任学平， 李 攀， 王朝阁， 张 超

(内蒙古科技大学 机械工程学院，内蒙古 包头 014010)

滚动轴承是机械设备中应用最广泛的零件之一，它为旋转的轴及轴上的零件提供稳定的支撑，并保持轴的正常工作位置和旋转精度。当轴承出现早期故障时，旋转轴会出现抖动，会影响到整个设备的工作精度和生产效率，如果不能及时识别和更换轴承，轴承故障会不断加深扩大，使整个设备瘫痪，严重时甚至会发生灾难性事故。因此，准确及时地识别轴承早期故障，能够实现对设备的早期预警，可以在不破坏设备运行状态的情况下，制定合理、科学的维护方式，从而避免灾难性事故的发生[1-3]。

当轴承出现局部损伤时，相互接触的元件在受载的运行过程中会相互撞击产生周期性冲击，从而激起轴承系统的高频固有振动[4]，产生调制信号，轴承的不同元件产生损伤会出现不同的故障特征信息。而轴承故障产生的初期，低频段的故障特征往往伴有机械系统中其他干扰信号，导致故障冲击极其微弱，故障特征频率提取困难。如何准确地提取故障特征频率成为识别轴承早期故障的关键。

变分模态分解(Variational Mode Decomposing，VMD)[5]可自适应地将故障信号中高频调制信息分离出来，并且非递归式的分解方式避免了递归式分解带来的分解终止条件的确定和边界效应等问题[6]。文献[7]用VMD与Teager能量算子结合的诊断方法，在确定分解层数k值时，采用中心频率观察法，结果取得了满意的效果。文献[8]采用粒子群算法优化分解层数k值，准确提取了轴承故障特征。本文提出了一种能量差曲线法，将原始信号能量与分量的能量之差作为评价参数，选取能量差最小时的k值作为VMD最佳分解层数。

故障诊断中Teager能量算子与Hilbert变换相比较在信号的解调分析中具有一定的优势[9]，Teager能量算子首先在声音信号非线性分析处理中被提出[10]，并成功分析了调制信号。文献[11]将Teager用于轴承故障诊断中，利用Fourier变换得到能量谱，准确识别了轴承故障特征信息。文献[12]将Teager与EMD(Empirical Mode Decomposition)分解相结合，成功提取了故障特征频率。2014年，O’Toole等[13]提出包络导数能量算子。它是一种新的解调方法并且比Teager能量算子优越，该方法提高了Teager能量算子的性能，能够在较强的噪声环境下对信号进行准确地解调分析[14]。

在实际工况中，轴承早期故障特征通常被各种干扰信号和噪声所淹没。改进VMD方法对早期故障信号进行处理后，利用峭度准则选取的敏感分量中仍然存在部分噪声，而包络导数能量算子在解析信号时，具有一定的降噪效果，将两者结合，提出了改进VMD与导数包络能量算子的滚动轴承早期故障诊断方法，并通过仿真信号和实验数据对本文方法的有效性进行验证。

1 基本理论介绍

1.1 变分模态分解原理

VMD算法是通过迭代计算搜寻变分模态模型的最优解，从而确定每个本征模态分量的中心频率及带宽，进而可以将信号的频率实现自适应剖分和各分量的有效分离[15]。

假设VMD分解的各个本征模态分量都是具有中心频率的有限带宽，将信号分解为k个本征模态函数uk(t)，使得模态分量的估计带宽之和最小，约束条件为各模态分量之和与输入信号f相等，具体如下：

(1) 本征模态函数uk(t)可以看成调制信号，对uk(t)进行Hilbert变换，得到其解析信号。令解析信号与e-jωkt相乘，将每个uk(t)的频谱调制到相应的基频带。

(1)

(2) 通过对平移后解调信号梯度的平方L2范数，估计各模态信号带宽，得到受约束的变分问题为

(2)

式中:{uk}为VMD分解的模态分量;{ωk}为各模态分量的中心频率。

在变分问题中，引入二次惩罚因子α和拉格朗日惩罚因子求取最优解。

(3)

采用乘法算子交替方向法(Alternating Direction Method of Multipliers,ADMM)求得扩展拉格朗日的‘鞍点’，解决以上非约束性变分问题，将信号分解为k个本征模态分量。

在VMD分解信号时，需要预先对本征模态分量的分解个数k值进行设定。在分解实际信号时，由于噪声严重，信号多变复杂，导致分解层数无法确定。在此提出一种能量差曲线法，以原始信号与全部分量的能量差为依据，确定分解层数k值，为了保证信号分解的完整度，将能量差最小的k值作为最佳分解层数，具体步骤如图1所示。

图1 改进VMD流程图

1.2 包络导数能量算子

对于任何连续信号x(t)，Teager能量算子被定义为一个二阶微分方程

(4)

对于信号x(t)=Acos(ωt+φ)，ψ[x(t)]=A2ω2，这是Kaiser从机械系统的简谐运动能量算法中得到的一种频率加权能量算法。

对于一般的调制信号x(t)被定义为

X(t)=x(t)+jH[x(t)]

