李昌文 ，周永务 ，郭金森，肖 旦

（1.华南理工大学 工商管理学院，广州 510641；2.淮北师范大学 信息学院，安徽 淮北 235000）

竞争与合作已经成为当今世界发展的主题，并且，越来越多的学者从20世纪90年代中期已经注意到，竞争与合作是相互依存并同时影响公司和其他组织的运营策略[1-2]。竞争之中的合作包含很多方面，如供应链上下游之间的竞合等。供应链上各个结点企业作为不同的利益主体，可以通过数量折扣、信息共享、利润共享和回购等方式去获取最大的利润。而对于横向上销售同质产品的企业，可以通过联合采购、共同提供售后服务以及库存共享等方式进行合作。在现实生活中也有很多通过合作串谋定价（或串谋定量）的实例，Nagarajan等[3]指出，很多商品如烟草、酒、咖啡、山核桃、大米和小麦、金属以及矿产都存在着这种联盟情形。当这种联盟存在于两层的供应链结构时（即本文考虑的1个供应商，3个竞争的零售商），对于不同的供应商（供应商是领导者、零售商是领导者、供应商与零售商具有相同的市场力量），这种零售商联盟在怎样的情形下能够保持稳定？

与本文相关的文献有两方面：①两层分销链中的竞争与合作；②联盟形成的短视稳定性和远视稳定性。在运营管理领域和经济领域，目前已有大量文献研究了横向竞争性市场中的Nash均衡和Stackelberg均衡，以及供应链中的协调契约。关于价格与数量竞争下的合作模型，Nagarajan等[3]做了比较详细的综述。这些经济文献中关于竞争下的合作大部分考虑的是不同零售商之间的横向合作，没有考虑上游供应商参与的情况。Chen等[4]针对上游制造商在提供数量折扣的情形下，两个下游竞争零售商进行合作订货后的利润情况。上述文献均未考虑两层供应链中，下游存在竞争性零售商的情形下零售商联盟稳定性的问题。而关于联盟稳定性的讨论主要分为短视稳定性和远视稳定性两方面。早期关于联盟稳定性的研究大多都是假设参与者是短视的，即描述稳定性概念是静态稳定的，如Nash稳定和强Nash稳定等[5-6]，静态稳定仅考虑参与者的一步“叛逃”能否获得更高的利润。但是，在参与人发生一步“叛逃”之后有可能会引起其他参与人的进一步的一系列“叛逃”，为了刻画这种多步叛逃下的结果，Chwe[7]提出了远视参与者的动态稳定性概念。Granot等[8]引入最大一致集（LCS）等合作博弈的解概念运用到供应链中，讨论了远视零售商联盟结构的稳定性。Nagarajan等[9]、Granot等[10]对组装供应链系统中远视供应商联盟的稳定性进行了一系列的探讨。Nagarajan等[11]在3种不同的上下游博弈框架下，讨论了装配供应链系统中供应商联盟的稳定性。Sosic[12]研究了3层供应链中信息共享联盟的远视稳定性。Nagarajan等[13]讨论了团购联盟的稳定性问题。郑士源等[14]利用远视稳定概念找到了稳定的航空联盟，并基于运输合作模型分析了运输联盟的动态稳定性[15]。周永务等[16]考虑了上下游存在3种博弈情形下的零售商间具有价格竞争的联盟稳定性。

不同于文献[16]，本文考虑的是3个零售商数量竞争下不同合作联盟的稳定性问题。数量竞争的联盟有很多，Alhajji等[17]指出，一些商品如钻石、咖啡、石油等都存在着这种联盟合作。针对上述存在的实际问题中的零售商联盟合作以及供应商与零售商可能存在的3种博弈结构[11，16]，本文研究了1个上游供应商和3个在数量上相互竞争的下游零售商组成的分销供应链系统，在3种不同的博弈框架下（供应商是领导者、零售商是领导者、供应商与零售商具有相同的市场力量）研究不同的竞争强度对联盟稳定性的影响。结果表明：在Stackelberg模型中，无论谁是领导者，大联盟都不是短视稳定的，然而却是远视稳定的；而在垂直Nash模型中，只有当竞争强度相对较小时，大联盟是短视稳定的，任何情形下，大联盟都是远视稳定的。对于不同的竞争强度，本文还给出了远视情形下可能存在的其他的稳定联盟结构。

