范建平，闫 彦，吴美琴

FAN Jianping,YAN Yan,WU Meiqin

山西大学 经济与管理学院，太原 030006

School of Economics and Management,Shanxi University,Taiyuan 030006,China

1 引言

随着参与人数的增加，决策速度变得更缓慢，决策过程也变得更复杂。因而多属性群决策在现代决策理论和决策科学中发展为一个极为重要的研究领域，在工程、物流、医学及军事等诸多方面都有着广泛的应用。Zadeh提出用隶属度表示决策信息的不确定性和模糊性，模糊集[1]（Fuzzy Set，FS）理论迅速发展起来。然而仅仅通过隶属度描述不确定性是不够的，因此Atanassov等提出同时用非隶属度和犹豫度的概念来表达决策信息的模糊性和不确定性，将其扩展到了直觉模糊集[2]（Intuitionistic Fuzzy Set，IFS）理论。随后Gau和Buehrer定义了Vague集[3]。Torra等[4-5]提出犹豫模糊集（Hesitant Fuzzy Set，HFS）的概念，允许隶属度可以以多个可能值集合的形式存在，用来表达专家在决策过程中表达目标偏好时的犹豫程度。虽然模糊集已经发展很广泛，但仍然无法解决隶属度和非隶属度之和大于等于1的情况。比如，一位专家表达他认为方案满足某准则的程度是0.8，不满足程度是0.4。这种情况就无法用直觉模糊集解决。因此，Yager[6]提出Pythagorean模糊集（Pythagorean Fuzzy Set，PFS），扩大了隶属度和非隶属度的空间范围，即拓展到隶属度与非隶属度平方之和小于等于1。Pythagorean隶属度和复数之间的关系也很好地被Yager和Abbasov[7]讨论，并证明Pythagorean隶属度是复数的一个子集，称作π-i数，并提出集结算子对准则满意度进行集结。

各位学者将不同的方法引入PFS中。Ren等[8]基于前景理论，将TODIM方法运用在Pythagorean模糊集中，并分析了风险如何影响心理行为。Zhang[9]在多准则Pythagorean模糊环境下提出一个分层的QUALIFLEX方法，并用贴近度索引排名法对Pythagorean模糊数（Pythagorean Fuzzy Number，PFN）进行排名，同时提出区间PFS的概念。Garg[10]提出一个新的相关系数和加权相关系数公式来计算两个Pythagorean模糊集的关系，并用在模式识别和医疗诊断。Garg[11]在解决多准则决策问题时基于区间Pythagorean模糊环境提出了一个新的精确函数，它考虑到了未知的犹豫度。Zhang[12]提出了一个新的基于相似度测量的方法来解决基于PFN的多准则群决策问题。Peng等[13]定义了两个新的运算，除法和减法，并对其性质深入研究，也拓展了一个Pythagorean模糊优势和劣势排序法来解决多准则不确定群决策问题。Peng等[14]将PFS的特征和软集的参数化相结合构造了毕达哥拉斯模糊软集，并对其德摩根定律进行讨论，还设计了基于Pythagorean模糊整合算子的决策算法，并对其计算复杂度进行了分析。Gou等[15]对Pythagorean模糊信息的一些基本性质进行研究，把PFN看作变量，并根据其基本运算把所有变化的值分为8个区域，同时对其基本性质中的连续性、可导性和可微性进行详细探讨。

为了对决策信息进行集结，Ma等[16]、Peng 等[17]、Garg[18]和 Peng 等[19]基于对称性、Choquet积分、Einstein运算和语言集分别提出了对应的集结算子。Peng等[20]提出了区间Pythagorean模糊加权平均（IVPFWA）算子和区间Pythagorean模糊加权几何（IVPFWG）算子，以及一个新的区间Pythagorean模糊ELECTRE方法来解决不确定多属性群决策问题。Peng等[21]提出了几个新的Pythagorean模糊点集结算子，可以根据某些参数调整集结信息的大小。Zeng等[22]提出了新的集结算子和距离测度，在集结算子中使用了距离测度，同时考虑到了每个概念的重要程度，并提出了一个混合的TOPSIS方法来解决Pythagorean模糊多准则决策问题。

