江苏省常州高级中学 (213003) 陈 武

我们知道圆外切四边形两组对边的和相等，由此可得结论：如图1，设四边形ABCD是圆O的外切四边形，则SΔABO+SΔCDO=SΔBCO+SΔDAO.

图1 图2

圆本质上是椭圆的一种退化形式(即椭圆的两个焦点重合而成圆心)，那么椭圆的外切四边形是否也有与这个类似的结论呢？经过探究，得到结论：如图2，四边形ABCD是椭圆的外切四边形，F1、F2为椭圆的两个焦点，则SΔABF1+SΔABF2+SΔCDF1+SΔCDF2=SΔBCF1+SΔBCF2+SΔDAF1+SΔDAF2.

为了便于叙述，该结论的证明分为三部分．

引理1 已知平面上不共线的三点A、B、C坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)、(x3,y3)，则SΔABC=

结论2的证明：设点E、F、G、H分别为四个切点，则由引理2得SΔAEF1+SΔAEF2=SΔAHF1+SΔAHF2，SΔBEF1+SΔBEF2=SΔBFF1+SΔBFF2，SΔCGF1+SΔCGF2=SΔCFF1+SΔCFF2，SΔDGF1+SΔDGF2=SΔDHF1+SΔDHF2，从而SΔABF1+SΔABF2+SΔCDF1+SΔCDF2=SΔAEF1+SΔBEF1+SΔAEF2+SΔBEF2+SΔCGF1+SΔDGF1+SΔCGF2+SΔDGF2=SΔAHF1+SΔBFF1+SΔAHF2+SΔBFF2+SΔCFF1+SΔDHF1+SΔCFF2+SΔDHF2=SΔADF1+SΔADF2+SΔBCF2+SΔBCF2.