马 青，陈志华, ，闫翔宇，楼舒阳

(1. 天津大学建筑工程学院，天津 300072；2. 滨海土木工程结构与安全教育部重点实验室(天津大学)，天津 300072；3. 天津大学建筑设计研究院，天津 300073)

基于张拉整体结构的概念，Geiger等[1-2]首先提出了索穹顶结构体系，并应用于 1988年汉城奥运会的体操馆和手球馆．索穹顶根据几何构成主要可以分为Geiger式、Levy式、Kiewitt式和鸟巢式等[3-4]．在已经建成的十余座大型索穹顶结构中主要采用的是Geiger式和 Levy式．国内此前已经建成的中大跨度索穹顶共有3座，均为圆形Geiger式，分别是台湾桃园市体育馆(直径 120,m)、山西太原煤炭交易中心(直径 36,m)和内蒙古伊金霍洛旗全民健身中心(直径 72,m)．

出于初始预应力计算简便的考虑，大多数索穹顶均为圆形，已经建成的工程中仅有佐治亚穹顶和红鸟体育馆为椭圆形[5]；由于索结构的柔性结构特点，索穹顶非常适合与张拉膜屋面配合使用，但是膜结构屋面有时不能满足建筑隔音、保温和建筑光学的要求，所以出现了刚性屋面索穹顶结构，美国费耶特维尔的皇冠剧院是第一个刚性屋面索穹顶结构[6]．天津理工大学体育馆是工程实践中首次出现的边界为空间曲线的索穹顶结构．

针对刚性屋面索穹顶结构，李红雨[7]对压型钢板屋面索穹顶进行了静动力分析，并与不考虑屋面板的方案进行了对比；宗钟凌等[8]推导了压型钢板壳单离散方法，对 Geiger式索穹顶进行了静力分析并进行了模型试验研究；董石麟等[9]提出了一种单层网壳与索穹顶组合的空间结构，对该结构体系进行了静力性能和参数化分析；胡正平[10]以太原煤炭交易中心索穹顶为例对不同屋面与索穹顶的协同工作性能进行了分析．

为了研究刚性屋面系统对椭球形复合式索穹顶力学性能的影响，本文基于天津理工大学体育馆索穹顶屋盖对比分析了索杆体系模型、考虑檩条模型和考虑屋面板的 3种模型在均布荷载和半跨荷载下的力学性能，并且以预应力水平、水平支承刚度和撑杆高度为参数，对3种结构模型进行了分析．

1 工程概况

图1 体育馆效果图Fig.1 Sketch of the gymnasium

天津理工大学体育馆(见图1和图2)屋盖采用索穹顶结构，下部为钢筋混凝土框架．屋盖结构平面为椭圆形，长轴 102,m，短轴 82,m，采用外圈 Levy、内圈Geiger的新型索穹顶结构(见图3)．索穹顶周圈锚固于混凝土环梁，环梁呈马鞍形，短轴为最高点，长轴为最低点，最高点和最低点高差 5.455,m．根据建筑要求，其屋面外圈为金属屋面，中间叶片状部分为张拉膜屋面，膜屋面部分与金属屋面之间设置了高1.6,m的天窗，两种屋面均支承于檩条之上(见图4).

图2 体育馆整体模型Fig.2 Integral model of the gymnasium

图3 索杆体系平面图Fig.3 Plan of cable-strut system

图4 金属屋面布置范围Fig.4 Arrangement area of metal cladding

根据脊索的方向，索穹顶在径向划分为 16榀．由于屋盖边界为马鞍形，长轴和短轴的矢跨比差异较大，分别为0.056和0.035．长轴和短轴的剖面分别如图5和图6所示．

图5 长轴剖面Fig.5 Section of major axis

图6 短轴剖面Fig.6 Section of minor axis

2 有限元模型

本文采用 Ansys软件建立了 3个有限元模型作为对比分析．3个模型分别为：①模型1，考虑檩条和屋面板的模型；②模型 2，考虑檩条的模型；③模型3，仅有索杆结构的模型．

模型中拉索、撑杆和次檩采用 link180单元，其中拉索设置为只受拉；主檩通过支托支承于索穹顶节点上，主檩和支托采用 beam188单元[11]．3个模型的边界上的拉索节点均为 3向铰接．屋面板采用shell181单元．模型中主檩根据次檩的间距等分，板单元节点与次檩上的节点连接．

主檩和次檩均采用矩形钢管，主檩截面为450,mm×250,mm×10,mm 矩形钢管、次檩截面为350,mm×250,mm×10,mm矩形钢管．支托为φ159,mm×5,mm 的圆钢管，撑杆的截面从外圈向内圈分别为φ299,mm×10,mm、φ245,mm×10,mm 和φ219,mm×6,mm 圆钢管．工程中由于仅有屋面底板与檩条连接，故本文分析中仅考虑屋面底板的作用．屋面底板采用厚度为 0.9,mm、波高 35,mm、波距125,mm的压型钢板，压型钢板的强轴方向垂直于次檩．构件的单元和材料属性见表 1，主要拉索截面和预应力见表2．

