俞龙飞，曾 江，丘国斌，欧阳森

(华南理工大学电力学院，广东广州 510640)

0 引 言

传统的将输电网与配电网割裂开来进行潮流计算的方法已无法满足现代电力系统运行分析和规划管理的需求，将输电网和配电网潮流进行统一分析是当前的发展趋势[1]，尤其是在输配网电压无功的统一优化、输配网网架重构等方面的研究与应用，此时调控变量不断变化，边界点的功率未知，必须进行多次的输配网联合潮流计算进行寻优。由于输配网全局潮流计算侧重点不同，规模庞大，通过减少计算量来提高收敛速度是颇具理论与工程价值的研究内容。

大规模电力系统潮流计算实质上是求解一组非线性代数方程组，采用分布式潮流计算方法[2-4]将大电网分为多个子电网，把大规模方程组的求解转化为多个规模更小的方程组的求解，减少了潮流计算量。针对输配网潮流计算的特点，文献[5-10]提出基于主从分裂式的分布式潮流计算方法，将输配网分为主系统和从系统，主系统采用牛顿拉夫逊法，配电系统采用前推回代算法，加快了潮流收敛，减少了输配网全局潮流计算量。文献[11-13]对主从分裂法进行了改进，改善了输配网在边界点信息的匹配，进一步加快了潮流收敛。

实际的输配网全局电力系统，配电系统节点数和支路数比相关的输电系统的大一个甚至几个数量级[5]，因此，减少配电网潮流计算量是提升全局潮流计算速度的关键。为此，不少学者提出对配电网中的负荷与线路分支进行等效[14-15]的方法，极大地减少了计算量，但是直接进行配网模型的等效，会存在收敛性变差和计算结果不准确等问题。

针对上述问题，本文提出一种考虑输配网潮流相互影响的配电网等效拟合的潮流计算方法。通过两次或三次主从迭代结果可对解配网潮流进行拟合，求解出配网根节点功率-电压函数S(U)的拟合函数Sfit(U)，由输电网潮流计算得到的边界点电压U带入拟合函数Sfit(U)进行配网等效拟合的输电网潮流迭代，无需进行配电网子迭代。基于该方法，通过传统主从迭代与本文提出的配网等效拟合迭代交替进行，不断修正拟合函数Sfit(U)，缩小其与真实函数误差，保证了潮流收敛的可靠性。同时，在很小的区间内对S(U) 进行拟合误差极小，潮流计算结果精确。本文方法极大地减少了配网潮流迭代次数，加快了潮流收敛。

本文研究的重点是所含节点为PQ节点类型的配网的等效拟合，对于部分配网中所含分布式电源可能是PI或PV等节点类型的情况，可采用常规方法进行配网的潮流迭代计算，本文暂不加以讨论。

1 配网等效拟合原理

在配网潮流中，当所有节点的负荷大小确定时，根节点处的电压幅值U与功率S呈非线性关系，假设该关系的函数表达式为S(U)。S(U)为复杂的非线性函数，难以写出其准确的表达式。但是可用多项式函数或其他形式函数对其进行拟合。因此全局潮流迭代计算时，可通过记录前几次各配网根节点处的电压和功率作为离散点，从而对复杂函数S(U)进行拟合。

进行曲线拟合最重要的是保证拟合精度，误差太大则失去了拟合的意义。在某区间内，函数的极值越多，为保证拟合精度需采用更高阶的多项式函数或者形式更复杂的函数进行拟合，此时参数难以求解，最理想的情况是需要被拟合的函数极值点个数为零，即为单调函数。因此需要分析函数S(U)的极值点个数以及单调性，以确定本文提出的设想是否具有实际意义以及可操作性。首先对配电网网络模型进行简化，等效电路图如图1所示。节点0为根节点，S0为根节点处总功率，节点1为与根节点相连的下一个节点，S1表示节点1处负荷与后续支路功率之和，Z1为支路阻抗。

图1 配电网等效电路图Fig.1 Equivalent circuit diagram of distribution network

由图1可得根节点处电压幅值与功率为

(1)

(2)

由式(1)～(2)可得

(3)