基于Luca等[23]提出的模糊熵概念，Bhandari等[24]在模糊集中通过隶属函数定义了交叉熵。最大交叉熵原理[25]可以被用来从大数据库中选择有代表性的样本，被用在机器学习和决策树中。Mao等[26]基于直觉模糊集提出了一个新颖的交叉熵和熵测度，并将其应用到模式识别和决策中。

Zhang等[27]将TOPSIS扩展到了PFS中，并基于PFN定义了得分函数和距离的概念。首先提出得分函数来确认Pythagorean模糊正理想解和负理想解，同时定义了两个PFN之间的距离，采取了欧氏距离的表示形式，但是根据所定义的距离对PFN进行集结时会忽略掉一些模糊信息。因此，本文定义了两个PFN之间的交叉熵，并采用交叉熵来测定它们之间的“距离”，以此消除在距离测度中使用欧氏距离引起的不确定性，可以更大程度地保留不确定信息。本文主要在TOPSIS原理的基础上，采取交叉熵描述两个PFN之间的差异程度，最终通过每个方案和正、负理想解之间的相对贴近度来选出最优的方案。本文最主要的创新之处便是将交叉熵概念引入Pythagorean模糊集中，并提出了两个Pythagorean模糊集交叉熵测度。最后通过算例，以及与其他文献中所提方法的比较分析验证了本文方法的有效性。

2 相关概念

2.1 Pythagorean模糊集

定义1[7]设X是一个非空集合，则X中任意的Pythagorean模糊集P表达如下：

函数μP(x)和νP(x)分别表示集合P中元素x∈X的隶属度和非隶属度，满足约束条件表示元素x属于P的犹豫度（不确定程度），πp(x)的值越小说明关于x的信息越多，也越为精确；反之亦然。

为了简便，PFS的元素(μP(x),νP(x))称作一个Pythagorean模糊数[27]，记为γ=P(μP,νP)，其犹豫度同样满足

定义2[27]P的补集定义为PC,PC={＜x,νP(x),μP(x)＞|x∈X}。

定义3[6]γ1=P(μP1,νP1) 和γ2=P(μP2,νP2) 是 两 个PFN，二者之间的一个拟排序定义如下：

γ1≥γ2当且仅当μP1≥μP2且νP1≤νP2

定义4[27]记γ=P(μP,νP)是一个PFS，则γ的得分函数定义如下：

定义5[11]一个PFN记作γ=P(μP,νP)，则γ的精确函数定义如下：

γ1=P(μP1,νP1)，γ2=P(μP2,νP2)，可分别根据二者的得分函数和精确函数对其比较大小，方法如下：

（1）若S(γ1)＞S(γ2)，则γ1＞γ2。

（2）若S(γ1)=S(γ2)，则：

① 若h(γ1)＞h(γ2)，则γ1＞γ2；

② 若h(γ1)=h(γ2)，则γ1=γ2；

③ 若h(γ1)＜h(γ2)，则γ1＜γ2。

2.2 TOPSIS方法

在Pythagorean模糊环境下根据TOPSIS原理，定义Pythagorean模糊正理想解（PIS）和Pythagorean模糊负理想解（NIS）[27]。TOPSIS的原则是最优方案应该与正理想解PIS有着最小距离，同时与负理想解NIS有着最大距离。考虑到决策信息采取PFN的格式，因此使用定义4中得分函数来确定Pythagorean模糊PIS和Pythagorean模糊NIS。将Pythagorean模糊PIS[27]定义为x+，并且具有下列形式：

在实际的多准则决策问题中，并不一定存在Pythagorean模糊PIS，即x+并非可行的方案，不满足x+∈X。反之x+就是多准则决策问题中的最优方案。然而，方案与x+有最短距离并不能保证与Pythagorean模糊负理想解（NIS）有最大距离。定义Pythagorean模糊NIS[27]为x-，表达如下：

同样，通常在实际的多准则决策问题中，也不一定存在x-，即x-也许是一个非可行方案，x-∈X。否则，x-在多准则决策问题中就应该是最差的方案，在决策过程中应该首先被剔除。

2.3 Pythagorean模糊交叉熵

基于模糊集交叉熵的定义，本文提出两个PFS的交叉熵定义。

定义7 设A、B为两个PFS，A=(μA(xi),νA(xi)),B=(μB(xi),νB(xi))，则A、B之间的Pythagorean模糊交叉熵IPFS(A,B)定义为：

