汪丽娜 庞晶

摘要：线性代数的实际应用是传统教育方式中的薄弱环节。文章提出将社会网络分析案例引入非数学专业线性代数的课堂中。通过小组讨论的形式用矩阵代数的方法分析真实社会网络的一些性质，强化学生对线性代数概念和原理的理解。在线性代数课堂中，分析真实的社会网络，需要教师进一步提高教研能力。

Abstract： In traditional teaching of linear algebra， its widely application is weakness. Implementing case method in linear algebra teaching is presented in this paper. In order to adapting each majors difference， social network case is the preferred one. In the form of group discussions， some properties of real-world social networks are analyzed by matrix algebra. This can strengthen the understanding of the concept and principle on linear algebra. Analyzing real-world networks in linear algebra teaching， teachers need to further improve the teaching and research abilities.

关键词：案例分析；线性代数；社会网络

Key words： case methods；linear algebra；social network

中图分类号：G642 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2018）17-0191-02

0 引言

线性代数是高等学校理、工、经、管等学科的必修课，其思想、理论、方法已经渗透到科学、技术、工程、社会、人文等领域。文章提出将案例分析法引入线性代数的课堂中，为了适应各专业的背景差异，采用社会网分析案例。

1 线性代数案例法的必要性

1.1 线性代数的课程特点

一方面，人类所研究的问题越来越复杂，规模越来越大，将变量间的复杂关系线性化使得线性代数成为解决大规模线性问题的有力工具。另一方面，计算机领域的快速发展，推动和促进了线性代数的应用。线性代数成为理、工、经、管等各专业的必修课，其地位与高等数学相当。

线性代数研究线性科学中的线性问题，其主要内容是线性方程组、矩阵代数、向量空间，以及与线性变换密切相关的方阵的特征值和二次型这种线性空间之间特殊的双线性函数等[1]。线性代数的特点是：概念多、定理多、内容抽象，前后联系紧密。

通过课程的学习培养学生的抽象思维能力和逻辑推理能力；同时，教授给学生一种有用的运算方法和工具，为后续的专业课程的学习打下基础。理论、计算和应用是线性代数的三个基本组分。虽然其实际应用非常广泛，但是却是课堂教学中的一个薄弱环节，常常因其抽象而不能引起学生的学习兴趣。

1.2 现有课堂教学存在的问题

现行的线性代数课堂教授形式多采用传统方式，侧重于数学方法和技巧的讲授，缺乏实用性和趣味性。内容层次上多遵从概念->定理->例题->习题的模式，与专业课联系不紧密[2]。

清华大学学习发展中心对线性代数学习情況的调研[3]显示：55%的学生想学好线性代数但效果不明显；66%的学生认为线性代数的概念抽象，理解不到位，难以得到全面的认识。因此，一些学生失去了学习线性代数的兴趣。调研情况显示学生对于理解线性代数的思维模式，为什么学习线性代数，以及线性代数的现实应用等方面比较感兴趣。案例法恰好可以提供线性代数生动的应用背景。

1.3 案例法的特点

案例是为了一定的教学目的，围绕选定的问题，以事实为素材编写的对某一实际情境的客观描述[4]。案例来源于真实生活，具有代表性和启发性。案例法要依据一定的目的，在教师指导下，由学生讨论和分析案例，得出解决问题的方法，做出相应的决策。

案例分析过程中，学生是主体，教师处于从属地位。与传统课堂讲授方式相比，案例法能够锻炼学生的应变能力和应用能力。通过案例分析，学生分析问题的能力得到提高，同时加深了对基本概念和主要理论的理解、掌握与运用。案例法有利于培养学生的自主性和思辨性，提高创造性学习的能力。

2 社会网分析案例法的可行性

2.1 社会网分析

将社会环境中的个体抽象为节点，将个体间的关系抽象为节点间的连边，形成社会网络结构。个体既可以指具体的人，也可以指某个群体、组织或单位。个体间的关系根据研究的需要而确定，其种类多种多样。比如，人与人之间的合作关系、国家之间的贸易关系、论文之间的引用关系等等。社会网分析研究不同个体所构成的关系的结构及其属性，它是研究社会结构的一种观点和方法。

社会网分析强调网络结构对社会现象的解释，个体的行为会影响关系的产生或断裂，使得网络结构发生变化，进而影响集体的行为。因此，社会网分析中，微观层面的个体分析可以解释宏观的社会现象[5]。矩阵和代数是描述和分析社会网的最基本方法之一。例如，矩阵可以表达和存储社会网络中的个体以及它们之间的联系。此外，运用矩阵的乘法可以研究个体的中心性以及个体间的可达性。图1是一个经典的社会网络实例：Zachary空手道俱乐部成员关系网[6]。（a）是表征俱乐部成员关系的有向图，一共34个节点，78条边；每个节点代表俱乐部中的一位成员，连边表示他们的朋友关系。（b）是（a）图中的5号节点和它的邻居们构成的子图的邻接矩阵，其中元素aij=1表示节点vi有边指向节点vj。

