唐军强

（焦作大学基础部，河南 焦作 454003）

欧拉在数学的多个领域都做出了卓越的贡献，数论中有一个函数以欧拉的名字命名。设n为任意给定的正整数，定义φ（n)为比n小且与之互素的自然数的个数（包括1在内），例如比3小且与 3互素的正整数有 1和 2，从而有φ（3)=2。欧拉给出了计算φ（n)的公式，若自然数n可以表示为一些素因数的幂的乘积，即n=这里 p1,p2…pt为素数，a1,a2…at为正整数，则有

该公式与另一个同样是由欧拉给出的计算黎曼ζ函数在正整数点的公式[1,2]有相似之处，只不过黎曼ζ函数中要对所有的素数取类似的乘积。二者之间是否具有某种联系，现在还不清楚。本文给出欧拉公式的一个初等证明，并从该公式出发，讨论这个定义在正整数集合上的φ（n)的性质。

1.欧拉公式的证明

由于φ（n)代表比 n小且与 n互素的自然数的个数，而与n不互素的自然数必然是p1,…pt或者其中一些组合的倍数，因此计算φ（n)只需要从n-1个正整数中减去这些不互素的自然数即可。在这n-1个自然数中，p1的倍数有-1个，p2的倍数有-1个，以此类推，pt的倍数有-1个。第一步计算，我们先减去这些倍数，得到下式

但是，如果一个正整数是 p1p2，p1p3…p1pt,…pt-1pt的倍数，则在第一步的计算当中，这些数被减去了两次，从而应当再加上一次。第二步的运算就有下式

同 样 地 ，如果一个正整数是 p1p2，p1p3…p1pt,…pt-1pt的倍数，则这些数在第一步的运算当中被减去了次，在第二步的运算当中被加了次，从而应当再减去一次。即有第三步的运算

重复该过程，如果一个正整数是p1p2，p1p3…p1pt,…pp的倍数，则这些数在第一步中被减去了t-1t次，在第二步的运算当中被加了次，在第三步的运算当中被减了次，而-+-=-2，从而应当再加上一次，则有第四步运算

由上面的过程可知，如果一个正整数是p1,p2，…pt中任意k(1kt）个素数的倍数，则经过第 k步的运算之后，有

也就是说，无论 k为奇数或偶数，经过 k步的运算之后，刚好减去了一次。从而我们可以得到求φ（n)的公式如下

经过整理之后，得到

而这正是（1）式的展开式。

2.欧拉函数的性质

性质2 对于任意的正整数n＞2，φ（n)为偶数，但是，欧拉函数的值域并非是全体偶数。证明：当n＞2 时，若 n 仅有素因子 2，即 n=2k（k≥2），由（2）式可知φ（n)能被整除；若 n有大于 2的素因子p，则p-1能被整除。

再来看，14这个偶数就不是任何正整数的欧拉函数值。假设存在一个n，使得φ（n)=14，则必有 ka-1(k-1)=14或者(p-1)(q-1)=14，这里 k,p,q均为素数。由第一个式子可知ka-1(k-1)=2×7，由于k和k-1是互素的，从而应当有

可以看到这两个方程组对于a均无整数解。而由第二个式子可以得到

解得 p=2,q=15和 p=3，q=8，但是 15和 8又不是素数，从而这种分解也是不可能的。100以内的不在欧拉函数值域中的偶数有：14,26,34,38,50,62,68,74,76,86,90,94,98。

性质3 对于任意的正整数n有

性质 4 （欧拉-费马定理[3]）设(a，n)=1，N=φ（n)则aN=1(mod n)

证明：取模 n的一个既约剩余代表系 r1，r2…,rN,由于(a，n)=1,ar1，ar2…,arN也是模 n 的一个既约剩余代表系，且有 ari=rai(mod n)，这里 a1，a2…,aN是 1,2,…N的一个排列。将这N个同余式连乘得

由于ri与n互素，两边消去ri，即得 aN=1(modn)

3.结语

素数领域可以说是数学研究中出现最多“例外”的地方，人们对于普遍性规律的认识，往往都是先通过分析计算、寻找规律、大胆猜测，然后寻找合适的证明。但是在素数的研究领域，通过有限的计算获得的规律性往往是不可靠的。例如欧拉曾经猜想：对于每个大于2的整数n，任何n－1个正整数的n次幂的和都不是某个正整数的n次幂。但是在1966年，这一猜想被推翻。1988年，哈佛大学教授埃尔基给出了一个令人瞠目结舌的反例[4]，即：

如哥德巴赫猜想一样极其简单的表述：“任意大于2的偶数可以表示为两个素数之和”，200多年来难以获得证明，即使能够找到十万亿个偶数对该表述成立，也不能说问题已经解决，因为我们不知道，在那遥远的地方，会不会有一个“例外”。

正是这些貌似简单，实则隐藏着无穷奥秘的数学问题，激发着人们的好奇心，激励着一代又一代的数学家为之奉献终身。欧拉函数与黎曼函数乃至与素数分布之间的关系，仍有待于进一步的探索。