式（3）和式（4）中，IPFS(A,B)均说明了A、B之间的差异程度，也称为两个PFS之间包含的差异信息。因为IPFS(A,B)均不具有对称性，所以A、B之间的对称差异测度表示为：

定义6[24]设A、B是两个模糊集，X={x1,x2,…,xn}是一个有限论域，A,B∈X，则A相对于B的交叉熵为：

DPFS(A,B)称为两个PFS的对称差异信息测度。

定理1A、B是两个PFS，将A、B之间的对称差异信息测度定义为DPFS(A,B)，则下列定理成立：

（1）DPFN1(A,B)=DPFN1(B,A)且

DPFN2(A,B)=DPFN2(B,A)；

（2）DPFN1(A,B)=DPFN1(AC,BC)且

DPFN2(A,B)=DPFN2(AC,BC)，AC和BC分别是A和B的补集，见定义2；

（3）DPFN1(A,B)≥0（DPFN1(A,B)=0当且仅当A=B)，DPFN2(A,B)同样成立；

（4）A、B之间区别越大，则DPFN1(A,B)、DPFN2(A,B)越大。

证明 很显然定理中（1）和（2）是成立的，（3）和（4）的证明如下。

首先证明定理（3）。考虑等式（7）：

x∈[0,1]且y∈[0,1]。显然不论x≥y或y≥x，函数f1(x,y)≥0总是成立。

根据交叉熵公式（5），下列公式可以得到：

因为 ∀(μA(xi),μB(xi),νA(xi),νB(xi))∈[0,1],且由式（7）有f1(x,y)≥0，所以 (tanμA(xi)-tanμB(xi))×tan(μA(xi)-μB(xi))≥0,(tanνA(xi)-tanνB(xi))×tan(νA(xi)-νB(xi))≥0。则有DPFS1(A,B)≥0成立。尤其是DPFS1(A,B)=0成立当且仅当μA(xi)=μB(xi)，νA(xi)=νB(xi)，即A=B。

然后证明定理（4）。A=(μA,νA)，B=(μB,νB)和C=(μC,νC)是3个PFS。假设A≥B≥C，根据定义3有，μA≥μB≥μC，νA≤νB≤νC，由式（8）可得：

此外，容易得到下列不等式是正确的。显然，DPFS1(A,C)≥DPFS1(A,B)成立。同样可证明DPFS1(A,C)≥DPFS1(B,C)成立。

同理可证DPFS2，此处略。

3 模型构建

多准则决策问题可通过一个决策矩阵来表达，它的元素即每个方案在每个准则下的估计值。现考虑一个Pythagorean模糊环境下的多准则决策问题，X={x1,x2,…,xm}(m≥2)是m个方案的集合，C={C1,C2,…,Cn}是n个准则的决策准则集，W=(w1,w2,…,wn)T是所有准则对应的权重向量，满足0≤wj≤1且现在定义方案xi(i=1,2,…,m)在准则Cj(j=1,2,…,n)下的估计值为Cj(xi)=(uij,vij)，则R=(Cj(xi))m×n就是一个Pythagorean模糊决策矩阵。因此，元素是PFN的多准则决策问题有如下的矩阵形式：

矩阵中的每一个元素Cj(xi)=P(uij,vij)是一个PFN，uij表示方案xi满足准则Cj的值，vij表示方案xi不满足准则Cj的值。

为了有效求解包含PFN的多准则决策问题，本文提出一个Pythagorean模糊环境下基于交叉熵和TOPSIS方法，具体步骤如下：

步骤1标准化决策矩阵。

决策矩阵R中决策信息Cj(xi)必须是标准化后的。对于一个元素是PFN的多准则决策问题，先建立决策矩阵元素是Cj(xi)(i=1,2,…,m,j=1,2,…,n)，表示方案xi∈X在准则Cj∈C下的评估值。准则可以分为成本准则和效益准则，可以根据下列公式标准化决策信息：

B是效益型的准则集，C是成本型的准则集，的补集。标准化后的矩阵为：

R=(Cj(xi))m×n

步骤2计算x+和x-。

根据式（1）和式（2）确定Pythagorean模糊正理想解x+和负理想解x-。

步骤3计算方案xi和x+以及x-之间的交叉熵。

根据式（5）和式（6）分别计算第i个方案xi与Pythagorean模糊正理想解x+和负理想解x-之间的交叉熵，以xi和x+以及x-之间的交叉熵分别来替代xi和x+与x-之间的距离。