(4)

从节点0～1的数学模型可递推得到从节点(i-1)～i的数学模型，进而由配电网的简化模型可推广到一般模型。假设：h(Ui)= (Ui2-bi)-[(Ui2-bi)2-ci]1/2，fp(Ui)=arih(Ui)，fq(Ui)=axih(Ui)，Pi=Pil+Pis，Ui=Ui(U0)，其中Pi为节点i处负荷功率Pil与后续支路功率Pis之和；Ui为节点i电压幅值，fp(Ui)、fq(Ui)表示以节点i为末节点的支路有功损耗和无功损耗，由(4)可得出整个配网各节点电压的前推关系：

(5)

由式(5)可知Ui=Ui(Ui-1)为单调递增函数，从而由递推关系可知Ui=Ui(U0)为单调递增函数，fp(Ui)和fq(Ui)为单调递减函数，因此复合函数fp(Ui(U0))、fq(Ui(U0))也为单调递减函数。对配电网所有节点列写其有功功率方程为

(6)

类似的方法可得根节点处无功功率的数学模型，对式(6)进行整理可得配电网功率的数学模型为

(7)

式(7)可知，对于配电网的一般模型，根节点处功率与电压幅值函数P0(U0)、Q0(U0)为单调递减函数而非多极值函数，单调函数可以用线性函数或者抛物线等函数进行拟合，且拟合函数的参数易于求解。因此对配电网潮流计算模型进行等效拟合的构想具有理论上的可行性。

2 配电网等效拟合的方法

2.1 线性拟合

由式(7)可知，根节点处功率为配网总负荷与线路损耗之和，总负荷功率不变，根节点处功率变化主要为电压幅值变化引起的线路损耗的变化，在配电网正常运行情况下，根节点处电压幅值的变化范围在额定电压附近，因此，根节点处功率变化不大，一定程度上可视为线性函数。因此复杂的非线性函数式(7)可用线性函数进行拟合，拟合形式如下：

(8)

式中:k1、k2和l1、l2为拟合参数，通过两次主从迭代之后求出U0(1)、P0(1)、Q0(1)、U0(2)、P0(2)、Q0(2)、从而求出拟合参数。第二次主从迭代后，边界点的功率与电压关系可直接由拟合函数近似计算出。

2.2 非线性拟合

采用线性函数拟合非线性函数误差较大，在精度要求较高时，不一定能满足要求。这时需要采用误差更小的拟合方法，非线性函数拟合非线性函数具有小的拟合误差。

2.2.1抛物线拟合

抛物线拟合非线性单调函数，以其具有较小的拟合误差，是最常用的一种拟合方式。抛物线拟合式(7)的形式如下：

(9)

式中:v1、v2、w1、w2和y1、y2为拟合参数，参数求解方法和拟合方式与线性拟合类似。

2.2.2幂函数函数拟合

与线性拟合相比，抛物线拟合虽然具有较小的拟合误差，但是抛物线函数有3个参数，需要主从迭代3次后联立3个方程求解。拟合函数中参数越少，拟合法的优势将越明显。在输配网全局潮流计算时，由于配电网节点数量远多于输电网节点数量，主要计算量为配网潮流的子迭代，每减少一次配网潮流子迭代，计算量将会大大减少。找到需要求解参数少、满足精度要求的拟合函数，是配网等效拟合发挥其优势的关键。因此可采用需要求解参数较少的幂函数拟合的方式拟合式(7)，幂函数拟合的形式如下：

(10)

式中:d1、d2和t1、t2为拟合参数，参数求解方法和拟合方式与线性拟合类似。

2.2.3拟合方法减少计算量机理分析

传统主从分裂法在主从迭代计算的过程中，边界点功率和电压会不断波动，因此需要反复进行输、配网的潮流迭代，配网潮流迭代得到的功率是当前边界点电压下的精确结果，因此主从迭代可视为一种精确迭代。而通过配网等效拟合的方法求解配电网拟合功率，此时没有进行配网潮流计算，边界点功率为拟合值，可视为拟合迭代。

