陈超起,裴星洙

(江苏科技大学 土木工程与建筑学院,镇江 212003)

随着社会经济的发展,城市人口越来越多,人均占有面积逐渐减少,导致现代城市建筑物越来越密,从而形成了很多相邻结构．众所周知,当地震来临时,相邻建筑间有可能会发生相互碰撞,而相邻结构间的碰撞是造成结构破坏、倒塌的重要原因之一．在1989年发生的Loma Prieta地震中,在所调查的500座建筑物中,有超过200处地方发生了碰撞[1];在2011年克赖斯特彻奇地震中，对碰撞导致的结构毁坏进行了调查,在所有调查的结构中,超过6%的结构受到了严重的碰撞破坏[2]．因此有效地防止相邻建筑之间的相互碰撞和提高这些建筑的抗震性能,对于保证这类建筑物的抗震安全性具有重要的现实意义．消能减震设计是在建筑物的某些部位装设消能减震装置,通过装置来耗散或吸收地震能量,从而减小主体的位移响应[3]．文献[4]中最先提出连接相邻结构来提高结构抗震能力的构想,研究了地震作用下,由消能元件和半主动控制装置连接的相连结构的控制反应．目前,通过在相邻结构之间安装阻尼器,利用阻尼器的动力学性能来吸收部分地震输入于结构的能量,以降低结构本身的地震响应,从而达到避免结构相互碰撞和提高结构抗震性能的目的,已经成为研究的趋势．文献[5]中对地震作用下相邻结构间连接阻尼器的优化参数理论表达式的适用性作了详细的研究,结果表明，结构处于弹塑性状态时阻尼器的优化参数值与结构处于线弹性状态的取值相差不大,均与理论值比较接近．文献[6]中将相邻结构简化为粘滞阻尼器连接的两单自由度体系, 根据随机地震反应理论, 以相邻结构的频率比、质量比为参数, 推导了结构位移反应均方值与连接阻尼参数的关系式,表明黏滞阻尼器连接相邻结构具有较好的减震效果．国内学者针对附加阻尼器的两相邻结构的减震性能分析研究侧重点不尽相同,且没有针对不同的结构参数得出普遍适用的优化阻尼公式,所以文中利用一种简化的模型通过理论推导得出最佳阻尼参数与结构参数之间的关系,并对相邻结构连接阻尼器后组成相连结构的消能减震情况进行了分析．

1 算例模型

振动模型如图1．

图1 分析模型Fig.1 Analysis model

体系对应的振动微分方程为

(1)

(2)

式中：xa、xb分别为结构A、B相对地面的位移；y为地面的位移．假设输入地震动为简谐波,令y=Y·eiωt,结构A、B在外部简谐激励作用下的位移响应是xa=Xa·eiωt,xb=Xb·eiωt,其中Y、Xa、Xb表示各个振动对应的振幅,将xa、xb、y代入式(1)、(2)，并合并同类项得

(3)

对等式两边取模得出结构A、B的位移传递函数[8]，如式(4、5)

(4)

(5)

式中：E=ω4-η1ω2+η2+kd(η4-η3ω2)，

讨论:

(1) 当阻尼参数cd=0、kd=0时,由式(4、5)可化简得结构A、B独立时所对应的位移传递函数如下：

(6)

(2) 当体系间黏滞阻尼器的阻尼系数cd趋于无穷大,金属阻尼器的刚度系数kd为常数时,可由式(4、5)化简得结构A、B所对应的位移传递函数为

(7)

(3) 当体系间金属阻尼器的刚度系数kd趋于无穷大,黏滞阻尼器的阻尼系数cd为常数时,可由式(4、5)化简得结构A、B整体所对应的位移传递函数为

(8)

2 算例模型计算和分析

2.1 单独附加黏滞阻尼器的减震性能

当kd=0,cd≠0时,由式(4、5)可得单独附加黏滞阻尼器时结构A、B所对应的位移传递函数为:

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

由式(9)、(10)可知,位移传递函数是地震动频率ω的函数,在一点处取得极值的条件是函数在该点处关于ω的导数值等于零．故可将传递函数在P、Q点取得极大值的条件转化为式(15),利用式(9)和式(12、15)可得式(16),解式(16)得最适阻尼公式如式(17)：

(15)

φ1c4+φ2c2+φ3=0

(16)

(17)

[η2g-2η2ω2+ω4(η1-g)].

综上所述,附加黏滞阻尼器的两相邻结构的位移传递函数的定点等高，且在定点处取得最大值所需满足的条件为：①ma/mb=kb/ka；②copt=(copt(ωP)+copt(ωQ))/2．

选取满足定点理论[8]条件的结构特征参数和阻尼系数cd,验证所得出的公式,这里假定结构的特征参数为:ka=60,ma=2,kb=40,mb=3．则结构A,B各自对应的自振周期和自振圆频率分别为:

可得出cd=0,cd=∞情况下的位移传递函数如下:

Ga(ω)cd=0=ω2/|ω2-30|,

Gb(ω)cd=0=ω2/|ω2-40/3|,

Ga(ω)cd=∞=Gb(ω)cd=∞=ω2/|ω2-20|

(18)

