欧阳洋，陈厚磊 ，唐清君，梁惊涛

（1.中国科学院理化技术研究所 空间功热转换技术重点实验室，北京 100190；2.中国科学院大学，北京 100190）

0 引言

脉冲管制冷机因其结构简单、振动小、可靠性高、寿命长等优点已得到空间和军事领域的广泛应用[1]。超高频脉冲管制冷机通常指工作频率在100 Hz左右的脉冲管制冷机，具有体积小、质量轻、降温速度快等优点。超高频双冷指脉冲管制冷机即指一台压缩机同时驱动两个冷指且工作频率在100 Hz左右，可以满足空间多温区、多个位置的制冷需求。

国内外研究的双冷指脉冲管制冷机工作频率大部分在50 Hz左右。2009年，NGST报道了一台单压缩机驱动一个直线性冷指和一个同轴冷指的新型脉冲管制冷机，该制冷机用于美国气象卫星探测器的冷却，在186 W的输入功率下直线型冷指和同轴型冷指可分别获得2.3 W@53 K和8 W@183 K的制冷量[2]。2011年，NGAS报道了同种类型的脉冲管制冷机，在170 W的输入功率下直线型冷指和同轴型冷指可分别获得6.86 W@95 K和9.82 W@180K的制冷量[3]。2010-2015年，中科院理化技术研究所不断开展单台线性压缩机驱动多个同轴型冷指的实验研究，主要研究影响冷指之间气量、声功分配的因素[4-6]，2014-2017年，上海技物所也开展了相关的研究[7-8]。但对于超高频双冷指脉冲管制冷机匹配特性研究还是首次提出。实验研究发现，压缩机驱动单冷指可以获得较好的性能，但驱动并联的两个冷指的制冷性能和效率远低于驱动单个冷指。这就意味着并联的双冷指与压缩机匹配性不好。因此从阻抗的角度研究双冷指与压缩机的匹配耦合，对线性压缩机的参数优化进行预测。

1 实验现象

采用两个尺寸基本一致的同轴型冷指和一台双活塞对置式动圈线性压缩机开展了三组实验。两冷指分别命名为PTC1和PTC2，线性压缩机则命名为LC1。图1（a）为单个冷指与压缩机耦合的脉冲管制冷机，图1（b）为两个冷指并联后与该压缩机耦合的脉冲管制冷机。三组实验的脉冲管制冷机组合方式如表1所列。

图1 脉冲管制冷机实物图Fig.1 The physical diagram of pulse tube cryocooler

图2为各冷指的无负荷最低温度随频率变化的曲线图。其中Case1和Case2中压缩机的输入功率为30 W，Case3中压缩机的输入功率为60 W。从图中可以看出，Case3中各冷指所获得无负荷最低温度整体都要比Case1和Case2中冷指所获得无负荷最低温度要高一些。此外，压缩机驱动单个冷指的最优频率在120 Hz，压缩机驱动双冷指时两个冷指的最优频率发生变化，最优频率变为115 Hz。

表1 脉冲管制冷机组合方式Table1 The combination mode of pulse tube cryocooler

图2 无负荷最低温度随频率变化曲线Fig.2 The diagram of the minimum temperature of cold finger change with frequency

图3为各冷指在其最优频率下的制冷性能，图中Case1和Case2的压缩机输入功率分别为30 W、40 W、50 W，Case3的压缩机输入功率分别为60 W、80 W、100 W。从图中容易发现，在任意一种功率下，压缩机驱动单冷指获得的制冷性能都比该冷指在双冷指制冷机中表现的性能要好。在120 K以下的温区，单冷指脉冲管制冷机中，同等功率下冷指PTC1表现出的制冷性能比冷指PTC2表现出的制冷性能好一些。同样，在双冷指脉冲管制冷机中冷指PTC1表现出的制冷性能也比冷指PTC2表现出的制冷性能要好。图4（a）为冷指80 K制冷量随功率变化图，图中横坐标的30 W代表单冷指脉冲管制冷机的输入功率为30 W，而双冷指脉冲管制冷机输入功率为60 W，以此类推。由图可知冷指在双冷指脉冲管制冷机中获得的制冷量比其在单冷指脉冲管制冷机中获得的制冷量要小一些，且随着功率的增加两者的差距越来越大。在50 W输入功率下，Case1和Case2分别获得1.88 W@80 K和1.64 W@80 K的制冷量；在100 W输入电功率下，Case3则获得1.53 W@80 K和1.31 W@80 K的制冷量。双冷指脉冲管制冷机中各冷指80 K制冷量相比单冷指脉冲管制冷机下降了17%至20%。图4（b）为冷指80 K制冷效率随功率变化图，从图可以发现双冷指脉冲管制冷机的制冷效率比两个单冷指脉冲管都要低。