本文所提的配网等效拟合的输配潮流计算方法，在进行两次或3次主从迭代之后，即可求解拟合函数对配网功率进行拟合，而无需通过配网迭代得到边界点功率，减少了配网迭代次数，在此基础上通过精确迭代与拟合迭代交替进行，改善了采用主从分裂法每次都进行精确迭代计算量大的问题。

图2 迭代过程变化示意图Fig.2 Schematic diagram of the iterative process of change

如图2所示，其中SBS为边界点功率，UB为边界点电压，Sf(UB)为拟合函数。潮流迭代过程中边界点电压和功率的波动，实质上是因为迭代过程中线损的波动，和负荷功率相比，线损占比很小，而线损的波动值和负荷功率相比则更小，因此边界点电压UB波动值很小，在极小的区间内对边界点电压-功率函数S(UB)进行拟合误差极小，并且可通过精确迭代不断修正拟合函数Sf(UB)使拟合值更加准确。图中虚线框中为潮流计算循环体，可见，与传统主从分裂法相比，本文所提的拟合迭代的方法减少了输配网信息交互，直接通过拟合函数Sf(UB)求解边界点信息，无需每次边界点功率传递都进行配电网潮流计算，增加了少量输电网迭代次数，减少了配网迭代次数，由于配电网规模远大于输电网，输电网潮流计算量可忽略，因此本文方法能够减少输配网潮流计算量，加快潮流收敛。

3 基于配网等效拟合协调潮流算法

3.1 输配网分解协调潮流模型

主从分裂法将全局电网分解为输电网系统、边界系统和配电网系统[2]。其中，输电网为主系统，配电网为从系统，边界系统是由输电网中与配电网相连的节点组成，在边界系统进行输电网与配电网信息的协调，从而实现输配网潮流的分解协调计算。输配网全局模型简化图如图3所示。

图3 输配网全局模型简化图Fig.3 Simplified map of the global model of the transmission and distribution network

其中，输电网潮流计算数学模型为

i∈CM,j∈(CM∪CB)

(11)

边界点潮流计算的数学模型为

i∈CB,j∈(CM∪CB),j∈(CD)

(12)

配电网潮流计算数学模型为

i∈CD,j∈(CD∪CT)

(13)

式中:CM、CB分别为输电网、边界节点集合;CD为第i个边界点所接配电网节点集合;CT为第i个边界点；Si为节点i的注入功率。

输配网全局潮流计算的主要计算量是对数量众多的配电网进行潮流计算，配网潮流等效拟合实质是对配电网潮流计算模型进行简化，将配电网模型与输电网中的边界系统模型进行合并，主从模型合并后，无需进行配网潮流子迭代，大大减少潮流计算量。配电网等效拟合后边界点潮流计算的数学模型为

i∈CB,j∈(CM∪CB)

(14)

式中：Ui0为第i个配电网根节点处电压幅值;fis(Ui0)为第i个配电网潮流的拟合函数。

传统的主从分裂模型由式(11)～(13)构成；基于配网潮流等效拟合的潮流计算模型由式(11)和(14)构成，在边界点处对输电网模型和配电网模型进行合并，构成主从合并的潮流计算模型。通过主从分裂和主从合并两种潮流计算模型交替使用，进行输配网全局潮流计算。

本文输电网潮流计算采用单相模型，配网潮流计算采用三相模型，对于配电系统三相不平衡问题的处理，本文采用文献[5]所提方法进行边界点功率、电压交互，记录每次主从迭代边界点处功率和电压结果，求解或修正拟合函数，可根据实际需要对配电网ABC三相分别进行拟合或整体进行拟合，因此，对于配电网可能存在三相不平衡的情况，不影响本文所提配网等效拟合方法的使用。

3.2 潮流计算步骤

基于配电网等效拟合的输配网全局潮流计算的计算步骤如下(假设m为拟合函数参数个数)：

① 给输配网所有节点电压赋初值，k=0；

4 算例分析

用matlab编写基于牛顿-拉夫逊法的输电网潮流、基于前推回代法的配电网潮流和基于配地网等效拟合的协调等3个模块，用于模拟输配网的全局潮流计算。本文以IEEE118节点系统为输电网系统，在其节点1至节点60均接入290节点配电网作为配电网系统，其中输电网电压等级为100kV，配网电压等级为10kV。分别用本文所提主从迭代与拟合迭代交替进行的方法和文献[6]所提的单一主从迭代不拟合的方法，对以上算例进行输配网全局潮流计算(收敛精度为10-9，功率基准值取100MVA)，并对计算结果和计算时间进行对比分析。

