刘旭堂

摘要：可导函数的一致连续性是高等数学当中的重要内容，本文主要研究了如何通过一致连续性的定理来对可导函数进行一致连续性判断的方法，使可导函数的一致连续性判断更加简洁、明了。

关键词：可导函数；一致连续性；判定；方法

在高等数学中，有很多种方法可以证明函数的一致连续性，但是大多数都是使用定义来进行判定，比如：假设f（x）为定义在区间I上的函数，如果对于任意的ε>0，存在δ=δ（ε）>0，对于任意的x′，x〞∈I，那么只要|x′-x〞|<ε，我们就可以说f（x）在区间I上是一致连续的。还可以根据一致连续性定理来进行判定，比如：假设函数f（x）在闭区间[a，b]上是连续的，那么f（x）在闭区间[a，b]上就是一致连续的。由此可见，利用定义来证明函数的一致连续性比较复杂，使用一致连续性定理来证明函数的一致连续性则比较简单，但是定理证明的范围仅限于闭区间，如果函数是在其他类型，如开区间或者半开半闭区间则不适用，如何找到一个方便实用的函数连续一致性判定方法称为数学界一直以来重点研究的问题。

引理：如果f（x）在区间I1上具有一致连续性，在区间I2上也具有一致连续性，并且I1∩I2≠Φ，那么f（x）在I1∪I2上具有一致连续性。

1.利用导数判别可导函数的一致连续性

定理1：假设函数f（x）在区间I上可导，并且它的导函数f′（x）在区间I上有界，那么f（x）在区间I上具有一致连续性。

推论1：假设f（x）在[a，﹢∞]上是连续的，并且在（a，﹢∞）上可导，如果f′（x）在﹢∞的某邻域内有界，那么f（x）在[a，﹢∞]上是一致连续的。

证明：由上述条件可知，?X>a和L>0，當x∈[X，﹢∞）时，| f′（x）|≤L，通过定理1可以推算出f（x）在[X，﹢∞）上具有一致连续性。……