江苏省镇江市丹徒高级中学 宗丽华

所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需对研究对象按某个标准分类，然后对每类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答。

分类讨论思想是高中数学中的一种重要数学思想，由于它能训练和培养思维品质的条理性和概括性，因此是高考重点考查的思想方法之一。明确分类标准，是准确解决分类讨论问题的前提，分类标准的确定类型主要有三种：一是根据数学概念来确定分类标准；二是根据数学中的定理、公式和性质确定分类标准；三是根据运算的需要确定分类标准。

一、根据数学概念来确定分类标准

例如，根据集合元素的性质；空集是任何集合的子集；去绝对值需要分正数、零和负实数三类情况讨论等。

二、根据数学中的定理、公式和性质确定分类标准

例如，在学习指数函数时，让学生认识到指数函数 的单调性因底数a的取值范围不同而不同，即：当a＞1时， 在定义域内为增函数；当 0＜a＜1 时， 在定义域内为减函数。再比如，在利用错位相减法推导等比数列前n项和公式时，要让学生认识到求和公式是受到公比q限制的，即：当q＝1时， ；当q≠1 时，

例3 已知等差数列{an}的前3项和为6，前8项和为－4。

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设bn＝（4－an）qn－1（q≠0，n∈N＊），求数列{bn}的前n项和Sn。

三、根据运算的需要确定分类标准

参数广泛地出现在数学的各种问题之中，参数的存在会对问题的解决产生种种影响。一个问题中的参数通常可以取几个不同的数值，而在不同取值情况下，所采用的解决策略和处理方式都不尽相同，因而会产生不同的结果，这就要求我们必须对参数取不同值时的各种情况分别加以讨论。比如在习题教学中，含有参数的方程、不等式等问题是比较常见的。

分析：首先这是一个含参数a的不等式，学生很容易认为是一个二次不等式，实际上不一定。因为二次项系数是含参数的，取值不同使不等式类型发生变化，故需要对二次项系数a分类：（1） ；（2）a=0。对于（2），不等式易解，而对于（1），又需要再次分类：

或 ，因为这两种情形下，不等式解集的形式是不同的。不等式的解是在两根之外，还是在两根之间，而确定这一点之后，又会遇大谁小的问题。因而又需要做一次分类讨论。故而在解题时，需要做三次分类讨论。

总之，分类讨论思想能够促使学生全面而周密地分析和思考问题，有助于提高思维的逻辑性和严谨性。因而，在教学中对分类讨论思想进行教学渗透时，指导学生挖掘分类标准，可以优化学生的思维品质，提高学生的数学能力，达到事半功倍的效果。