(5)

瞬时能量的典型算法是对信号的幅值进行平方

(6)

式中:H[x(t)]是对x(t)进行希尔伯特变换。信号的瞬时能量是根据振幅进行量化，如式(7)所示

S[Acos(Aω+φ)]=A2

(7)

式中:省略了任何关于频率的信息。

同Teager能量算子方法相似，包络导数算子通过选择导函数作为加权滤波器，应用傅里叶变换的性质

(8)

定义包络导数能量算子为

(9)

包络导数能量算子和Teager能量算子相似，在定义的第一部分是相同的，不同在于第二部分，两者的不同在频域中能够明显的表现出来

*X(ω)

(10)

式中:*为卷积运算。

式(9)的包络导数能量算法是对连续信号进行定义的，对于离散信号x(n)，同Teager能量算子一样，采用差分代替微分，不同的是Teager能量算子采用的是向前差分法，包络导数算子采用的是中心差分法，则包络导数能量算子离散形式为

h(n+1)h(n-1)]

(11)

1.3 基于改进VMD与包络导数能量算子的故障诊断流程

本文将改进后的VMD与包络导数能量算子结合，提出了基于改进VMD与包络导数能量算子的早期故障诊断方法。首先利用改进后的VMD将原始信号分解为k个模态分量，然后依据峭度准则选取敏感分量进行信号重构，最后应用导数包络能量算子对重构信号进行解调，得到其能量谱，根据轴承数据算出故障特征频率，判断轴承故障。

图2 轴承早期故障诊断流程图

2 仿真信号分析

为了验证该方法的有效性，建立滚动轴承局部故障特征的仿真模型，对其进行改进后的VMD分解，再根据峭度准则选取敏感分量进行重构，最后对重构后的信号进行包络导数能量算子解调，从能量谱中识别故障特征。

设定轴承故障为每转产生一次冲击，建立的匀转速轴承故障模型为[16]

(12)

式中:幅值A为1;衰减系数ξ为1 000;共振频率为3 000 Hz;故障特征频率为f=1/T=180 Hz，采样频率fx为12 000 Hz，分析所用采样点数为6 144点，冲击信号的时域波形图如图3(a)所示。n(t)表示添加为高斯白噪声，仿真信号波形如图3(b)所示。

(a) 时域冲击信号

(b) 染噪信号

下面采用本文所述的改进VMD方法对仿真信号进行分解，层数k最大取15，当k取不同值时，计算原始信号与模态分量的能量差，能量差曲线如图4(a)所示，从图中可以看出当层数k为6时，能量差最小。将k值设为6，进行VMD分解，分解结果如图4(b)所示。

计算各分量的峭度值，如图5(a)所示。根据峭度准则，选取IMF3,IMF5和IMF6三个峭度值较大的分量进行重构，重构信号如图5(b)所示，重构信号的时域波形中出现了冲击成分，但仍然存在噪声干扰，采用本文所述的包络导数能量算子解调方法，对重构信号进行解调，得到其能量谱如图5(c)所示，在能量谱中显示最大谱峰对应的频率为179.7 Hz，其他357.4 Hz,537.1 Hz,716.8 Hz的峰值频率与故障频率的倍频成分相对应，至此，本文方法成功地提取到故障特征频率。

(a) 能量差曲线

(b) 分解结果

作为对比，采用Teager能量算子对重构信号进行解调分析，分析结果如图6所示，尽管谱图中可以观察到故障特征频率，但其他频率成分干扰严重，提取效果不如图4(c)包络导数能量谱清晰。可见，包络导数算子解调有一定的降噪功能，能更有效地提取故障特征信息。

3 实验案例分析

实验采用Spectra Quest公司的机械故障综合模拟实验台，所采集的信号由DT9837型数据采集仪接入计算机进行分析保存。在实验中分别对轴承的内圈、外圈、滚动体故障的加速度振动信号进行采集。如图7所示，加速度传感器安装在靠近电机端轴承座的垂直、水平和轴向三个方向，图8为轴承元件局部损伤示意图。

3.1 外圈早期故障特征提取

外圈故障轴承采用ER-12K滚动轴承，节径D=33.5 mm，滚动体直径d=7.937 5 mm，接触角α=0°，滚动体个数Z=8。实验设置的采样频率为24 000 Hz，数据点数为12 000个点，电机转速为1 200 r/min，转频为20 Hz，轴承外圈的故障频率fouter为60.9 Hz。

(a) 各分量峭度直方图

(b) 重构信号

(c) 包络导数能量谱

图6 Teager能量谱

图7 故障诊断实验台

图8 滚动轴承元件损伤

图9(a)为轴承外圈故障时所测得的时域波形，在时域信号中，冲击成分明显，噪声成分较少。为了验证本文方法在强噪声环境下的有效性，在原始信号中加入-7 dB的高斯白噪声，染噪后的时域信号如9(b)所示，时域信号中的冲击成分已被噪声淹没。

