甘小艇, 徐登国, 豆铨煜

(1. 楚雄师范学院 数学与统计学院, 云南 楚雄 675000; 2. 同济大学 数学科学学院, 上海 200092)

随着金融市场的不断发展和完善, 期权作为一种能有效规避风险的金融衍生产品越来越受到广大投资者的关注. 近年来, 诸如债券期权等利率衍生品的定价与对冲已吸引很多研究者的广泛关注[1]. 与股票衍生产品不同, 债券期权的标的资产为债券, 其价格取决于利率和时间两方面, 使得对债券期权的定价和对冲极具挑战性. 与欧式期权定价不同, 美式债券期权定价问题在数学上可归结为自由边界问题或线性互补问题, 因此必须借助数值方法进行求解[2-3]. 目前, 针对该类问题已有许多不同的数值算法, 例如: 显示方法[4]、投影超松弛迭代(PSOR)方法[5]、惩罚函数方法[6]和拟合有限体积方法[7-10]等.

数值方法定价美式期权的核心任务是针对离散后的线性互补问题进行快速求解[11], 而模系矩阵分裂迭代法是求解线性互补问题的一种有效方法[12]. 文献[13]通过将线性互补问题转化成隐式的不动点方程, 提出了模迭代方法. 文献[14-15]通过引入不同的参数, 分别提出了非定常外推模算法和改进的模迭代方法, 并在系数矩阵为对称正定的情形下证明了算法的收敛性. 基于矩阵分裂的思想, 文献[16]提出了模系矩阵分裂迭代法, 该方法不但包含模方法, 而且利用适当的矩阵分裂还可得到一系列新的迭代方法, 如模系Jacobi迭代法、模系Gauss-Seidel迭代法、模系超松弛迭代法和模系加速松弛迭代法等. 由文献[16]可知, 当合理选取参数时, 模系矩阵分裂迭代法比其他线性互补问题的数值方法(如投影方法、原始模方法和改进的模迭代法)收敛速度更快、计算效率更高. 文献[17-18]讨论了加速的模系矩阵分裂迭代法, 并给出系数矩阵为H+情形下的收敛性分析. 针对非线性互补问题, 文献[19]考虑了加速的模系矩阵分裂迭代法; 文献[20-22]给出了模系矩阵分裂迭代法在美式期权定价中的应用. 本文借鉴文献[20-22]的思想, 考虑有限差分法结合模系矩阵分裂迭代法定价美式债券期权. 首先, 构造全隐式的有限差分格式, 并给出格式的稳定性证明; 其次, 针对离散后得到的线性互补问题, 采用模系矩阵分裂迭代法进行求解, 并建立相应的收敛性定理. 数值实验验证了本文方法是稳健且高效的.

1 美式债券期权模型

考虑基于纯贴现美式债券期权的定价模型. 假设利率期限结构由CIR(Cox-Ingersoll-Ross)模型确定, 即短期利率r由如下均值回归平方根过程确定:

其中: dW是一个Wiener过程增量;θ表示短期利率的长期水平;κ>0表示回归速度;σ2r是在σ>0条件下的方差. Cox等[23]研究表明, 面值为1美元的纯贴现债券在其到期日s的价格P(r,t,s)为

P(r,t,s)=α(t,s)exp{-β(t,s)r},

其中:

ζ表示市场风险溢价.

假设v(r,t)为欧式债券期权的价值, 则欧式债券期权定价的数学模型可表示为如下的偏微分方程:

(1)

其中,L为偏微分算子. 通过引入时间转换τ=T-t(t表示当前时刻,T表示期权合约的到期日), 则式(1)可变为

(2)

由于美式债券期权可在到期日前执行, 则其定价的数学模型通常可表示为如下形式的线性互补问题:

(3)

其中,Λ(r,τ)表示持有者在到期日T的收益. 当合约为看跌期权时, 问题(3)的初始条件为

v(r,0)=Λ(r,0)=max{K-P(r,T,s),0},K为执行价格;

(4)

边界条件为

(5)

为了在数值上求解美式债券期权的定价问题, 需将r限制在一个有限的区域[0,R]上(R的选取要足够大). 因此, 边界条件(5)可变为

(6)

2 有限差分离散

下面考虑美式债券期权定价模型(3)的有限差分离散, 并针对离散矩阵的性质和差分格式的稳定性进行分析.

