湖北 廖庆伟

数学是一种文化，它是人类文明的重要组成部分.本文以数列知识为依托，帮助同学们理解数学文明的文化价值，欣赏数学智慧之美.

一、求首项

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A.{1,4} B.{2,3,4}

C.{4,5,32} D.{4,5,32,64}

即m=4.

②若a1=m为奇数，则a2=3a1+1=3m+1为偶数，

所以m取值的集合为{4,5,32}，故选C.

二、求公差

例2.(2017·江西上饶一模)《张丘建算经》卷上第 22题为：“今有女善织，日益功疾(注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布)，第1天织6尺布，现一月(按30天计)共织540尺布”，则从第2天起每天比前一天多织布

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【解析】依题意每天织布尺数构成等差数列，设为{an}，公差为d，

【点评】《九章算术》教会了人们用等差数列的知识来解决问题.本题需要构造等差数列模型，用等差数列的求和公式求解.

三、求公比

所以AB=AC=a1=2，

【点评】本题以等腰直角三角形为载体，考查了等比数列的性质，同时能感受数学图形之美．

四、求通项

【解析】因为函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)有两个零点1，2，

所以f(x)=a(x-1)(x-2)=a(x2-3x+2)，

所以an+1=2an，

即数列{an}为等比数列，且通项公式为an=2n.

五、求项数

例5.(2017·钦州二模)我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤．斩末一尺，重二斤．问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细．在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由粗到细是均匀变化的，其重量为M，现将该金杖截成长度相等的10段，记第i段的重量为ai(i=1，2，…，10)，且a1

【解析】由题意知由细到粗每段的重量成等差数列，记为{an}，设公差为d，

即39+6i=75，解得i=6．

【点评】由题意知由细到粗每段的重量成等差数列.注意等差数列的重要性质：若m+n=s+t，则am+an=as+at．下标的特点往往是数列问题求解的切入点.

六、求和

例6.(2017·全国新课标Ⅱ理)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯

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A．1盏 B．3盏

C．5盏 D．9盏

【点评】用已知信息，合理建立数学模型——数列模型，判断是等差数列模型还是等比数列模型，是求解的关键.要明确目标，即搞清是求和、求通项还是解递推关系问题，所求结论对应的是解方程问题、解不等式问题还是最值问题．

例7.(2017·荆、荆、襄、宜四地七校联考)“斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现．数列中的一系列数字常被人们称为神奇数．具体数列为：1,1,2,3,5,8，…，即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和．已知数列{an}为“斐波那契”数列，Sn为数列{an}的前n项和，则(1)S7=________；(2)若a2017=m，则S2015=________．(用m表示)

【解析】(1)由已知得S7=1+1+2+3+5+8+13=33.

(2)因为Sn+2-Sn=an+2+an+1=an+3，

所以S2015-S2013=a2016，

S2013-S2011=a2014，

……，

S3-S1=a4,

累加得S2015-S1=a2016+a2014+a2012+…+a6+a4，

因为a2017=a2016+a2015=a2016+a2014+a2013=a2016+a2014+a2012+a2011+…+a4+a3=S2015-S1+a3，

所以S2015=a2017+S1-a3=m+1-2=m-1.

【点评】斐波那契数列的发明者，是意大利数学家列昂纳多·斐波那契.斐波那契数列，又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，…

例8.如图，在杨辉三角中，斜线l的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1，3，3，4，6，5，10，…，记其前n项和为Sn，则S21=

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A．229 B．283

C．361 D．374

【解析】根据图中锯齿形数列的排列，

发现a1=1，

a3=3=1+2，

a5=6=1+2+3，

a21=1+2+3+…+11，

而a2=3，

a4=4，

a6=5，

……，

a20=12，

所以前21项的和

【点评】本题以杨辉三角为例，由图中锯齿形数列排列，其规律是：奇数项的第n项可以表示成正整数的前n项和的形式，偶数项构成以3为首项，1为公差的等差数列．

七、求最值

例9.古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，若要使织布的总尺数不少于30尺，该女子所需的天数至少为______ .

【点评】本题实质上是等比数列在生产生活中的实际应用，注意等比数列的性质的合理运用．

例10.(2017·全国新课标Ⅰ理)几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是

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A．440 B．330

C．220 D．110

【解析】设首项为第1组，接下来两项为第2组，再接下来三项为第3组，依此类推．

即2k-1=2+n(k∈N*,n≥14)，k=log2(n+3)，所以n的最小值为n=29，k=5，

【点评】本题非常巧妙地将实际问题和数列融合在一起，首先需要读懂题目所表达的具体含意，以及观察所给数列的特征，进而判断出该数列的通项和求和.本题的难点在于数列里面套数列，第一个数列的和又作为下一个数列的通项，而且最后几项并不能放在一个数列中，需要进行判断.