优的曲线拟合函数类型。以二次多项式函数拟合为例,不同质量浓度的液体在不同温度下进行曲线拟合建立T-V曲线模型,各拟合曲线的温度表达式如式(12)。不同温度在不同质量浓度的液体下进行曲线拟合建立S-V曲线模型,各拟合曲线的质量浓度表达式如式(13)。

(12)

(13)

由T-V,S-V曲线模型得到的拟合曲线函数式(12)、式(13)可组成三维空间的S-T-V网线组。同样利用拟合优度的确定系数R2判断采用曲面拟合的函数形式。以最小二乘法二次曲面拟合[17]为例,曲面拟合方程如式(14)。采用网线组进行曲面拟合可以减小个别测量误差点对整体曲面拟合的影响,使曲面拟合达到最优。

S(V,T)=p1+p2V+p3T+p4V2+p5VT+p5T2

(14)

3 实验模型验证与分析

实验中,配置氯化钠溶液质量浓度分别为0.13%,0.62%,1.11%,1.6%,2.44%,3.03%,其中纯净氯化钠样品的称量装置为电子天平(ME3002),称量精度可达≤0.01 g。液体浓度测量装置如图1所示,由恒温水浴锅控制液体环境温度为30 ℃～50 ℃,测量声速数据每间隔5 ℃(s=1,2,…,5)进行。系统校正的测量过程中,控制恒温水浴锅3个温度过程:30 ℃→50 ℃(升温,温度梯度为正),50 ℃→30 ℃(降温,温度梯度为负),30 ℃→50 ℃(升温,温度梯度为正)。此时系统的测量过程属于非平稳过程,3个过程中对应的温度点测得各配置溶液下的声速数据100次,形成各温度下的3组测量数据,而后在MATLAB平台中对测量数据按前述方法进行建模分析、拟合。

以质量浓度0.13%氯化钠溶液在温度40 ℃时的3组测量数据为例。利用熵权法进行数据预处理,由式(5)可得结果x3为:

(15)

由式(15)可知前两组的数据权重系数大于第3组数据的权重系数。式(15)结果融合了3个非平稳过程中的测量数据,更加符合测量的实际环境因素。

通过插值处理,获得更多参与拟合的数据。预处理后的数据利用式(6)进行三次样条插值处理,处理结果如图4所示。从图4可以看出,插值后的数据保持了测量数据的连续性。同时为了说明熵权法对数据进行预处理能够减小误差点对整体测量数据的影响,图4中还标识了温度40 ℃时数据预处理的结果。图中可以看出第3组数据与其他2组存在较大的相对测量误差,通过熵权法处理后的数据相对于均值处理更能反映真实的测量数据,从而减少测量误差。

图4 各温度下0.13%的氯化钠溶液三次样条插值

单曲线拟合过程中,利用最小二乘法对插值后的数据进行曲线拟合。其中由确定系数R2来判断拟合函数的拟合效果。在系数变量相同的情况下,不同拟合函数对应的确定系数R2如表1所示。

由max[R2(i)]选用二次多项式进行曲线拟合,拟合函数如式(16)所示:

V=-2.407 1T2+29.687T+1 502.4

(16)

拟合结果及残差分析如图5所示,图5中,残差模表示插值数据与拟合值之差的绝对。

图5 0.13%的氯化钠溶液在各温度下曲线拟合

由式(12)和式(13)求得各拟合曲线的温度表达式及质量浓度表达式,其系数参数如表2所示。建立T-V曲线模型如图6所示,建立S-V曲线模型如图7所示。

表2 拟合曲线对应的系数

图7 S-V曲线模型图

图6 T-V曲线模型

从图6的T-V曲线模型可以看出,液体中声速V与温度T的线性度较差,而从图7的S-V曲线模型可以看出,液体中声速V与浓度S基本呈线性关系。

由T-V,S-V曲线模型得到的拟合曲线可组成三维空间S-T-V网线组如图8所示。此时可利用最小二乘法进行曲面拟合。选择二次曲面拟合多项式,拟合优度的确定系数R2=0.999 9,S-T-V曲面模型如图9所示。

图8 S-T-V网线组图

图9 改进拟合算法的S-T-V曲面模型

实验中,为验证本文提出方法的实际效果,浓度测量结果与直接采用均值散点进行曲面拟合[17]的算法进行了比较。通过本文提出方法进行曲面拟合可得多项式函数如式(17),而用均值散点进行曲面拟合得到的多项式如式(18)。在不同温度下,对标定质量浓度为0.864%和1.841%的氯化钠溶液运用拟合函数式(17)、式(18)分别计算S1和S2,结果如表3所示,实测结果误差如图10所示。本文测量的质量浓度的最大绝对误差仅为0.114%,而通过文献[17]方法测量的最大绝对误差达到0.188%。运用改进拟合算法测量每个数据点精度均优于散点拟合的测量精度,可减小较大误差点对整体测量误差的影响,从而提高浓度的测量精度。

S1(V,T)=25.09-0.119 9V-0.323 1T+7.098×10-5V2+8.905×10-5VT+0.000 396 2T2(17)

S2(V,T)=-90+0.053 59V-1.239T+7.471×10-6V2+0.000 637 6VT+0.001 275T2(18)

表3 质量浓度为0.864%和1.841%测量结果

图10 质量浓度实测结果误差对比

4 结论

本文提出的基于S-T-V曲面拟合的超声波液体浓度测量方法,利用熵权法对非平稳测量数据进行权重系数分析及数据预处理,减少非平稳测量过程中的系统测量误差,即减小传感器非线性测量误差。利用三次样条插值对预处理数据进行插值处理,增加了参与拟合的数据量,可提高曲线的拟合优度。在构建三维网线组的基础上,利用最小二乘曲面拟合算法提高曲面拟合优度,减小误差点对整体拟合算法的影响。通过构建S-V、T-V曲线组模型实现最终S-T-V曲面模型的建立并获得曲面拟合函数。实验中通过氯化钠溶液质量浓度测量,验证了本文提出的测量方法受环境温度的影响较小,精度较高,具有较好的实际应用和推广价值。