表1 单元和材料属性Tab.1 Element and material properties

表2 主要拉索截面和预应力Tab.2 Section area and prestress of main cables

在本文的计算中将压型钢板等效为正交各向异性平板．压型钢板各向弹性常数计算式[12]为

式中：E0为钢材的弹性模量；Eyy为压型钢板强轴的等效弹性模量；Exx为压型钢板弱轴的等效弹性模量；l为压型钢板展开长度；a为等效的各向异性板长；ε为修正系数，一般取 2.0～2.5，本文取为 2.0；μ0为钢材的泊松比；G0为钢材的剪切模量；Geff为等效正交各向异性板的剪切模量；I0为等效正交各向异性板的横截面惯性矩；Ix为真实板的横截面惯性矩．

3 不同荷载分布下屋面系统对结构响应的影响

为了研究屋面系统对索穹顶结构性能的影响，本节对比了全跨均布荷载和半跨均布荷载下结构的位移和内力，均布荷载的施加范围如图 7所示．在模型1和模型 2中施加的均布荷载为屋面恒载和活荷载标准值之和的6倍，即6.3,kN/m2，在模型3中将檩条的自重折算为均布荷载通过虚面施加在索穹顶上．

图7 加载区域Fig.7 Loading area

3.1 全跨均布荷载下的结构响应

图8为均布荷载作用下 3个模型的位移计算结果．图9～图11为拉索索力的计算结果．

由图 8可见，在加载过程中结构的荷载-位移关系基本保持线性，模型 2较模型 3刚度提高了32.2%,，模型 1比模型 2提高了 10.3%,，可见檩条对结构刚度有较大贡献，屋面板对结构刚度有一定贡献，但不明显．

由图 9可见，由于屋面板对结构刚度的贡献，环索对均布荷载的敏感程度有所降低，与全跨结果相似，模型1与模型2的结果比较接近，而模型1与模型 3相比有较大提高．荷载的增加对内环索索力影响很小．

图9 全跨均布荷载作用下环索索力Fig.9 Cable force of hoop cables under full span uniform load

图10显示了长轴最内圈和最外圈脊索索力随荷载的变化．3个模型的长轴脊索索力在加载初期均呈现线性下降的趋势，模型3最内圈索力下降速度快于另两个模型，在加载至2.7,kN/m2时，模型3的JS-1A发生了松弛，此后由于内力重分布，其 JS-1D的索力反而大幅上升．而模型 1和模型 2中长轴脊索的索力十分相近并保持了线性下降的趋势，但是下降的数值远小于模型 3，这说明屋面结构极大地增加了结构抵抗外荷载的能力，尤其是对预应力水平较低的长轴方向．

图10 全跨均布荷载作用下长轴脊索索力Fig.10 Cable force of ridge cables along major axis under full span uniform load

短轴方向脊索索力见图11，模型 1和模型 2的脊索依然保持了线性下降的趋势，并且数值十分相似，而模型3的JS-5D由于长轴内脊索松弛后发生内力重分布，出现了先减小后增大的现象，模型 3的短轴脊索对荷载也比模型1和模型2更敏感．

总体来说，檩条对结构全跨荷载下的刚度贡献较大，纯索杆结构与考虑了屋面体系的结构内力分布有较大不同，而屋面板对结构的刚度贡献相对较小，基本上在10%,以内．

图11 全跨均布荷载作用下短轴脊索索力Fig.11 Cable force of ridge cables along minor axis under full span uniform load

3.2 半跨均布荷载作用下的结构响应

本节中分析了索穹顶结构在非对称均布荷载作用下结构的内力和位移，图表中所涉及的拉索及节点均位于施加均布荷载的一侧．

3.2.1 短轴半跨荷载作用下

由图12和13可知，与全跨情况类似，模型3在加载过程中 JS-1A发生松弛．但是由于长轴上荷载小于全跨情况，松弛时荷载为 3.25,kN/m2，在松弛前JS-1D索力先下降，松弛后因内力重分布再上升．但与全跨荷载不同的是，模型2的长轴索力下降的速度快于模型 1，说明屋面板能够增强结构对半跨承载能力．对于短轴脊索 JS-5D，索力大幅上升是由于短轴两侧的两榀内圈脊索发生松弛，短轴上承担的荷载增加．

图12 短半跨均布荷载作用下长轴脊索索力Fig.12 Cable force of ridge cables along major axis under short half span uniform load

