李 仲 庆

(吉林师范大学 数学学院, 吉林 四平 136000)

1 引言与主要结果

假设条件：

(H1)a(x,s)是Ω×上的Carathéodory函数, 满足

(1)

其中0≤θ<1;

(H2)g(x,s,ξ)是Ω××N上的Carathéodory函数, 满足如下增长条件:

(2)

且

γ<α(1-θ);

(3)

(H3) 函数ρ(x),f(x)∈L1(Ω), 且存在Q>0, 使得对几乎处处的x∈Ω, 有

|f(x)|≤Qρ(x).

(4)

考虑如下具退化强制的椭圆方程：

(5)

其中:Ω是N中具有光滑边界∂Ω的有界域; 假设条件(H1)～(H3)成立.

当s→∞时,a(x,s)可能取0, 因此条件(H1)表明问题(5)是退化强制的, 故无法直接用经典的一致型椭圆方程[1-2]的结论. 问题(5)的另一个特点是右端项f仅在L1中. 当方程右端项的可积性较低时, 应考虑Renormalized解或Entropy解[3-4], 因为可能不存在弱解. 下面以Laplace方程为例进行说明. 考虑Laplace方程：

2 定理1的证明

下面分4步证明定理1.

1) 逼近方程.

首先给出问题(5)对应的逼近方程:

(6)

其中: 截断函数

Tk(s)=max{-k,min{k,s}}[7];

结合式(2)和式(9), 有

|gn(x,un,un)|≤n,

且

(10)

|fn(x)|≤Qρn(x).

(11)

2) 一致最大模估计.

‖un‖L∞(Ω)≤C,

其中常数C仅依赖于θ,Q,γ,α,N,‖f‖L1(Ω), 但不依赖于n.

证明: 令

Gk(s)=s-Tk(s).

受文献[6,9]的启发, 取GQ(H(un))作为问题(6)的一个检验函数, 可得

① 根据式(1)对L1估计如下:

② 在集合{x∈Ω: |H(un)|>Q}上,un和GQ(H(un))的符号相同, 并由|H(s)|≤|s|, 有

(14)

④ 运用式(11)可得

(16)

综合①～④, 可得

(17)

式(17)及式(3)蕴含: 对几乎所有的x∈Ω和所有的n, 均有|H(un)|≤Q. 注意到

于是可得un是一致L∞有界的. 证毕.

3) 能量估计.

证明: 选取H(un)作为问题(6)的一个检验函数, 可得

① 由式(1)和H(s)的表达式, 可得

② 因为s与H(s)的符号相同, 所以积分项I2非负;

③ 对梯度项I3的估计如下:

④ 对右端项I4估计如下：

综合①～④, 可得

利用un的L∞有界性可得

(18)

4) 极限过程.

引理3在假设条件(H1)～(H3)下, 在L2(Ω;N)中,u.

证明: 受文献[6]启发, 选取

vn=(e2λ|un-u|-1)sign(un-u)

① 对A1做如下处理:

② 估计梯度项A2, 由式(10)可得

综合①,②, 可得式(23)的估计为

根据Vitali定理[10], 式(24)右端4个积分项为n→∞时的无穷小量. 再由λ的定义, 可得

即在L2(Ω;N)中,u. 证毕.