步骤4计算方案xi的相对贴近度。

基于TOPSIS原理计算方案xi的相对贴近度[8]，记为ζ(xi)(i=1,2,…,m)，其计算公式如下：

步骤5确定最优方案。

ζ(xi)越大，则方案越优；反之亦然。基于所有方案的最优顺序确定最优方案。

4 算例分析

算例是一个绿色供应商的选择问题。有5个待选的绿色供应商X={x1,x2,x3,x4,x5}，6个准则C={C1,C2,C3,C4,C5,C6}，分别代表“产品质量”、“柔性”、“安全因素”、“服务”和“提前期”，以选出最优的绿色供应商。表1是其Pythagorean模糊决策表，表内每一个元素分别代表该供应商在相对应准则下的评价值，用PFN的形式表示，相对于决策矩阵的权重向量为W=(0.20,0.10,0.30,0.15,0.15,0.10）T。

步骤1标准化决策矩阵。

因为准则都是效益型准则，所以决策矩阵不变。

步骤2计算x+和x-。

根据式（1）和式（2）计算x+、x-，结果如下：

表1 Pythagorean模糊决策矩阵

步骤3根据式（5）中DPFS1(A,B)计算供应商xi分别与x+和x-之间的交叉熵，结果见表2；根据式（6）中DPFS2(A,B)计算供应商xi分别与x+和x-之间的交叉熵，结果见表3。

表2 由本文交叉熵DPFS1(A,B)得到的结果

表3 由本文交叉熵DPFS2(A,B)得到的结果

步骤4由式（9）分别计算供应商xi的相对贴近度ζ(xi)，结果见表2和表3。

步骤5根据相对贴近度选出最优的绿色供应商。由表2得4个供应商的排序为：

因此最优的供应商是x3，最劣的供应商是x4。

表4是本文所提的方法（有序数对分别为各方案与正、负理想解的交叉熵，根据相对贴近度进行排序）和文献[27]中TOPSIS法（有序数对分别为各方案与正、负理想解的距离，根据相对贴近度进行排序）和文献[6]（有序数对分别为各方案经过算子集结后的结果，根据得分函数进行排序）中提出的两个集结算子以及文献[26]中提出的交叉熵计算结果的比较。为了更形象、直观地表示各方案的排名结果，包括TOPSIS方法、PFWA算子、PFWG算子以及本文提出的交叉熵1和2，将所有结果绘于图1。与已有方法的排名结果相比较，最优供应商是一样的，都是x3，其他方案之间的排名有偏差，但是两个交叉熵公式结果对于最优方案和最劣方案的一致性验证了其稳定性和可行性。与文献[27]中的TOPSIS方法相比较，文献[27]计算两个PFS之间的“距离”时采用简单的欧几里德距离，会丢失掉一些不确定信息，本文方法采用交叉熵对PFS之间进行差异测度，考虑到评价过程中信息具有的模糊性和评价准则之间的关联，消除了欧氏距离带来的不确定性，是一个较为合适的不确定信息和不连续信息测量。

表4 对于算例不同方法的计算结果

图1 5种方法的比较结果

5 结语

Pythagorean模糊集由于比直觉模糊集有更广阔的范围，因此可以被用于解决现实中直觉模糊集所不能解决的包含不确定、不完整和不一致信息的问题。本文的主要贡献如下：（1）在一般的TOPSIS方法中，采用欧氏距离测度，本文用交叉熵替代其中的距离测度，使其决策过程中包含的不确定信息更加完整，具有较高的准确性，同时减少了因为采用的测度不确定性而带来的误差。（2）本文将直觉模糊环境下的基于交叉熵与TOPSIS的方法拓展运用在Pythagorean模糊环境下，并提出Pythagorean模糊集中交叉熵的概念，同时提出两个交叉熵公式，丰富了Pythagorean模糊集的研究。最后，基于相同算例下本文方法和其他不同方法得到结果的比较分析也表明了本文方法的有效性和应用性。

未来，根据实际应用领域的不同需求，可以对Pythagorean模糊集中的交叉熵的形式以及应用范围进行更多的研究。