图14为同圈环索最大索力和最小索力之差，从结果可见，模型2比模型1、模型3比模型2的索力差均有明显减小，檩条和屋面板都可以提高结构的整体工作性能，两者的作用效果相近．

图13 短半跨均布荷载作用下短轴脊索索力Fig.13 Cable force of ridge cables along minor axis under short half span uniform load

图14 短半跨均布荷载作用下HS-3索力差Fig.14 Force difference cable HS-3 under short half span uniform load

节点 6是位于短轴 1/4跨度上的节点，从图15可见屋面板和檩条对短轴方向竖向刚度的提高作用是相近的．与全跨均布荷载的情况(见图 8)对比，屋面板对增强结构抵抗半跨荷载作用更加明显．

图15 节点6竖向位移Fig.15 Vertical displacement of node 6

节点43是位于长轴1/4跨度上的节点，从图16中节点43的平面外位移可见模型2长轴脊索节点平面外位移基本与模型 3相同，都远大于模型 1，说明屋面极大地提高了每榀索杆结构的平面外刚度．

图16 节点43平面外位移Fig.16 Out-of-plan displacement of node 43

3.2.2 长轴半跨荷载作用下

由图17和18中长短轴的脊索索力变化可见，对于长轴半跨荷载的情况长轴和短轴上脊索索力变化趋势与短轴半跨情况基本一致，但是外圈脊索的受力更为接近．

图17 长半跨均布荷载作用下长轴脊索索力Fig.17 Cable force of ridge cables along major axis under long half span load

图18 长半跨均布荷载作用下短轴脊索索力Fig.18 Cable force of ridge cables along minor axis under long half span load

图19为HS-3的索力差，3个模型的HS-3索力差比短轴半跨情况更为接近，模型1和模型2有明显的上升，这是因为长轴方向屋面板和檩条覆盖面积较小，在这个方向受到半跨荷载后外圈拉索的受力较为相似．

图19 长半跨均布荷载作用下HS-3索力差Fig.19 Force difference of cable HS-3 under long half span load

由图20可见，长轴半跨荷载下长轴的模型 2和模型3的短轴平面外位移基本相似，也与模型1更为接近，这是由于节点 6处没有金属屋面覆盖，刚度主要由檩条贡献．

图20 节点6平面外位移Fig.20 Out-of-plan displacement of node 6

图21中，模型1和模型2长轴方向的竖向刚度比较接近，这与短轴有明显的不同，这是因为长轴方向屋面板布置面积较小，竖向刚度的提高主要是由于檩条的作用，与模型3结果对比可见对预应力水平较低的位置，檩条结构可以大幅提高结构的竖向刚度．

图21 节点43竖向位移Fig.21 Vertical displacement of node 43

对比两种半跨荷载工况与全跨荷载工况下结构的索力和位移，可以发现檩条对提高结构的竖向刚度起了很大作用，屋面板作用较小．但是，在半跨荷载作用下考虑檩条的结构和索杆结构的的平面外位移比较相似，而考虑了屋面模型的平面外位移则大幅小于前面两种结构，这说明屋面板对提高结构的平面外刚度起了较大的作用，檩条对提高平面外刚度作用较弱．

4 参数分析

为了研究更深入地对比3种模型的力学性能，本节进行了参数化分析．主要对比的参数有预应力水平、水平支承刚度、撑杆高度．参数分析采用全跨均布荷载，大小为恒荷载与活荷载标准值之和，即金属屋面部分1.05,kN/m2、膜屋面部分0.51,kN/m2．

4.1 预应力水平

索穹顶只有在施加了预应力才能形成结构，预应力水平是影响索穹顶结构受力性能的最主要因素．为了研究预应力水平对 3种模型受力性能的影响，以原有预应力(见表2)分布为基准，分析了 3种模型在 0.5倍、1.0倍、1.5倍和 2.0倍预应力水平下的受力性能．图22给出了不同预应力水平下的跨中竖向位移．

图22 不同预应力水平下的跨中位移Fig.22 Mid-span displacement under different prestress levels

由图23可见，在预应力从 1.0倍减小到 0.5倍时，3个模型长轴脊索索力减小趋势明显大于短轴脊索，尤其在预应力减小到0.5倍时模型3的JS-1A和JS-1B出现了松弛．但是，结构位移均未出现突变，这是由于控制结构跨中位移主要因素是短轴方向的索杆的刚度，长轴方向影响较小，从图23和24也可见跨中位移的变化趋势和短轴脊索的变化趋势较为一致；同时，这也说明索穹顶结构在部分拉索失效后并不会出现结构的整体破坏，而是会发生内力重分布达到一个新的平衡位置．

图23 不同预应力水平下的长轴脊索索力Fig.23 Cable force of ridge cables along long axis under different prestress levels

