曾 宇，邬玉斌，宋瑞祥，吴 瑞

（北京市劳动保护科学研究所，北京 100054）

随着我国城市地铁路网逐步加密，地铁列车引发的环境振动问题近年来受到广泛关注。地铁列车振动通过隧道传入土体后，振动的传播和衰减主要在土层中完成，因此研究振动在土体中的传播和衰减特性是分析、预测地铁振动对敏感目标影响程度的重要环节[1–2]。

对于土体动力响应的建模和特征分析，学者们进行了一系列的研究。刘卫丰采用直接刚度法，计算了水平成层半空间或全空间土体在点源作用下的动力响应[3]。周凤玺等利用半解析法，研究了移动荷载作用下二维非均匀弹性半平面地基的动力响应[4]。钱建固等计算了移动荷载作用下饱和多孔介质地基的动力响应，分析了荷载速度和频率对地基动应力的影响[5]。范留明等将波阻抗界面作为次级子波源，提出了倾斜入射地震波作用下成层场地动力响应的界面子波算法[6]。刘妮娜等基于振动台模型试验，研究了地震荷载作用下地裂缝场地的动力响应[7]。王启耀等以EI Centro波和Taft波为激励，分析了水平地震作用下地裂缝场地地表加速度响应规律[8]。陈龙伟等以土层厚度和剪切波速为影响因素，分析了土层特性变异对场地动力响应的影响[9]。张建经等研究了小角度成层倾斜场地的地震动响应特征，分析了地层倾角对场地反应谱的影响[10]。范刚等基于振动台模型试验，研究了地震作用下成层场地的动力响应[11–12]。

本文基于系统辨识的方法，建模分析场地土的动力响应。结合北京某地铁环境影响评价项目，鉴于相关地铁尚未通车运营，以力锤激励为振动源强通过现场测试获得场地土加速度响应。分析连续传递函数的阶数对传递函数时域辨识的均方误差的影响，以均方误差最小化为准则，确定最优的连续传递函数辨识模型及其数学表达式。在此辨识模型基础上进行场地土传递函数增益分析、幅频响应分析和脉冲响应分析，研究场地土动力响应特性。

1 场地土动力响应试验

在北京某地铁环境振动影响评估项目中，在建地铁线路采用盾构隧道结构，地块中敏感建筑与地铁的距离分别为10 m和19.5 m。由于地铁尚未通车运营，因而以力锤激励为振动源强分析地块中敏感建筑所在位置的场地土动力响应特性。在地表设置激励点，人工施加力锤激励，通过力传感器获取激励力信号。在距离激励点10 m和19.5 m处的地表分别设置加速度响应测点，安装加速度传感器。力传感器和加速度传感器的采样频率均为2 048 Hz。

试验过程中在激励点敲击了5次，敲击的间隔约为2 s，激励力信号如图1所示。

图1 激励力时域信号

力信号曲线有5个峰值，与敲击次数一致。峰值分别出现在1.4s、3.6 s、5.6 s、7.7 s和9.7 s，与力锤敲击的间隔时间相吻合。峰值分别为3 572.7 N、4 475.9 N、4 932.4 N、4 871.2 N和4 337.6 N，其均值为4 438.0 N，极差为1 359.7 N，标准差为546.0 N。

距激励点10 m的近处响应测点的加速度信号如图2所示。

与激励力信号峰值出现时间相对应，加速度信号曲线有5个峰值。峰值分别为0.091 0 m/s2、0.101 1 m/s2、0.102 1 m/s2、0.100 6 m/s2和 0.089 3 m/s2，其均值为 0.096 8 m/s2，极差为 0.012 8 m/s2，标准差为0.006 14 m/s2。

距激励点19.5 m的远处响应测点的加速度信号如图3所示。

图2 近处响应测点加速度时域信号

图3 远处响应测点加速度时域信号

与激励力信号峰值出现时间相对应，加速度信号曲线有5个峰值。峰值分别为0.034 3 m/s2、0.035 7 m/s2、0.044 6 m/s2、0.051 6 m/s2和 0.041 7 m/s2，其均值为 0.041 6 m/s2，极差为 0.017 3 m/s2，标准差为0.007 02 m/s2。

2 场地土动力响应系统辨识

2.1 连续传递函数参数辨识

地铁环境振动的量级较小，土层完全处于弹性应变阶段，所以土层的振动传递特性与输入荷载的大小及频域分布无关，仅与土层的固有特性有关[13]。传递函数能表征系统的动态性能，且只取决于动力系统的固有特性，与激励量和响应量的形式和大小无关，因而成为研究土层中振动传播和衰减规律的有效工具[14–15]。

场地土力锤激励动力响应试验中的激励量是激励力时域信号，响应量是各响应测点的加速度时域信号，传递函数为零初始条件下响应量的拉普拉斯变换与激励量的拉普拉斯变换之比[15]，即

式中：s为拉普拉斯变量，T(s)为传递函数，R(s)和F(s)分别为加速度响应信号和激励力信号的拉普拉斯变换。

采用微分方程对场地土动力系统进行建模，该系统的传递函数可以表示为拉普拉斯变量的分式型有理式[15]，即

式中：m和n分别为传递函数分子多项式和分母多项式的阶数，ai(i=0…m)和bj(j=0…n)为传递函数的系数。该传递函数模型为连续传递函数模型，指定传递函数分子多项式和分母多项式的阶数后利用MATLAB软件的系统辨识工具箱中的函数tfest可以进行传递函数参数辨识[16]。该函数以响应量和激励量的时域信号或频域信号为输入，对于指定的m和n，基于非线性最小二乘法计算连续传递函数系数ai(i=0…m)和bj(j=0…n)及其对应的连续传递函数模型Tm,n(s)。