2.2 适用专业广泛

社会网分析是社会学家依据数学、计算机等发展起来的定量化分析方法，它在社会学、人类学、心理学等领域有广泛的应用。取材于生活中社会现象的社会网络案例，易于教师的认知和学生的理解。如前所述，线性代数是理、工、经、管各专业的必修课，如果要求数学教师依据各个专业的背景提供合适的案例，现阶段并不可行。社会网络案例具有广泛的适用性，可以用于以上各专业的学生学习和讨论。

2.3 案例易于获取

2000年，中国学者开始接触社会网分析。经过多年的发展，社会网分析已经成为重要的研究思想，涉及知识管理、信息传播、社会资本等各个领域。研究者们将大量的真实社会网络数据发布在互联网上供研究爱好者免费使用。例如，Ucinet数据集，Pajek数据集，LinkedSci数据集等。教师可以依据教学目的、内容，参考学生的学习接受能力，选取适合的社会网络用于案例分析的实践。

2.4 可视化与可测量

社会网分析软件Gephi、NetDraw和Pajek提供了较好的可视化图形，根据社会网络邻接矩阵可以生成相应的社会网络图，学生可以形象直观地了解网络的结构和变化。此外，Ucinet软件提供了较强的分析计算网络的工具，其第六版可以免费下载使用。

3 社会网分析案例法的实施措施

3.1 学时安排

考虑到线性代数现有学时数的限制，案例法不宜安排过多学时，在讲授矩阵代数等基本概念时可以使用社会网分析案例。以Zachary空手道俱乐部成员关系网络[6]作为案例，它是社会学分析领域中最常见的一个小型网络之一。讲授矩阵的定义和线性运算时，引导学生讨论如何用矩阵和矩阵的运算表示网络并分析网络中个体的重要性。

3.2 课堂组织形式

以小组讨论的形式开展案例分析。多给予学生肯定的鼓励和表扬，调动学生的主动性和参与性，改变重做题、轻应用的学习习惯。引导学生提前了解案例分析的知识准备、前期工作和案例分析的流程，支持学生的发散性思维，表扬好的方面，同时提出需要努力的方向。在线性代数考试中，加入案例分析表现的分数，激励学生积极参与课堂讨论与案例分析。

3.3 存在的障碍

教材缺乏。尽管社会网分析案例非常丰富，但是，现行社会网分析教材更侧重于社会学理论，线性代数教材更侧重于数学理论，二者结合的教材比较匮乏，更没有针对线性代数教学用的社会网分析教材。因而，社会网分析案例方法提高了对教师的个人教研能力，同时需要教师投入更多的时间精力。

授课方式冲突。多年来，高校非数学专业线性代数课程的讲授以合班和大班为主，上课人数较多，不利于课堂讨论模式。以120位学生的大班为例，分组讨论的互动形式对教师的课堂掌控能力、学生的自觉性提出了更高的要求。大班授課与分组讨论的这种矛盾直接影响了课堂教学的效率，容易让案例法流于形式，起不到应有的积极作用。

教育设施不足。为了达到较好的授课效果，研讨社会网分析案例需要更多的教育资源支撑。案例分析过程中，需要软、硬件的技术支持。在课堂上，如果学生不能直接动手分析和计算，将使得案例法成为单纯地教师对概念和原理的讲解，起不到案例分析应有的教育效果。

教师和学生的位置转换适应。从教师讲授、学生接受的传统方式，转换到学生主动分析、教师辅助引导的案例分析方式，对教师和学生的适应能力都是考验。尤其，如果学生在案例分析过程中遇到困难，教师很容易返回到传统教育中教师主导的状态。此时，案例不能起到拓展学生发散性思维的效果。

参考文献：

[1]邓辉文.线性代数[M].北京：清华大学出版社，2014：1.

[2]黄玉梅.非数学专业线性代数实践性教学研究[J].西南师范大学学报（自然科学版），2010（6）：201-205.

[3]http：//www.sojump.com/viewstat/1997178.aspx.

[4]张家军，靳玉乐.论案例教学的本质与特点[J].中国教育学刊，2004（1）：48- 50.

[5]罗家德.社会网分析讲义[M].北京：社会科学文献出版社， 2005：10.

[6]Zachary W W. An information flow model for conflict and fission in small groups[J]. Journal of Anthropological Research， 1977（33）： 452- 473.