图3 各冷指在最优频率下制冷性能曲线Fig.3 Refrigeration performance of each cold finger at the optimal frequency

从实验可以看出压缩机驱动并联的双冷指的制冷性能和效率比驱动单个冷指的都要差一些，从阻抗的角度对这一现象进行分析，并提出优化方案。

图4 冷指80 K制冷量和制冷效率随功率变化曲线Fig.4 Cooling capacity and efficiency of cold finger at 80K change with input power

2 理论模型

在理论模型中可以将脉冲管制冷机抽象为两部分，一部分是压缩机；另一部分为压缩机负载。压缩机负载可以是单个冷指（如图5所示），也可以是并联的两个冷指（如图6所示）。用压缩机出口处的阻抗代表整个压缩机负载的阻抗，阻抗的复数形式表达如式（1）：

式中：Pm为压缩机出口处压力波的幅值；Vm为压缩机出口总体积流的幅值；P͂、V̇͂为压力波、体积流的复数表达形式；Φ为压力波与体积流之间的相位差；Ra为阻抗实部；Xa为阻抗虚部。

图中位移传感器是用来测量活塞位移，便于换算成体积流；压力传感器则用于测量压缩机出口的压力波；加热块用于模拟热负载，测量制冷量，铂电阻温度计则用于测量冷头温度。

图5 单冷指脉冲管制冷机实验原理图Fig.5 The schematic diagram of the experiment of the single cold finger pulse tube cryocooler

图6 双冷指脉冲管制冷机实验原理图Fig.6 The schematic diagram of the experiment of the double-cold-finger pulse tube cryocooler

压缩机的铜耗效率和PV功转化效率表达如式（2）和式（3）：

式中：Welec为输入功率；R为绕线总电阻；Iˉ为压缩机总电流平均值；WPV为压缩机电功转换PV功。

由于实验中用到的压缩机是两活塞对置分布，两线圈并联在电路中，且两活塞位移基本同步，两活塞各自产生一半的总体积流，两线圈各分得一半的总电流，单个线圈电阻为引线总电阻的两倍。因此，压缩机的电学和力学方程可表达为复数形式式（4）、式（5）：

式中：U͂、I͂、R分别为压缩机的总电压、总电流、总电阻；V̇͂、P͂为压缩机出口总体积流、压力波；m为单边动子质量；k为单边板弹簧刚度；L为单线圈电感，Bl为直线电机单边比推力；A为单个活塞的截面积；c为等效机械阻尼系数。

联立上述方程可以得到压缩机的理论铜耗效率和PV功转化效率：

铜耗效率反映焦耳热损失的多少。PV功转化效率能更准确地反映压缩机与冷指匹配的好坏。这两公式将压缩机负载阻抗和压缩机的各个参数联系在一起。笔者详细推导了该公式，并已验证了公式的正确性，能很好的解决单个冷指与双活塞动圈式压缩机的匹配问题。研究双冷指脉冲管制冷机的匹配问题则只需将并联的双冷指看成一个当量冷指即可。因此根据式（7），只需将并联的双冷指看作一个当量冷指，使其阻抗保持不变，优化压缩机各参数，使PV功转化效率提高，即可使双冷指与压缩机匹配更好。

3 优化分析

图7是压缩机负载阻抗随频率变化的曲线图，三组实验的压缩机负载阻抗实部和虚部均由式（1）计算出来的，而Ra*和Xa*则是将Case1和Case2中的压缩机负载阻抗代入式（8）计算出来的。从图中可以看出Case3的阻抗趋势和Ra*、Xa*基本一致，且数值非常接近，由此可以看出两冷指并联后总阻抗的计算方式基本满足式（8），这与电路中的电阻计算方式基本一致。

图7 阻抗与频率的关系曲线Fig.7 The diagram of the relationship between the impedance and the frequency