首先, 对计算区域[0,R]×[0,T]进行一致网格剖分, 记M+1和N分别是r方向和τ方向的网格剖分数. 将

vij≈v(ri,τj)=v(ih,jΔτ),i=0,1,…,M+1,j=0,1,…,N

(7)

其次, 在空间方向上采用二阶中心差分格式逼近

(8)

并将式(8)代入偏微分方程(2)中, 则可得

(9)

其中i=1,2,…,M. 当指标i取遍i=1,2,…,M时, 可得半离散方程组

(10)

其中, 半离散矩阵S=tridiag{αi,βi,γi}, 即

这里端点值v0j和vM+1,j已知, 且

(11)

为便于理论分析, 本文在时间方向上采用隐式Euler格式, 即

(12)

将式(12)代入式(9), 可得全隐式的有限差分格式:

Δταivi-1,j+1+(1+Δτβi)vi,j+1+Δτγivi+1,j+1=vij.

(13)

当指标i取遍i=1,2,…,M时, 得到线性方程组

(I+ΔτS)v(j+1)=v(j)+Δτf,

(14)

其中: I表示单位矩阵; v(j)=(v1j,v2j,…,vMj)T; 且

在式(14)中令B=I+ΔτS和C=I, 则经有限差分离散后, 美式债券期权定价问题(3)可变为如下线性互补问题:

(15)

其中:j=1,2,…,N; 向量g包含了收益函数Λ在网格点处的函数值.

特别地, 令z∶=v(j)-g, A∶=B, q∶=Bg-Cv(j-1)-Δτf, 则可得标准的线性互补问题(简记为LCP(q,A)):

(16)

定理1令S和I+ΔτS分别是有限差分离散方程(2)得到的半离散和全离散矩阵. 当网格剖分h充分小, 且模型参数满足

(17)

时, 则矩阵S和I+ΔτS均为H+-矩阵.

证明: 由S=tridiag{αi,βi,γi}易知

(18)

由模型参数假设式(17), 可知

(19)

(20)

此外, 由式(11)显然有αi+βi+γi=ih>0, 故有βi>-αi-γi, 即|βi|>|αi|+|γi|成立. 综上可知, 离散矩阵S具有正的对角元且严格对角占优, 于是由文献[20]可知, 半离散矩阵S为H+-矩阵, 从而全离散矩阵I+ΔτS也是H+-矩阵. 证毕.

定理2有限差分离散格式(13)具有稳定性, 即

‖v(j)‖∞≤max{‖v(0)‖∞,c1,c2},

(21)

证明: 由式(13),(18)～(20)以及三角不等式, 可得

(22)

若‖v(j+1)‖∞=|vl,j+1|, 0

(1+Δτβl)‖v(j+1)‖∞≤‖v(j)‖∞+Δτ(-αl-γl)‖v(j+1)‖∞,

从而有

(23)

若l=0或l=M+1, 则有

‖v(j+1)‖∞=|v0,j+1|或‖v(j+1)‖∞=|vM+1,j+1|.

(24)

由式(23)可知

‖v(j+1)‖∞≤‖v(j)‖∞≤‖v(j-1)‖∞≤…≤‖v(0)‖∞,

(25)

又由式(24),(25)可知, 式(21)成立. 因此, 全离散格式(13)是稳定的.

3 模系矩阵分裂迭代法

下面简单介绍求解线性互补问题的模系矩阵分裂迭代法, 并给出相应的收敛性定理.

引理1[16]令A=M-N是矩阵A∈n×n的一种分裂, Ω1和Ω2是n阶的对角阵, Ω和Γ是n阶的正对角阵, 且满足Ω=Ω1+Ω2. 则对LCP(q,A)问题如下结论成立:

(MΓ+Ω1)x=(NΓ-Ω2)x+(Ω-AΓ)|x|-q

(26)

的解;

2) 如果x满足不动点方程(26), 则

z=Γ(|x|+x), w=Ω(|x|+x)

(27)

是LCP(q,A)问题的解.

(M+Ω)x=Nx+(Ω-A)|x|-λq.

(28)

引理1表明, LCP(q,A)问题(16)等价于一个不动点迭代问题, 因而可通过求解一系列不动点迭代方程组得到问题的解. 基于不动点方程(28), 可建立如下求解LCP(q,A)问题的基于矩阵分裂的模方法.

方法1(模系矩阵分裂迭代法)[16]令A=M-N是矩阵A∈n×n的一种分裂, 对给定的初始向量x0∈n, x(k+1)可由迭代方程

(M+Ω)x(k+1)=Nx(k)+(Ω-A)|x(k)|-λq

(29)

计算得到, 从而

其中Ω为正的对角阵.

令A=D-L-U, 其中D,-L,-U分别为A的对角阵、严格下三角矩阵和严格上三角矩阵. 在迭代方程(29)中取不同的M和N时, 可获得下列一系列模系矩阵分裂方法.