(a) 外圈故障信号

(b) 加噪声后信号

采用本文所述的改进VMD方法对染噪信号进行处理，得到的能量差曲线如图10(a)所示，从图中可以看出当层数k值为6时，能量差最小。将k值设为6，进行VMD分解，分解结果如图10(b)所示。

计算各分量的峭度值如图11(a)所示，依据峭度准则，选取峭度值较大的IMF1和IMF6两个分量进行重构，重构信号如图11(b)所示，与染噪信号相比噪声干扰明显减少，但冲击特征依然不明显。对重构信号进行包络导数能量算子解调，得到其能量谱如图11(c)所示，从能量谱中能够清晰地看到轴承外圈故障频率62 Hz及其2,3,4等倍频成分。至此，本文方法成功地提取到外圈故障特征频率，实现了对轴承外圈早期故障的精确诊断。

作为对比，图12为采用Teager能量算子对重构信号进行解调得到的能量谱，虽然在谱图中能观察到外圈故障特征频率及其2倍频成分，但是谱图中含有较多的干扰成分，解调效果不如图11(c)中清晰。

3.2 内圈早期故障特征提取

内圈故障轴承采用ER-16K滚动轴承，节径D=38.5 mm，滚动体直径d=7.937 5 mm，接触角α=0°，

(a) 能量差曲线图

(b) 分解结果

滚动体个数Z=9。内圈信号的采样频率为24 000 Hz，数据点数为12 000个点，电机转速为1 380 r/min，转频为23 Hz，内圈的故障特征频率finner为124.9 Hz。图13为内圈故障时所测得的振动信号，由于噪声干扰严重，时域信号中的故障冲击成分被淹没。

根据图14可知最佳分解层数为6，将k设为6，对内圈故障振动信号进行VMD分解。再根据峭度准则，选取峭度值较大的IMF1,IMF5,IMF6三个分量进行重构，重构信号如图15所示。虽然重构信号中仍然存在部分噪声，但可以看到比较明显的冲击成分。

应用包络导数能量算子对重构信号进行解调分析，得到能量谱如图16所示，从能量谱中可以看到故障特征频率124 Hz以及2倍频、3倍频成分，至此，本文方法成功地提取到内圈故障特征频率，实现了对轴承内圈早期故障的精确诊断。作为对比，应用Teager能量算子对重构信号进行解调处理，结果如图17所示，谱图中其他频率成分干扰严重，仅能观察到一倍故障特征频率，解调能力明显不如导数包络能量算子。

3.3 滚动体早期故障特征提取

滚动体故障轴承采用ER-12K轴承，采样频率为24 000 Hz，数据点数为12 000个，电机转速为3 000r/min，转频为50 Hz，滚动体的故障特征频率fball为99.6 Hz。滚动体故障时所测得振动信号如图18所示，故障冲击成分被噪声淹没，因此仅根据时域信号很难进行诊断。

(a) 各分量峭度直方图

(b) 重构信号

(c) 包络导数能量谱

图12 Teager能量谱

图13 内圈故障时域信号

根据图19可知最佳分解层数为6，将分解层数k设置为6，对滚动体故障振动信号进行VMD分解；然后依据峭度准则，选取峭度值较大的IMF4和IMF5两个分量进行信号重构，重构信号如图20所示。

图14 能量差曲线图

图15 重构信号

图16 包络导数能量谱

图17 Teager能量谱

图18 滚动体故障时域信号

采用包络导数能量算子对重构信号进行包络解调，得到其能量谱如图21所示，从谱图中可以观察到滚动体故障特征频率98 Hz及其倍频成分。至此，本文方法成功地提取到滚动体故障特征频率，实现了对轴承滚动体早期故障的精确诊断。图22为对重构信号采用Teager能量算子解调后得到的能量谱，与图21对比可知，图21中包络导数能量谱的特征要优于图22中Teager能量谱。

图19 能量差曲线图

图20 重构信号

图21 包络导数能量谱

图22 Teager能量谱

4 结 论

本文研究了基于改进VMD与包络导数能量算子的早期故障诊断方法，通过对仿真信号和实验数据分析结果可知，该方法非常有利于强噪声背景下故障特征的提取，在轴承早期故障诊断中具有一定的优势。

(1) 改进VMD以原始信号与本征模态分量的能量差作为评价参数，自适应地确定VMD的最佳分解层数k，有效地解决了VMD分解层数难以确定的问题；利用改进的VMD对故障信号进行分解，再依据峭度准则，选取敏感分量进行信号重构，有效地降低了噪声干扰，保留了故障冲击成分。

(2) 对含有较强噪声的信号进行解调时，包络导数能量算子与Teager能量算子相比，能够有效地抑制噪声，增强故障冲击，更有利于故障特征的提取。

(3) 综合两种方法的优势，将改进VMD与导数包络能量算子相结合应用于轴承早期故障诊断中，保证了轴承早期故障特征提取的准确性与故障诊断的可靠性，为实际工程应用提供了一种切实可行的新方法。