1 分销供应链模型

记供应商为0，下游3个数量上相互竞争的零售商记为N=｛1，2，3｝，零售商i∈N的定价p i和自身产品数量qi与其他零售商产品数量q j有关，本文使用下述逆需求函数：

式中：α＞0，β＞0刻画了零售商i自身的需求对价格的影响；γ＞0反映了零售商间的竞争强度，并且满足β＞γ，因为相比较于其他零售商，零售商价格受自身的需求更加敏感。上述逆需求函数在经济学和市场营销学的文献中较为普遍[18-19]。

本文假设零售商能自由结盟，并且假设同一联盟内的零售商向供应商订购相同数量的产品。记零售商（也称为参与人）之间自由形成合作联盟Z⊆N，N=｛1，2，3｝。一种联盟结构是指对集合N的一种分割L=｛Z1，Z2，…，Zm｝，其中，

特别地，所有零售商结盟形成的联盟结构｛N｝称为大联盟。对于任意给定的一个联盟结构L，联盟Zk∈L中任意一个零售商的逆需求函数均可写为

为了表示方便，令γ=βb，0＜b＜1。供应商产品的单位成本为c，零售商的销售成本为0，每个零售商的订货量等于其在市场上的需求量。根据市场上存在的供应商与零售商地位的不同[11]，考虑上下游之间3种不同的竞争模型：①供应商Stackelberg模型。在此模型中，供应商是Stackelberg博弈的领导者，首先决策给予零售商的批发价格，然后下游零售商（联盟）同时决策各自最优的订货量。这种博弈下，供应商在市场上相对于零售商而言具有强大的力量，如供应商如果掌握一些比较稀缺的商品时，在观察到市场上零售商的反应后，优先决策自己的最优批发价格。②供应商-零售商垂直Nash模型。在此模型中，供应商和下游的零售商（联盟）同时决策最优批发价格和最优订货量。在这里，供应商和零售商（联盟）在市场上具有对等的影响力。③零售商Stackelberg模型。其中零售商（联盟）相对于供应商而言，在市场上具有更大的影响力。在观察到供应商的反应函数后，零售商（联盟）优先决策最优的订货量，然后供应商决策最优的批发价格。这种情形在市场上很多，例如家乐福、沃尔玛等大型零售商相对于一些小型的供应商具有决策的优先权。

1.1 供应商Stacke1berg模型(S)

首先考虑供应商作为Stackelberg领导者的情形，供应商首先决策产品的批发价格，然后零售商（联盟）决策最优的订货量，下面分3种不同的联盟结构进行讨论。

1.1.1 互不结盟 当3个零售商不结盟时，此时联盟结构为，=｛｛1｝，｛2｝，｛3｝｝，首先，供应商决策最优批发价格，各个零售商决策各自的订货量，此时模型为：

为第i个零售商的市场价格。求解此优化问题，可得博弈的均衡解：

供应商和零售商的利润分别为：

整个供应链系统总的利润为

1.1.2 两个零售商结盟 当任意两个零售商结盟时，零售商的联盟结构为，=｛｛1，2｝，｛3｝｝，｛｛1，3｝，｛2｝｝，或｛｛2，3｝，｛1｝｝。供应商首先决策批发价格，联盟内零售商和联盟外零售商同时决策最优订货量和，此时模型为：

其中：为供应商的利润和分别为联盟中和联盟外零售商的利润；

分别为联盟内和联盟外零售商的价格。求解此优化问题，可得博弈的均衡解：

供应商、联盟内零售商和联盟外零售商的利润分别为：

此时，整个供应链系统总利润为

1.1.3 3个零售商结盟 当3个零售商形成大联盟=｛N｝时，供应商首先决策最优批发价格，联盟中零售商决策最优订货量，此时模型为：

其中：和分别为供应商和第i个零售商的利润；

为大联盟内零售商的价格。求解此优化问题，可得均衡解：

供应商和零售商的利润分别为：

此时，整个供应链系统总利润为

具体的求解过程见附录。

性质1不同的联盟结构下，有如下关系成立：

本文发现，在供应商作为Stackelberg领导者情形下，任意联盟结构下供应商给予零售商的批发价格都是相同的，但是下游所有零售商的订货量在大联盟时最少，从而供应商在所有零售商结盟时获得的利润最少。对于供应商而言，当下游所有零售商均不结盟时获利最多，即当供应商在市场上具有较强的统治力时，保持市场上一定数量的零售商和适当的竞争，对供应商而言是有好处的。从整个供应链系统的角度，当下游零售商结盟时，系统的利润也会减小，即下游零售商结盟伤害了整个供应链系统的利润。从零售商的角度，是否结盟受到竞争强度的影响。当其中某两个零售商结盟时，处于联盟外零售商的利润最高。特别需要强调的是，当两个零售商结盟时，联盟内零售商的利润在0.555＜b＜1时，比不联盟情形下的利润更低，故对于零售商而言，是否结盟视竞争强度的不同需要作出不同的决策。