由式(17)求得最适阻尼系数copt=3.2,为了不失一般性,这里还选取了阻尼系数cd=1情况下的位移传递函数,由以上解析结果,得出结构A、B在附加黏滞阻尼器时的位移传递函数曲线如图2,由图2可知,随着阻尼系数cd的增加,位移传递函数的幅值先减小后增大,结构A、B所对应的位移传递函数在阻尼系数cd取不同值时均过一定点,分别记为P、Q点,可知两定点等高,且当阻尼系数cd取最佳时,两结构的位移传递函数均在定点处取得了极大值．

图2 最适阻尼系数与一般阻尼系数下结构 A、B的位移传递函数Fig.2 Displacement transfer function of the structure A and B under the optimum damping coefficient and general damping coefficient

2.2 单独附加金属阻尼器的减震性能

当cd=0,kd≠0时,由式(4)、(5)可得单独附加金属阻尼器时结构A、B所对应的位移传递函数为:

(19)

(20)

这里选取与单独附加黏滞阻尼器时相同的结构特征参数,可得出结构A、B在附加金属阻尼器时的位移传递函数分别如图3、4:

图3 不同刚度系数下结构A的位移传递函数Fig.3 Displacement transfer function of the structure A under different stiffness coefficients

图4 不同刚度系数下结构B的位移传递函数Fig.4 Displacement transfer function of the structure B under different stiffness coefficients

(21)

解得ωP2=ωb,ωQ2=ωa．

(22)

代入结构的特征参数,并分别令ω=ωP、ω=ωQ,可得kd(ωP1)、kd(ωQ1)无实根,kd(ωP2)=8,kd(ωQ2)=12．通过反复改变结构的特征参数,可以得出在两显定点处的实数解kd是不存在的．这里可得出当刚度系数kd分别取最适刚度系数与一般刚度系数条件下的结构A、B的位移传递函数曲线如图5、6,由图5、6可知,两位移传递函数在刚度系数kd取最适值时,其峰值较kd取其他值时均有显著地降低,A、B结构的位移传递函数有效避开了在刚性连接处对应的共振峰值,且两峰值的间距明显被拉近,共振频率区间被有效缩短．

图5 最适刚度系数与一般刚度系数下结构 A的位移传递函数Fig.5 Displacement transfer function of the structure A under the optimum stiffness coefficient and general stiffness coefficient

图6 最适刚度系数与一般刚度系数下 结构B的位移传递函数Fig.6 Displacement transfer function of the structure B under the optimum stiffness coefficient and general stiffness coefficient

2.3 同时附加两种阻尼器的减震性能

由以上理论计算与分析可知,当结构的特征参数满足定点理论[8]的条件时,通过选取最适阻尼参数,可以使得两相邻结构的位移响应得到最大程度降低．现研究同时附加金属阻尼器以及黏滞阻尼器时结构A、B对应的位移响应传递函数．选取结构的特征参数ka=80,ma=3,kb=60,mb=4,并将其代入到式(17)、(22)中,可得copt=3.25,kopt=8.5．将这两个参数代入到式(4)、(5)中去,可得出同时附加金属阻尼器以及黏滞阻尼器时结构A、B对应的位移响应传递函数曲线如图7、8,由图7、8可知,同时附加两种阻尼器时,结构A、B的位移传递函数的峰值较独立情况下均有大幅度降低．与单独附加一种阻尼器时的位移传递函数曲线相比较可知：在第1个定点之前,单独附加黏滞阻尼器的位移传递函数曲线均低于同时附加两种阻尼器以及单独附加金属阻尼器的情况;在第2个定点之后,单独附加金属阻尼器的位移传递函数曲线均低于同时附加两种阻尼器以及单独附加黏滞阻尼器的情况;在整个传递函数曲线上可以看出同时附加两种阻尼器的位移传递函数曲线一直处在单独附加一种阻尼器的位移传递函数中间,即可知同时附加的两种阻尼器产生了耦合作用．

图7 同时附加金属阻尼器以及黏滞阻尼器下 结构A的位移传递函数Fig.7 Displacement transfer function of the structure A with additional metal damper and viscous damper

图8 同时附加金属阻尼器以及黏滞阻尼器下 结构B的位移传递函数Fig.8 Displacement transfer function of the structure B with additional metal damper and viscous damper

3 结论

文中以两相邻单自由度体系(2-sdof)为算例模型,研究了在结构之间附加阻尼器的相邻结构的减震性能,得到的主要结论如下:

(1) 通过详细的理论推导得出了单独附加粘滞阻尼器时结构的位移传递函数表达式,并基于定点理论详细地推导出了附加黏滞阻尼器最适阻尼参数cd与结构参数之间的关系．

(2) 通过详细地理论推导得出相邻结构之间连接金属阻尼器的刚度系数kd存在最适值,并在刚度系数kd取最适值时,结构的位移传递函数峰值较kd取其他值时均有显著地降低,且其峰值的间距明显被拉近,即位移幅值所在频率区间被有效缩短,降低了峰值响应的持续过程．

(3) 通过对比分析结构同时附加两种阻尼器和单独附加一种阻尼器的位移传递函数曲线得出:单独附加黏滞阻尼器的位移降低率明显高于单独附加金属阻尼器对应的位移降低率,同时附加两种阻尼器的位移传递函数曲线一直处在两单独附加一种阻尼器的位移传递函数中间,即可知同时附加的两种阻尼器产生了耦合作用,两种阻尼器的减震性能都得到了发挥．