2.2 连续传递函数阶数影响分析

均方误差是评估辨识模型的指标，反映辨识模型的偏差程度。连续传递函数的阶数是连续传递函数模型分母多项式的阶数，其大于连续传递函数模型分子多项式的阶数，从而可以得到场地土动力系统n阶连续传递函数模型的均方误差，即

式中：MSEn为该系统n阶连续传递函数模型的均方误差，MSEm,n为该系统连续传递函数模型Tm,n(s)的均方误差。

连续传递函数模型的阶数为2～30时，近处响应测点和远处响应测点对应的连续传递函数模型的均方误差如图4所示。

图4表明随着阶数增加，系统连续传递函数模型的均方误差呈现先减小后增大的趋势，阶数为8时均方误差最小；阶数大于15时连续传递函数模型的均方误差显著增加，表明此时实测加速度与模型计算的加速度之间偏差变大，辨识模型的质量有所下降。

图4 场地土各阶连续传递函数模型的均方误差

2.3 场地土连续传递函数辨识模型及其数学表达式

连续传递函数阶数对场地土动力系统传递函数均方误差的影响分析表明阶数为8时均方误差最小，从而有

式中MSE为该系统连续传递函数模型的最小均方误差，MSEm,8为该系统连续传递函数模型Tm,8(s)的均方误差。m在不同取值情况下各响应测点连续传递函数模型Tm,8(s)的均方误差如图5所示，图5表明m为8时 MSEm,8最小。

图5 场地土连续传递函数模型Tm,8(s)的均方误差

基于均方误差最小化准则，近处响应测点和远处响应测点场地土传递函数辨识模型为连续传递函数模型T8,8(s)，将其代入式（1）可得

式中：连续传递函数的系数bj(j=0，…，8)和ai(i=0，…，8)如表1所示。

表1 场地土动力响应连续传递函数辨识模型参数

近处响应测点和远处响应测点对应的连续传递函数辨识模型的均方误差分别为1.246×10-5和3.762×10-6，表明实测加速度和根据辨识模型计算所得的加速度之间偏差较小，辨识模型能较好反映相应测点处的场地土动力响应特性。

3 场地土动力响应特性分析

3.1 传递函数增益分析

基于场地土动力响应辨识模型，计算得到近处响应测点和远处响应测点对应的传递函数增益分别为2.89×10-5和8.49×10-6。数据表明传递函数增益受响应点和激励点之间距离的影响，近处响应测点对应的传递函数增益大于远处响应测点对应的传递函数增益。

3.2 幅频响应分析

基于场地土动力响应辨识模型，将复频域上的连续传递函数转换到频域上，得到近处响应测点和远处响应测点处的场地土幅频响应如图6所示。

图6 场地土幅频响应

采用半功率带宽法，计算场地土的阻尼比[12]。近处响应测点振动的主频为0.85 Hz，其前后0.707倍峰值处对应的频率分别为0.76 Hz和1.02 Hz，阻尼比为15.3%。远处响应测点振动的主频为0.52 Hz，其前后0.707倍峰值处对应的频率分别为0.51 Hz和0.53 Hz，阻尼比为1.9%。近处响应测点的阻尼比大于远处响应测点的阻尼比，近处响应测点振动衰减更快。

3.3 脉冲响应分析

在激励点处施加脉冲激励，基于场地土动力响应辨识模型计算得到近处响应测点和远处响应测点的振动加速度如图7所示。

图7 场地土脉冲响应

近处响应测点振动加速度最大值和最小值分别为8.65×10-3m/s2和-1.78×10-2m/s2,远处响应测点振动加速度最大值和最小值分别为3.09×10-3m/s2和-2.10×10-3m/s2。近处测点的响应大于远处测点的响应，与传递函数增益分析的结论吻合。

近处响应测点和远处响应测点的振动加速度都在初始时刻幅值最大，之后振荡衰减。近处响应测点加速度曲线在1.95×10-3s出现首个正峰，峰值为初始时刻响应幅值的48.6%；远处响应测点加速度曲线在1.03×10-2s出现首个负峰，峰值为初始时刻响应幅值的68.0%。近处响应测点振动以高频为主，衰减较快；远处响应测点振动以低频为主，衰减较慢。

4 结语

本文采用系统辨识的方法对场地土动力响应进行建模和分析。结合北京某地铁环境影响评价项目，鉴于相关地铁尚未通车运营，以力锤激励为振动源强，现场实测场地土加速度响应。研究传递函数阶数对传递函数模型的均方误差的影响，基于均方误差最小化准则，获得最优连续传递函数辨识模型及其数学表达式。基于场地土动力响应辨识模型，进行场地土传递函数增益分析、幅频响应分析和脉冲响应分析。结果表明：

(1)随着阶数增加，系统连续传递函数模型的均方误差呈现先减小后增大的趋势。

(2)阶数大于15时连续传递函数模型的均方误差显著增加，实测加速度与根据模型计算所得的加速度之间偏差变大。

(3)与激励点距离较近的测点的传递函数增益较大，振动以高频为主且衰减较快。

(4)与激励点距离较远的测点的传递函数增益较小，振动以低频为主且衰减较慢。