1.2 垂直Nash模型(V)

这里考虑所有参与人同时决策的情形，即供应商和零售商联盟同时决策产品的批发价格和产量。下面分3种情况进行讨论。

1.2.1 互不结盟 当零售商之间不形成任何联盟时，记此时的联盟结构为，=｛｛1｝，｛2｝，｛3｝｝，供应商和3个零售商同时决策最优的批发价格和最优订货量，此时模型为：

其中：为供应商的利润为第i个零售商的利润；

为第i个零售商的市场价格。求解此优化问题，可得博弈的均衡解：

供应商和零售商的利润分别为：

整个供应链系统的利润为

1.2.2 两个零售商结盟 当任意两个零售商结盟时，此时的零售商联盟结构为，=｛｛1，2｝，｛3｝｝，｛｛1，3｝，｛2｝｝，或｛｛2，3｝，｛1｝｝。供应商0、联盟内零售商和联盟外零售商同时决策批发价格，订货量和，此时模型为：

其中：为供应商的利润和分别为联盟中和联盟外零售商的利润；

分别为联盟内和联盟外零售商的价格。求解此优化问题，可得博弈的均衡解：

供应商、联盟内零售商和联盟外的零售商的利润分别为：

此时，整个供应链系统总利润为

1.2.3 3 个零售商结盟 当3个零售商形成大联盟=｛N｝时，供应商和联盟同时决策最优批发价格和订货量，此时模型为：

其中：和分别为供应商和第i个零售商的利润；

为大联盟内零售商的价格。求解此优化问题，可得均衡解：

供应商和零售商的利润分别为：

此时，整个供应链系统总利润为

性质2不同的联盟结构下，有如下关系成立：

（1）批发价格（j=1，2，3）满 足＜

（5）供应链系统的利润（j=1，2，3）随着竞争强度b的增大而减小，并且有

在供应商和零售商（联盟）纵向Nash博弈下，供应商给予零售商（联盟）的批发价格随着零售商联盟内零售商数量的增大而减小，即下游零售商的结盟使得上游供应商的批发价格降低，同时也影响了下游的订货量。对于供应商而言，其利润在大联盟情况下是最低的；对于整个供应链系统而言，大联盟情况下的利润也是最低的。从供应商的角度，保持一定的下游零售商的数量是有好处的，供应商并不希望下游出现结盟的情况。从零售商的角度，是否结盟仍然是与竞争强度有关。可见，当两个零售商结盟时，联盟内零售商的利润是各种情况下最少的，联盟外零售商的利润总是比联盟内的利润要高，故在垂直Nash模型中，两个零售商结盟总是不可取的。

1.3 零售商Stacke1berg模型(R)

这里考虑零售商（联盟）作为博弈领导者的情形，即零售商（联盟）首先决策最优的订货量，然后供应商决策最优的批发价格。下面分3种情况讨论。

1.3.1 互不结盟 当零售商之间不形成任何联盟时，记此时零售商联盟结构为，，｛3｝｝。3个零售商首先决策最优订货量，然后供应商决策最优批发价格，此时模型为：

为第i个零售商的市场价格。求解此优化问题，可得博弈的均衡解：

供应商和零售商的利润分别为：

此时，整个供应链系统的利润为

1.3.2 两个零售商结盟 当任意两个零售商结盟时，则两个零售商联盟结构为，=｛｛1，2｝，｛3｝｝，｛｛1，3｝，｛2｝｝，或｛｛2，3｝，｛1｝｝，联盟内零售商和联盟外零售商同时决策最优订货量和，供应商最后决策最优批发价格，此时模型为：