图8中PV1和PV2分别是由式（3）、式（7）得到的理论计算PV功转化效率和实验测得的PV功转化效率。CU1和CU2则分别是由式（2）、式（6）得到的理论计算铜耗效率和实验测得的铜耗效率。双冷指脉冲管制冷机的PV功转化效率是指两个冷指并联后作为一个整体与压缩机的匹配效率，单冷指脉冲管制冷机的PV功转化效率则为单个冷指与压缩机的匹配效率。从图可看出理论计算的PV功转化效率、铜耗效率与实测的趋势基本一致，且数值相差不大。此外，单冷指脉冲管制冷机在最优频率120 Hz时的PV功转化效率和铜耗效率都比双冷指脉冲管制冷机在最优频率115 Hz时的高。Case1和Case2中，在冷指最优频率120 Hz时的实测PV功转化效率分别为70.66%和71.90%，理论计算的PV功转化效率分别为66.72%和66.67%。Case3中，并联的双冷指在最优频率115 Hz时的实测PV功转化效率为57.92%，理论计算的PV功转化效率为60.62%。因此双冷指与该压缩机的匹配是有优化空间。

基于式（7）可以得到压缩机负载阻抗与压缩机理论PV功转化效率的关系。PV功转化效率的大小直接影响制冷性能的好坏。图9（a）为压缩机在120 Hz时其PV功转化效率与阻抗的关系图，等高线上的数值表示PV功转化效率的大小，五角星代表冷指PTC1和冷指PTC2单独与该压缩机耦合的阻抗。图9（b）为压缩机在115 Hz时其PV功转化效率与阻抗的关系图，五角星代表双冷指作为压缩机负载的阻抗。对比两图可以发现，单冷指脉冲管制冷机获得PV功转化效率比双冷指脉冲管制冷机要高，因此双冷指作为压缩机的负载与该压缩机匹配较差。从图中可以看出，如果压缩机不做改变，则需调整双冷指的阻抗，使其与该压缩机耦合获得更高的PV功转化效率。关于如何调节阻抗还未详细研究，因此关于双冷指脉冲管制冷机的优化重点放 在压缩机上。

图9 阻抗与理论PV功转化效率的关系图Fig.9 The diagram of the relationship between the impedance and the theoretical PV work transformation efficiency

图10和图11为基于双冷指作为压缩机负载其阻抗不变，在双冷指最优频率115 Hz时，根据理论式（7）得到的压缩机各参数与理论PV功转化效率的关系图，图中虚线为目前压缩机的各参数数值。从虚线所在位置可以发现与双冷指耦合的压缩机各参数并未在最优值，压缩机的各参数量可以进一步优化。图10（a）中R/（Bl）2为电阻与比推力平方的比值，在这称为电磁参数。从图可知随着电磁参数的增加，PV功转化效率越低，因此电磁参数越小越好，优化压缩机该参数即需减小线圈电阻，增加比推力。图10（b）显示该压缩机的动质量在最优值的右侧，因此可以通过减小动质量来提高该压缩机与双冷指耦合的PV功转化效率，将动质量减小至0.044 kg时，可以使理论PV功转化效率从60.62%提高至65.28%。图11（a）中板弹簧弹性系数在最优值左侧，因此也可以通过提高板弹簧弹性系数来提高该压缩机PV功转化效率，同样将板弹簧弹性系数提高至24 000 N/m可以使PV功转化效率提高至65.28%。图11（b）中该压缩机的活塞直径处在最优值的左侧，因此增加活塞直径可以提高该压缩机PV功转化效率，将活塞直径增加至0.013 9 m时，可以使PV功转化效率提高至66.67%。

图10 理论PV功转化效率随压缩机各参数变化曲线Fig.10 the diagram of the theoretical PV work transformation efficiency change with the parameters of the compressor

图11 理论PV功转化效率随压缩机各参数变化曲线Fig.11 the diagram of the theoretical PV work transformation efficiency change with the parameters of the compressor

4 结论

使用两个尺寸基本一致的冷指与一台压缩机分别进行单冷指脉冲管制冷机和双冷指脉冲管制冷机实验，发现双冷指脉冲管制冷机制冷性能和效率都不如单冷指脉冲管制冷机，经分析发现双冷指作为压缩机负载，其阻抗与该压缩机匹配的不是很好。因此，通过理论PV功转化效率公式对压缩机进行优化预测，指导压缩机的优化方向。理论计算出压缩机的优化方向有减小电磁参数、减小动质量、增加板弹簧弹性系数以及增加活塞直径等。优化后的双冷指脉冲管制冷机可获得和单冷指脉冲管制冷机几乎一致的理论PV功转化效率。

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