冯依虎, 汪维刚, 莫嘉琪

(1. 亳州学院 电子与信息工程系, 安徽 亳州 236800； 2. 合肥幼儿师范高等专科学校, 合肥 230011；3. 安徽师范大学 数学与统计学院, 安徽 芜湖 241003)

0 引 言

人体免疫缺陷病毒(HIV)的传播严重威胁人类的健康. 目前, 利用动力学方法研究HIV的传播已得到广泛关注[1-3]. 该方法先建立反映其基本现象的微分模型, 再用解析方法求出模型的近似解, 然后将研究结果与实际观测数据作为依据, 从医学、生态学、数学等角度考察其动态规律. 本文考虑一类非线性动力学HIV传播模型, 利用微分系统解析理论给出这类HIV的传播规律.

非线性问题能代表自然界较普遍的复杂现象, 在应用数学中应用广泛, 目前已有很多可行的近似求解方法[4-31]. 本文利用一个简单、有效的方法考察HIV传播的传染人群非线性微分动力学模型[1], 通过对其进行定量和定性分析, 给出调解感染者人数和易感者人数的分布规律.

1 HIV传播动力学微分系统

考虑如下更广泛的一类HIV传播人群的生态动力学非线性微分系统模型：

其中:u(t)为在HIV传播区域内的感染者人数;v(t)为易感者人数;t为时间；e≥0为易感者的出生率;a,b,c,h为非负常数. 在系统(1)-(2)中,a(u+v)v项表示感染者与易感者因“交感”而导致的患者增加速度, -hu项表示由于患者死亡而导致的患者减少速度, -eu项表示由于患者死亡而导致的易感者减少速度, -a(u+v)u项表示感染者与易感者“交感”易感者变为患者后使易感者减少的速度, -bu2v2项表示采取一般防疫措施后使感染者减少的速度, -cu2v2项表示采取一般防疫措施后使易感者减少的速度,F(u,v)项表示由于其他相关因素的干扰使感染者增加的速度, -G(u,v)项表示采取特殊防疫措施后使易感者减少的速度, 不妨设F,G为充分光滑的有界函数. 系统(1)-(2)是一类在患区人群HIV传播的生态动力学模型. 本文通过构造模型(1)-(2)的近似解, 利用得到的表示式考察HIV的传播性态和规律.

先考虑系统(1)-(2)的一类相关问题:

由系统(3)-(4), 可得

其中C0和D0为任意常数, 可由系统的初始状态确定.

2 泛函同伦映射

考虑HIV生态动力学非线性微分模型(1)-(2)的解. 显然, 非线性微分系统一般不能用有限项的初等函数得到其精确解. 下面用泛函同伦映射方法求其近似解.

先引入如下一组泛函分析同伦映射[27]Hi(u,v,p)(i=1,2):2×I→:

显然, 由泛函分析同伦映射(7),(8)知,Hi(u,v,1)=0(i=1,2)与系统(1)-(2)相同. 故系统(1)-(2)的解(u(t),v(t))即为当p→1时,Hi(u,v,p)=0(i=1,2)的解.

设

(9)

将式(9)代入Hi(u,v,p)=0(i=1,2)中, 并比较方程Hi(u,v,p)=0(i=1,2)关于p同次幂的系数, 由p零次幂的系数得

(10)

在Hi(u,v,p)=0(i=1,2)中, 取关于p1的系数, 得

由系统(13)-(14), 在零初值下可得

于是令p=1, 由式(9)可得系统(1)-(2)的一次近似解(u1app(t),v1app(t))为

将式(9)代入Hi(u,v,p)=0(i=1,2)中, 并取关于p2的系数为零, 得

其中:

由于系统(19)-(20)在零初值下, 故可得

于是令p=1, 由式(9)可得系统(1)-(2)的二次近似解(u2app(t),v2app(t))为

同理依次可得(ui(t),vi(t))(i=3,4,…). 再将(ui(t),vi(t))(i=0,1,2,…,n)代入式(9), 并令p=1, 依次可得系统(1)-(2)的各次解(unapp(t),vnapp(t))(n=3,4,…).

3 应用实例

为简单, 设HIV传播人群生态动力学微分系统(1)-(2)中的参数为无量纲数:a=b=c=e=h=1,F=G=0, 于是系统(1)-(2)为

利用泛函分析同伦映射方法, 由式(11),(12), 不妨取任意常数C0=D0=1, 则

由式(15),(16)得

由式(21),(22)得

于是由式(23),(24)和式(27)～(32), 可得系统(25)-(26)的二次近似解(u2app(t),v2app(t))为

感染者人数和易感者人数二次近似式(33),(34)的模拟曲线及相应的模拟精确解曲线分别如图1和图2所示. 继续进行， 可依次得到HIV传播人群的生态动力学微分系统模型(25)-(26)的更高次近似解.

图1 二次近似解u2app(t)与精确解u(t)的模拟曲线Fig.1 Simulation curves of second approximate solutions u2app(t) and exact solutions u(t)

图2 二次近似解v2app(t)与精确解v(t)的模拟曲线Fig.2 Simulation curves of second approximate solutions v2app(t) and exact solutions v(t)

4 改变系统参数

改变无量刚系统模型近似解u2app(t),v2app(t)的相关参数, 可调节HIV传播人群感染者人数和易感者人数的分布. 下面以系统(25)-(26)为例进行说明.

1) 改变参数a. 在无量刚系统(25)-(26)中, 仅改变参数a, 其他参数不变, 得到u2app(t)和v2app(t)的模拟曲线分别如图3和图4所示.

图3 当a=1.2,1.0,0.8,0.6时, u2app(t)的模拟曲线Fig.3 Simulation curves of u2app(t) when a=1.2,1.0,0.8,0.6

图4 当a=1.2,1.0,0.8,0.6时, v2app(t)的模拟曲线Fig.4 Simulation curves of v2app(t) when a=1.2,1.0,0.8,0.6

2) 改变参数b,c. 在无量刚系统(25)-(26)中, 仅改变参数b,c, 其他参数不变, 得到u2app(t)和v2app(t)的模拟曲线分别如图5和图6所示.

图5 当b=c=1.2,1.0,0.8,0.6时, u2app(t)的模拟曲线Fig.5 Simulation curves of u2app(t) when b=c=1.2,1.0,0.8,0.6

图6 当b=c=1.2,1.0,0.8,0.6时, v2app(t)的模拟曲线Fig.6 Simulation curves of v2app(t) when b=c=1.2,1.0,0.8,0.6

3) 改变参数e,h. 在无量刚系统(25)-(26)中, 仅改变参数e,h, 其他参数不变, 得到u2app(t)和v2app(t)的模拟曲线分别如图7和图8所示.

图7 当e=h=1.2,1.0,0.8,0.6时, u2app(t)的模拟曲线Fig.7 Simulation curves of u2app(t) when e=h=1.2,1.0,0.8,0.6

图8 当e=h=1.2,1.0,0.8,0.6时, v2app(t)的模拟曲线Fig.8 Simulation curves of v2app(t) when e=h=1.2,1.0,0.8,0.6

由图3～图8可见, 改变系统(25)-(26)的参数, 可改变感染者人数和易感者人数的分布. 因此, 可利用近似解的表示式调节感染者人数和易感者人数的分布, 达到在各时间段内控制相关人数的目的.