其中：为供应商的利润和分别为联盟中和联盟外零售商的利润；

分别为联盟内和联盟外零售商的价格。求解此优化问题，可得博弈的均衡解：

供应商、联盟内零售商和联盟外零售商的利润分别为：

此时，整个供应链系统的利润为

1.3.3 3个零售商结盟 当3个零售商形成大联盟=N时，联盟内零售商首先决策最优订货量，然后供应商决策最优批发价格，此时模型为：

其中：和分别为供应商和第i个零售商的利润；

为大联盟内零售商的价格。求解此优化问题，可得均衡解：

供应商和零售商的利润分别为：

此时，整个供应链系统的利润为

性质3不同的联盟结构下，有如下关系成立：

在零售商（联盟）作为Stackelberg博弈领导者情形下，供应商给予零售商（联盟）的批发价格随着联盟内零售商数量的增大而减小，即下游零售商结盟使得上游供应商的批发价格减小；同时，结盟也影响了下游零售商的订货量，特别是在大联盟下订货量是最小的，而这些影响又使得供应商的利润随着下游零售商的结盟而变小。这与前面两种情况类似。对于零售商而言，此种情形和供应商Stackelberg类似，只是竞争强度的阈值不同。

2 零售商联盟的稳定结构

由上述不同的竞争模型可见，零售商是否结盟与竞争强度有很大的关系；另一方面，对于零售商结盟后的联盟结构是否能够维持稳定，也是需要考虑的一个方向。例如在供应商Stackelberg模型中，大联盟N中零售商3的利润比联盟｛｛12｝，3｝中零售商3的利润要小，此时对于零售商3而言，从大联盟N中独立出来，获利会更多，所以，此种情形下大联盟并不稳定。在合作博弈中有短视稳定性和远视稳定性之分。合作博弈中的Nash稳定和强Nash稳定均属于短视稳定，其判定的方法是看其参与人（联盟）从某个联盟结构中发生一步“叛逃”之后，是否使得其利润增加。而对于远视稳定性，是从参与人发生多步“叛逃”的结果来判断其是否稳定。因为某个参与人的一步“叛逃”，使得叛逃的参与人的利润增加后，致使其他参与人发生一系列叛逃行为，这也就是从联盟动态或长远的角度来看待联盟的稳定性问题。针对这种远视稳定性的概念，Chwe[20]提出了远视参与者的概念，并且，采用最大一致集（LCS）来刻画远视参与者联盟的稳定结构，具体相关定义见文献[3，17]。

2.1 短视零售商联盟的稳定性

下面给出3种竞争模型中零售商联盟的短视稳定性，即从合作博弈中Nash稳定和强Nash稳定的角度考虑零售商（联盟）的稳定性。

定理1在供应商Stackelberg模型中：①当0＜b＜0.555时，两个零售商联盟结构为=｛｛1，2｝，｛3｝｝，｛｛1，3｝，｛2｝｝，｛｛2，3｝，｛1｝｝是Nash稳定的；②当0.555＜b＜1时，所有的联盟结构都不是Nash稳定的。

证明见附录。

定理1说明，当竞争强度较小（0＜b＜0.555）时，两个零售商的联盟是短视稳定的，即其中任意一个零售商都不会发生叛逃行为；但是当竞争强度较大（0.555＜b＜1）时，任意一个联盟结构都是不稳定的，其中的参与人都会发生一步的叛逃行为，使得原有的联盟结构不稳定。但是从远视的角度，是否会有不同的结果，下面给出具体答案。

定理2在垂直Nash模型中：①当0＜b＜0.832时，大联盟是Nash稳定的；②当0.832＜b＜1时，所有的联盟结构都不是Nash稳定的。

定理3在零售商Stackelberg模型中：①当0＜b＜0.314时，两个零售商联盟结构为=｛｛1，2｝，｛3｝｝，｛｛1，3｝，｛2｝｝，｛｛2，3｝，｛1｝｝是Nash稳定的；②当0.314＜b＜1时，所有的联盟结构都不是Nash稳定的。