表1给出了分别采用本文所提的3种等效拟合方法和文献[6]所提单一主从迭代不拟合的方法进行输配网全局潮流计算时，潮流收敛后计算结果对比。其中max|ΔU|与max|ΔSB|分别表示几种拟合方式进行潮流计算时，相应节点电压差值的最大值和边界点功率差值的最大值。

由表1可知，在输配网全局潮流计算中，采用拟合方法的计算结果与不拟合相比，边界点电压和功率的最大误差很小，电压最大之误差为1.33×10-10，边界点功率最大误差为5.05×10-10，均小于10-9，本文所提方法进行潮流计算误差很小，不存在边界点电压和功率的失配问题。

表1 拟合与不拟合潮流计算结果对比

表2为采用拟合与不拟合的输配网潮流计算迭代次数对比。由表2可知，与传统的单一主从迭代配网不拟合的方法相比，本文所提3种拟合方式潮流计算均减少了主从迭代次数，不拟合的情况下主从迭代次数为10次，配网子迭代为11次，采用本文所提的线性拟合和幂函数拟合方法主从迭代次数为3次，配网子迭代次数为4次，主从迭代和配网子迭代次数均减少了7次。本文方法将部分主从迭代步骤采用配网等效拟合的输电网迭代代替，因此输电网迭代次数有少量增加，但是输电网规模远小于配网规模，增加的输电网计算量很小可忽略，输配网潮流计算量主要由主从迭代或配网迭代次数决定，本文方法能够大大减少主从迭代和配网迭代次数，因此，能够显著减少潮流计算量。

表2 拟合与不拟合潮流计算迭代次数对比

表3为拟合与不拟合方式全局潮流计算时间对比，其中节约时间是以不拟合潮流计算时间为基准，拟合方式节约的时间百分数，计算结果为同一台计算机仿真所得。由表3可知，在输配网全局潮流计算中，由于配网的节点数远超过输电网节点数，因此配电网潮流计算占了输配网全局潮流计算的绝大多数时间，结合表2可知，配网迭代次数是影响潮流计算时间的关键。采用本文方法能够减少配网迭代次数，加快潮流收敛，因为线性函数与幂函数拟合时只需主从迭代两次即可进行拟合迭代，而抛物线需要进行3次才能求解出拟合参数，因此采用两个参数进行拟合减少计算量的效果更佳，其中，线性拟合与幂函数拟合减少潮流计算时间约64%，抛物线拟合减少时间约为54.8%，可见，本文方法在保证潮流计算精度的情况下，计算速度显著提升。

表3 拟合与不拟合潮流计算时间对比

5 结 论

① 本文首次提出了配电网等效拟合的概念，并据此构建了基于等效拟合的输配网潮流计算方法，并给出了线性函数与非线性函数拟合的形式。

② 在对配电网进行等效拟合的基础上构建了主从分裂与主从合并交替使用的潮流计算模型，通过主从分裂的精确迭代与配电等效的拟合迭代交替进行，可大幅减少主从迭代次数。经仿真验证，该方法计算结果精度可靠，计算速度较单一主从分裂法有明显提升。

③ 本文所提方法在提高输配网全局潮流计算速度上迈出了重要一步，可作为研究输配网协同框架内各类问题的基础，如研究输配网电压合格率提升措施，寻找输配网最优的电压无功协调优化控制策略，也可用于输配网网架重构，加快网架重构速度，提高系统运行的安全性和经济性，也可用于输配网协同的配电网态势感知，评估配电网静态电压稳定态势，也可用于输配网故障分析、调度控制等。综上所述，本文所提方法能够提高输配网系统的反应速度，在输配协同电网安全运行、预防控制和协调优化等方面具有重要意义。