1) 当M=(1/α)D-L, N=(1/α-1)D+U,λ=1时, 方法1称为模系超松弛迭代法(MSOR):

(D+Ω-αL)x(k+1)=[(1-α)D+αU]x(k)+(Ω-αA)|x(k)|-αq,k=0,1,…,

(30)

从而z(k+1)=|x(k+1)|+x(k+1); 当α=1时, MSOR变为模系Gauss-Seidel迭代法(MGS).

2) 当M=(1/α)(D-βL), N=(1/α)[(1-α)D+(α-β)L+αU],λ=1时, 方法1称为模系加速的松弛迭代法(MAOR):

从而z(k+1)=|x(k+1)|+x(k+1).

下面给出MAOR算法, MSOR算法类似. 其中: tol表示容许误差; it表示迭代步数; MAXIT表示最大迭代步数.

算法1MAOR算法.

给定x,Ω,α,tol,MAXIT;

Forit=1,2,…,MAXIT

z=|x|+x;

b=[(1-α)D+(α-β)L+αU]x+(Ω-αA)|x|-αq;

Res=‖min(Az+q,z)‖2;

If Res

break;

End If

Solve(D+Ω-βL)x=b;

End For

引理2[16]令A∈n×n是一个H+-矩阵, 且A=M-N是A的一个H相容分裂, 即〈A〉=〈M〉-|N|. 假设Ω是一个正对角矩阵, 如果参数矩阵Ω满足则对任意的初始向量x0∈n, 模系矩阵分裂迭代法中的迭代序列⊂均收敛到LCP(q,A)问题的唯一解

4 数值实验

下面利用数值实验验证本文方法求解美式债券期权的有效性. 数值实验中, CIR模型下美式纯贴现债券期权的模型参数为

κ=0.1,θ=0.08,σ=0.1或0.2,ζ=0,E=100,K=60,T=1,s=5,R=2,

(32)

为便于比较, 数值实验中MSOR和MAOR算法的参数矩阵均取Ω=D, PSOR,MSOR和MAOR三种算法中的松弛因子均选取使得迭代步数最少的情形, 且收敛准则定义为

‖min{Az+q,z}‖2

(33)

其中, ‖·‖2表示向量的2范数. 数值解的相对误差定义为

(34)

其中: v表示数值解; v*表示参考精确解. 所有实验均在CPU为2.4 GHz及内存为4.00 GB的个人电脑, 编程语言为MATLAB R2010a的计算环境下进行. 设m和n分别表示空间和时间方向的网格剖分数.

为了计算出数值解的相对误差, 在精细网格(m,n)=(3 200,1 600)上, 采用有限差分格式并结合MSOR算法求解美式债券期权作为参考精确解. 表1和表2分别列出了不同σ取值下PSOR,MSOR和MAOR三种算法的平均迭代步数(IT)、所需的CPU时间(CPU, 单位s)和误差(Error)的数值结果.

表1 当σ=0.1时, PSOR,MSOR和MAOR算法数值方法的计算结果

由表1和表2可见, 3种算法均随着网格剖分的加密数值解变得越来越精确, 表明算法是有效的. 此外, MSOR和MAOR算法所需的CPU时间均少于PSOR算法, 其中MAOR算法耗时最少, 而MSOR算法的平均迭代步数略高于其他两种算法. 因此有限差分方法结合模系矩阵分裂迭代法定价美式债券期权的效率高于投影方法, 其中MAOR算法的计算效率最高. 图1和图2分别为不同σ取值下， 基于网格剖分(m,n)=(400,200), 采用MSOR算法给出的美式债券期权曲面图和最佳实施边界以及τ=T时刻的期权值. 由图1和图2可见, 本文方法求得的数值解性态优良, 没有振荡和跳跃发生, 表明数值方法是稳健的.

表2 当σ=0.2时, PSOR,MSOR和MAOR算法数值方法的计算结果

图1 当σ=0.1时, 美式债券期权曲面和最佳实施边界(A)以及τ=T(t=0)时刻的期权值(B)Fig.1 Surface of American bond option and optimal exercise boundary (A) and option value at τ=T(t=0) (B) when σ=0.1

图2 当σ=0.2时, 美式债券期权曲面和最佳实施边界(A)以及τ=T(t=0)时刻的期权值(B)Fig.2 Surface of American bond option and optimal exercise boundary (A) and option value at τ=T(t=0) (B) when σ=0.2

综上, 本文主要研究了基于CIR模型下美式债券期权的数值解法. 首先, 构造了美式债券期权模型的全隐式有限差分格式, 并从理论上证明了满足一定参数假设下离散矩阵为H+-矩阵, 有限差分格式具有稳定性; 其次, 针对有限差分离散得到的一系列时间层上的线性互补问题, 采用模系矩阵分裂迭代法进行求解, 并给出了收敛性定理. 数值实验验证了本文方法的有效性, 模方法的计算效率高于投影方法, 其中MAOR的计算效率最高.