2.2 远视零售商联盟的稳定性

首先，给出不同竞争强度下的零售商的联盟偏好关系：

性质4

（1）供应商Stackelberg模型中，当0＜b＜0.555时，零售商的联盟偏好关系为当0.555＜b＜1时，零售商的联盟偏好关系为

（2）垂直Nash模型中，当0＜b≤0.832时，零售商的联盟偏好关系为；当0.832＜b＜1时，零售商的联盟偏好关系为

（3）零售商Stackelberg模型中，当0＜b≤0.314时，零售商的联盟偏好关系为当0.314＜b＜1时，零售商的联盟偏好关系为

根据上述不同模型中的联盟偏好关系，结合最大一致集（LCS）的定义，有如下远视零售商联盟的结论。

定理4在供应商Stackelberg模型中：①当0＜b＜0.555时∈LCS；②当0.555＜b＜1时∈LCS。

证明见附录。

由定理4可得结论：无论竞争强度是多少，大联盟都是远视稳定的，这与定理1中当0＜b＜0.555时，大联盟从短视的角度不是Nash稳定形成了对比。原因在于，从远视的角度考虑联盟稳定性时，不但考虑某个参与人一步叛逃的结果，而且还需考虑这一步叛逃后所引起的其他参与人的一系列叛逃行为。即当0＜b＜0.555时，对于大联盟N而言，零售商3发现，一步叛逃后形成联盟结构｛｛1，2｝，3｝对自己是有利的，这从短视的角度即N是不稳定的。但是，这一步叛逃会引起联盟内参与人1或2的继续叛逃，因为这对他们是有利的，从而进一步的叛逃后联盟结构变为｛｛1｝，｛2｝，｛3｝｝。最终所有的零售商发现，大家一起合作时的联盟结构N对所有参与人而言，比｛｛1，2｝，3｝和｛｛1｝，｛2｝，｛3｝｝都要有利，即大联盟N仍然是一系列叛逃后的结果。从长远来看，所有参与人在大联盟N内不会发生叛逃。而对于联盟结构而言，当0＜b＜0.555时，无论从短视的角度还是远视的角度，都是稳定的；而当0.555＜b＜1时，无论从短视角度还是远视角度都是不稳定的。这也就说明，在3个零售商数量竞争下，所有零售商结盟总是有利的。而在竞争强度不太大（0＜b＜0.555）时，任意两个零售商结盟时也很有可能发生，并且能够长期稳定；但是当竞争强度较大（0.555＜b＜1）时，能够长期稳定的联盟是大联盟N。

定理5在垂直Nash模型中，∈LCS。

定理6在零售商Stackelberg模型中：①当0＜b＜0.314时，∈LCS；②当0.314＜b＜1时∈LCS。

由上述3个定理可见，在市场中无论哪一方具有统治力，数量竞争下的零售商所形成的大联盟从远视的角度都是稳定的联盟结构，这与短视中的Nash稳定性有很大的不同。从短视的角度，大联盟只是在满足一定的竞争强度时才是稳定的。即当市场上的零售商处于对称地位时，大家彼此合作构成大联盟时对彼此之间是有利的。这也符合当今世界中竞争与合作并存的局面。另外，还发现，除了大联盟外，在供应商Stackelberg模型和零售商Stackelberg模型中，两人的联盟结构也是从远视角度稳定的，只是存在区间的竞争强度不同。在供应商和零售商市场力量相当时，即垂直Nash模型中，只有大联盟是远视稳定的。

3 结语

在零售商数量竞争下，本文利用合作博弈论中稳定性的概念，从零售商结盟合作订货的角度描述了联盟的短视稳定性和远视稳定性。从零售商的角度，无论在供应商Stackelberg模型、垂直Nash模型和零售商Stackelberg模型中，短视的零售商在竞争强度相对较小时，都会选择大联盟；但是当竞争强度相对较大时，短视的零售商在大联盟中都会发生叛逃行为，即短视的零售商大联盟是不稳定的。但是从远视的角度，无论哪一种模型下，大联盟都是远视稳定的。

本文的结论对于3个竞争零售商结盟具有一些有意义的管理启示。对于一个大联盟中的零售商而言，有可能会因为叛逃而获得更高的利润。但是当零售商具有“远见”时，会发现不论是哪种博弈框架下，无论竞争强度是多少，这种叛逃很可能带来联盟的不稳定，并且降低了自身的利润。在这种情形下，零售商不会“短视”的“叛逃”出联盟，而宁愿留在大联盟中。另一个方面，当竞争强度较小时，对于两种Stackelberg模型，有“远见”的零售商也会留在两人联盟中。现实生活中存在着数量竞争下的联盟合作，本文的研究结果也表明，对于“远视”零售商而言，这些结盟总是有好处的。这与一般采用静态稳定性讨论联盟合作稳定性有很大不同，也为现实生活中的结盟活动提供了理论基础。

当零售商是远视参与人时，无论在供应商Stackelberg模型、垂直Nash模型和零售商Stackelberg模型中，随着零售商的结盟，供应商的利润都是降低的，故进一步应该考虑供应商设计某种契约使得随着零售商的结盟，供应商的利润也会相应的有所增加。另外，在零售商结盟时，考虑联盟运作时的运作费用也是值得研究的方向。当然，本文只是针对对称性的零售商和确定情形进行了讨论，进一步值得考虑的方向是不对称以及随机情形下的零售商结盟的稳定性问题。