图24 不同预应力水平下的短轴脊索索力Fig.24 Cable force of ridge cables along short axis under different prestress levels

4.2 支座水平刚度

索穹顶结构设计中通常假设拉索锚固节点为固定节点，即不发生各个方向位移．但是，实际工程中无论周圈采用钢结构还是混凝土环梁，结构均会发生变形．尤其对于本工程，其环梁为马鞍形，刚度远小于圆形平面环梁，因此本节对比了环梁刚度为工程中采用的环梁刚度的0.01倍、0.1倍、10倍、100倍情况下3种模型的受力性能．

由图25可知，3种结构竖向刚度均随着环梁相对刚度的增大而增长，环梁相对刚度从0.1倍增加到10倍区间，结构的竖向刚度增加较为迅速，达到 100倍实际工程刚度中环梁刚度时结果与固定约束的结果接近．由模型1和模型2的曲线可见，水平约束刚度越大屋面板的蒙皮效应越明显，由模型2刚度变化幅度为4.6%,而模型3为9.3%,，这说明屋面支承体系不仅提高了屋盖的竖向刚度，也减小了其对水平约束刚度的敏感程度．

图25 不同环梁相对刚度下的竖向位移Fig.25 Vertical displacement under different relative stiffnesses of ring beam

与圆形环梁不同，椭圆形环梁短轴发生向内侧的位移会使长轴发生向外侧的径向位移，即变形后环梁短轴变短、长轴变长，尤其在短轴索力大、长轴索力小的情况下更为明显(如图26所示)．长轴脊索是内拉环和外环梁之间的连续拉索，环梁相对刚度增加，内拉环竖向位移减小会使脊索索力增加，而环梁在长轴处向外侧水平位移的减小又会使脊索索力减小．

从跨中竖向位移和环梁长轴水平位移的变化可知，环梁相对刚度从0.1增加到1时内拉环竖向位移减小较为明显，而后趋缓，但是环梁相对刚度大于 1后，水平位移减小趋势并未减缓，故脊索索力基本呈现先增大后减小的趋势．

图26 环梁径向位移Fig.26 Radial displacement of ring beam

总体而言，考虑环梁实际刚度的模型受力与固定约束边界的模型有一定区别，尤其是对模型3的影响更为明显．环梁相对刚度增加到实际刚度的 100倍时才与固定约束边界的结果接近，但是此时环梁尺寸已经远超实际工程可以接受的范围，因此对于边界为空间曲线的索穹顶，在实际工程的设计与分析中应考虑环梁以及下部结构刚度的影响．

4.3 撑杆高度

在结构设计中，通常结构完成面的形状和标高已由建筑设计确定．对于索穹顶结构这意味着在拉索布置方式确定后脊索的布置和角度已经基本确定，撑杆高度是影响结构性能的最主要因素．

在本节中分析了撑杆高度在工程实际的基础上增加 30%,到减小 30%,的结构变形情况．在撑杆高度变化后结构的预应力分布也会发生变化，故在不同撑杆高度的模型汇总取外环索索力相等作为标准，确定每个模型的预应力分布．

由图27的分析结果可知，在撑杆高度从+30%,减小到-30%,时3个结构竖向刚度都随着撑杆的高度减小而减小．屋面支承系统能够有效提升结构竖向刚度，尤其是结构几何刚度较小的时候，屋面板对结构竖向刚度影响较小．

图27 不同撑杆高度下竖向位移Fig.27 Vertical displacement under different strut lengthes

由于索杆模型的刚度主要是由几何刚度提供的，可见结构的几何刚度和撑杆高度间是非线性关系，尤其是与图22对比可见在提高结构刚度上，提高撑杆高度比提升预应力水平更有效．故实际工程中撑杆高度是在建筑净空要求的范围内选择尽量大的数值，而预应力水平是在满足结构要求的情况下选择较小的数值．

5 结 论

本文以天津理工大学体育馆为工程背景分析了马鞍形边界刚性屋面椭球形索穹顶的受力性能，得到如下结论．

(1) 屋面支承系统可以使索穹顶结构的刚度有较大提升；屋面板对刚度提升的作用较小，但是可以增强结构抵抗半跨荷载的能力和整体工作性能．刚性屋面索穹顶结构设计中可以主要考虑屋面支承系统的作用．

(2) 几何刚度对刚性屋面索穹顶结构整体刚度的影响小于其对纯索杆结构的影响．撑杆高度对结构几何刚度的影响大于预应力水平的影响．

(3) 结构刚度随水平支承刚度减小而减小，柔性屋面索穹顶对水平刚度变化更加敏感．实际工程中下部结构无法达到刚度无限大，故建议考虑下部结构的实际刚度．