广东 杨伟达

高考试题源于教材，又高于教材．纵观近几年高考数学题，许多高考试题在教材中都有呈现，进而找到了试题的“活化石”．因此，回归教材就是在高考题中找到教材中的“活化石”，感悟着“活化石”带来的数学味道．

一、题目再现

题目(高中人教版必修5 P18练习第2题) 一块四边形土地的形状如图所示，它的三条边的长度分别是50 m，60 m，70 m，两个内角是127°和132°，求四边形的面积(精确到0.01)．

分析这是一道生活中的数学题，在翻阅教材时引起了笔者的注意，于是捡回了此题，查阅教师教学用书，可在教参里只提供了答案，没有详细的解答过程，或许该题运算繁杂、方法复杂，或许是练习题的缘故，没有引起师生重视．对此笔者感到在生活中数学无处不在，加上解决此题的思想、方法来自生活实践，觉得很值得探讨．

二、解法探究

思路一(分割+正、余弦定理)

分析对于这样的不规则的四边形，没有直接计算面积的方法，于是采用分割法把四边形分成两个三角形，分别求出两个三角形的面积，以和的形式求得四边形的面积．

解法1如图，连接AC，

在△ADC中，根据余弦定理得

AC2=AD2+DC2-2AD·DC·cos∠ADC

=502+602-2×50×60×cos127°

≈9 710.89，

所以AC≈98.54 m.

求得sin∠ACD≈0.405 2,

所以∠ACD≈23.9°(锐角),

因为∠ACB=132°-∠DCA=132°-23.9°=108.1°,

所以S四边形ABCD=S△ACD+S△ACB

≈4 476.19 m2.

思路二(补形+正弦定理)

分析对于这样的不规则的四边形，没有直接计算面积的方法，于是采用补形法把四边形补角还原成一个大三角形，分别求出两个三角形的面积，以差的形式求得四边形的面积．

解法2如图,∠ADC，∠DCB分别是△DEC的外角

因为∠ADC=127°，∠DCB=132°,

所以∠EDC=53°，∠ECD=48°,

所以∠E=180°-∠EDC-∠ECD

=180°-53°-48°

=79°,

解得ED≈45.42 m，EC≈48.81 m,

所以EA≈95.42 m，EB≈118.81 m,

所以S四边形ABCD=S△EAB-S△ECD

≈4 476.17 m2.

思路三(向量数量积+正弦定理)

分析对于这样的不规则的四边形，没有直接计算面积的方法，因题设给出了两角和三边，采用向量法求出该四边形的另一边长，再分别求出两个三角形的面积，以和的形式求得四边形的面积．

解法3依题可知，如图,在四边形中，

∠ADC=127°，∠DCB=132°,

即502+602-2×50×60×cos127°=137.462+702-2×137.42×70cos∠B,

解得∠B≈42.96°,

所以S四边形ABCD=S△ACD+S△ACB

≈4 476.65 m2.

三、解后反思

由于高中数学必修5第一章第二节练习第2题是生活中的数学，是现实生活中的实际情况，却因题设条件的数值不是特殊数值，往往需要用计算器，所以给学生带来不少运算困难．其次，笔者发现用计算器算出答案与教材给出的答案有小小误差．究其原因，笔者在每步运算中取小数点后两位数导致的，所以存在误差是正常的．再次，解决此问题的思想、方法来自生活中的实践经验．一种是分割思想；另一种是拼图(补形)思想．归根到底就是回归到最简单、最基本的图形——“三角形”中．对这样一个“不起眼”的练习题，笔者在教学上做了两种方式处理：一种方式强调以学生为主，在讲学稿上做文章，降低难度，减少运算量，修改条件，使题目更接“地气”，更接近学生的思维水平；另一种方式强调学生的学习过程，教师在讲授新课后布置作业给学生，让学生慢慢体验其学习过程，突显学生掌握知识的深刻性．这往往需要学生在熟练掌握三角形的正、余弦定理基础上，灵活运用这些定理解决实际生活问题．

1.优化条件

美国教育心理学家奥苏贝尔说过：“影响学习最重要的原因是学生已经知道了什么，我们应当根据学生原有的知识状况进行教学．”因此，数学问题要找准学生学习的最近发展区，才能架起学生现有情况与潜在发展水平之间的桥梁，寻找属于他自己的解题策略．这就要求教师对数学问题进行适当的优化．

优化策略一、把条件的数值改为特殊值，便于运算．

优化策略二、减少某一条件，将设问部分改为最值问题．

本题从方程的角度考虑，常见“知三求一”“知二求一”.因此，笔者试图尝试减少某一条件，将设问部分改为最值问题．此时原问题就变为函数问题，更改后难度增大．

【变式三】四边形ABCD，AB=1，CD=2，∠ABC=∠BCD=60°,问：当BC边长取何值时，四边形ABCD的面积最小，最小值为多少？

2.把握方向

通过教材练习题的学习，加深了对三角形正、余弦定理的理解和掌握，提高了学生的分析问题、解决问题的能力，从而驾驭一些高考试题就会得心应手．

策略一、链接高考考究真题

例1(2015·全国卷理·16)在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB的取值范围是______ ．

分析求解此题的方法：回归到三角形中．用传统方法处理，作辅助线把四边形分为两个三角形，设未知量，用正弦定理求解，运算复杂，学生只能望而止步；用极端思想处理，在保持题目条件不变的情况下，平移AD，就会变为两个特殊的三角形，再用正弦定理可求得AB的极端值．这样运算简便、快捷．

解动态审视(1)四边形ABCD，保持BC=2及∠B=∠C=75°固定，延长BA，CD交于E，平移AD，此时当A与D重合于E点时，AB最长.

在△BCE中，∠B=∠ECB=75°，∠E=30°，BC=2,

动态审视(2)四边形ABCD，保持BC=2及∠A=∠B=75°固定，平移AD，当D与C重合时，此时与AB交于F，AB最短.

在△BCF中，∠B=∠BFC=75°，∠FCB=30°,

策略二、模拟高考贴近生活

分析本题涉及航程问题．四个城市A，B，C，D可组成一个四边形ABCD，其实是解三角形的应用问题．解决此问题涉及多次用到正、余弦定理、勾股定理，运算繁杂，难度较大．先算AC，再求得cos∠ACD，然后算AD，再求∠CAD，最后求得EC．

解设轮船航行到E点时改向城市C直线航行.

连接AC，EC.依题可得AE=50,

在△ABC中,∠ABC=60°，AB=80,

则AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC,

又因为∠BCD=135°，

所以∠ACD=135°-∠ACB,

所以AD2+AC2=CD2,

所以△ACD为直角三角形,∠CAD=90°,

其实，许多多边形(包括四边形)都是在三角形基础上“砍角”形成的．因此，回归三角形是解决有关多边形的常用方法．同样，有关四边形的数学问题可以通过“分割”和“补形”回归到三角形中，再运用三角形正、余弦定理，从而达到对问题的求解．

四、结束语

总之，教师一方面要深刻领悟教材编写者的意图；另一方面又不能拘泥于教材，在课堂教学中要敢于突破教材，进而对教材再创新，赋予教材新的活力．