附录

供应商Stackelberg模型（S）中订货量和批发价的求解：

采用逆向归纳法进行求解。

（1）互不结盟时，对零售商i的利润函数关于求导并令其等于0，有b）]，从而，两边关于求导并令其等于0，有从而

两边关于求导，并令其等于0，有=（α+c）/2，从而

垂直Nash模型（V）中订货量和批发价格的求解：

记零售商i的边际收益为m i，即

（1）互不结盟时，对零售商i的利润函数关于求导并令其等于0，同时对供应商的利润函数关于求导令其等于0，有：

求解上述方程组后，有：

零售商Stackelberg模型（R）中订货量和批发价的求解：

求解方法类似于前面两种模型，这里从略。

定理1的证明：

证明

（1）首先，证明当0≤b＜0.555时和都不是Nash稳定的。由性质1（3）可知，当联盟结构为=｛1，2，3｝时，由于，故对｝内任意两个零售商而言，结盟以后利润都会变大，即任意两个零售商都有结盟的动机，联盟结构此时变为。因此，联盟结构不是Nash稳定的。当联盟结构为=N时，由于，故对大联盟内的某个零售商经过一步叛逃后，联盟=N变为时对联盟外的零售商更有利。因此，联盟结构不是Nash稳定的。

当零售商联盟结构为=｛｛1，2｝，｛3｝｝，｛｛1，3｝，｛2｝｝，｛｛2，3｝，｛1｝｝时，不论是联盟内零售商或联盟外零售商，一步“叛逃”后都不能使得利润增加。因此，零售商联盟结构是Nash稳定的。

（2）当0＜b＜0.555时，由性质1中，首先，有=｛1，2，3｝不是Nash稳定的，由可知，3个零售商有结盟的动机；其次=｛｛1，2｝，｛3｝｝，｛｛1，3｝，｛2｝｝，｛｛2，3｝，｛1｝｝不是Nash稳定的，由容易看出，联盟内零售商有“叛逃“的动机；最后都不是Nash稳定的，这与（1）类似。

定理4的证明：

证明

（1）当0＜b＜0.555时，由性质4可知，零售商i的联盟偏好关系为，首先，考虑当前的联盟结构为L=，不妨假设=｛｛1，2｝，3｝，则参与人一步“叛逃”之后的联盟结构为

①如果V=，则S=｛1｝或S=｛2｝。考虑叛逃过程：｛（1，2，3｝→1，2｛｛1，2｝，3｝，由于｛（1，2，3｝≺1，2｛｛1，2｝，3｝，如果记B=｛｛1，2｝，3｝，则有V≪B，但是L□SB；

②如果V=，则S=｛1，2，3｝，令B=，则有V=B，但是L□SB。

综上所述，根据最大一致集（LCS）的定义，有∈LCS。

下面考虑联盟结构为大联盟L==N，则任意1个或2个参与人一步“叛逃”后的联盟结构为V=。不妨假设=｛｛1，2｝，3｝，则S=｛1，2｝，或S=｛3｝。考虑叛逃过程：｛｛1，2｝，3｝→1｛1，2，3｝→1，2，3N，由于｛｛1，2｝，3｝≺1｛N｝且｛1，2，3｝≺1，2，3｛N｝，如果记B=N，则有V=｛｛1，2｝，3｝≪N=B，但是，显然，L□SB。根据最大一致集（LCS）的定义，有｛（012）｝∈LCS。

最后，若联盟结构为L=，则一步“叛逃”之后的联盟结构为V=或，可以发现，不能找到联盟结构B，使得V=B或V≪B，使得L□SB。因此∉LCS。

（2）当0.555＜b＜1时，由性质1可知，零售商i的联盟偏好关系为和的证明与（1）类似。下面证明当0.555＜b＜1时∉LCS。

当联盟结构为L=，不妨假设=｛｛1，2｝，3｝，则参与人一步“叛逃”后的联盟结构为

①如果V=，则S=｛1｝，或S=｛2｝，令B=，则有V=B，并且L≺SB；

②如果V=，则S=｛1，2，3｝，令B=，则有V=B，并且L≺1，2B。

综上所述，根据最大一致集（LCS）的定义，有∉LCS。