陈建珍

【摘 要】“求联练习”采用“习题模块”的练习方式，以打破单一的“讲解—练习—辅导”的课堂练习模式，创设系统化、简约化、模块化的过程，引导学生通过知识的自主建构过程，把数学的“知识结构”内化成个体的“认知结构”。以人教版六上第五单元“圆的面积练习”教学为例，教师可以对其进行“求联”设计，培养学生数学建模意识，提升学生的思维能力。

【关键词】求联；圆的面积；练习设计

求联，由已知的或熟悉的人、事、概念联想到相关的人、事、概念，通过由此及彼的思维活动，架设关联桥梁。小学数学的习题设计也需要求联，即根据基础习题，通过联想，不断地转化：由A想到B，由B想到C……把多个命题按照一定的需要联系在一起，组合成一个习题模块，储存于学生头脑中，并加以运用。对于学生来说，是通过不断内化而形成的数学认知结构；对于教师而言，是基于对数学知识结构深刻认识的一种命题方法。基于“求联”的圆面积练习设计，旨在围绕圆面积的核心知识展开不同层面的命题联想，通过练习，使学生实现能量升级——基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验得到整体提升。

一、情境求联

情境，在一定的时间内，各种情况相对的或结合的境况（《辞海》）。对于六年级的学生来说，情境并不陌生，他们积累了丰富的生活经验，已经储备了大量的表象。只要引导有效，就能促使其产生联想，建立起知识间的联系。教学时，将“圆”置于不同的情境中，利用情境求联设计练习题组，可以提升练习效果。

例如，习题1：已知圆的半径是10cm，求圆的面积。学生解题之后，教师可以借机进行情境求联的练习设计。

师：知道什么条件就可以求出圆的面积？

生：知道“半径”或“半径的平方”。

师：生活中的圆，半径会是什么呢？

生：钟面上，分针长10cm。

生：草地上自动旋转的喷水装置射程10m。

生：茶叶罐的直径10cm，半径是5cm。

生：拴住一只小狗的铁链长2m。

……

师：刚才我们通过变换不同的情境导出了一组圆面积的练习题组。虽然习题情境不同，但計算方法是相同的。现在请你选一个情境进行计算，同桌相互交流。

学生在情境求联中导出圆面积的习题模块，不仅了解了圆在生活中的广泛应用，还巩固了圆面积的基础练习，既举一反三，又举三反一，用情境的变化反衬和突显出其中不变的部分——圆的面积计算方法。引导学生通过现实视角横向联系，在生活中找到原型加以设计，不仅让习题的组织更有结构感，同时也增强了学生的分析归纳能力，感受数学学习的价值。

二、等价求联

等价求联，意指当学生遇到一个陌生的数学问题时，会自然地想到将它变成一个自己熟悉的问题，进而去解决它。可是在教学中，实际操作起来却不那么简单。因为它没有固定的法则，而是必须通过对具体问题认真、深入的剖析，联想过去解决类似习题的方法，寻求它们之间的等价联系，才能实现从陌生到熟悉的转化。此种求联可以帮助学生积累学习经验，提升数学素养。

例如，习题2：已知圆的半径是10cm，求圆的面积。习题直接给出了条件“半径”。如果不直接告知半径，题目可以怎样变化呢？学生展开想象：可以已知圆规的两脚距离是10cm，可以已知直径是20cm，还可以已知圆的周长是62.8cm或半圆的周长是31.4cm……学生通过不断地转化与“半径是10cm”等价的条件，导出习题模块。

也有学生把圆放到其他平面图形中，出示与“半径是10cm”等价的数据，见下图。

习题2导出模块

把它放到其他根据原有练习变化的题目中，选择合适的条件，把题目补充完整。不管是已知什么条件，这个条件必须与半径等价。

学数学，等量关系很重要，要学会“换句话说条件”，透过现象抓住问题的本质。圆的面积练习中，找出“关键条件”，以此作为求联点，转换说法，变换成不同的条件，导出习题模块。等价求联要求置换的条件是等价的，条件的表达方式不同，表达内容一致，训练学生多题一解。在引导学生如何“把书读薄”的体验中感受到数学思维的力量，感受到厚与薄的辩证关系。

三、相似求联

相似求联，就是由某一事物或现象想到与它相似的其他事物或现象，进而产生某种新设想。六年级学生对平面图形的线条、形状、色彩等能够进行抽象、变化、对比的联想。设计圆面积的练习时可以通过对已知图形的相似性进行联想形成题组。

例如，习题3：正方形的边长是6厘米，求阴影部分的面积。提问：如果正方形中圆的个数变成4个、9个、16个……圆的个数不断变化，你还能求出阴影部分的面积吗？

习题3导出模块

引导学生通过改变圆的个数，探寻相似求联的方法，并发现其中的规律。

求组合图形的面积是圆面积教学比较重要的题型。教师可以改变组合图形的个别元素形成相似图形，引导学生找图形之间的规律。这是设计模块练习的基本思想，让学生从中感受到求联模块内在的规律，感受数学的规律美、变化美。

四、构图求联

美术中，平面构图的画面通过视觉传达而产生联想，达到某种意境。圆面积的构图联想可以借鉴美术中的某些手法，或变化组合图形的摆放位置形成题组，或缩放组合图形的大小形成题组，各种图形的形状及其要素都会产生不同的联想与意境。通过设计习题，吸取相通之处，延伸数学思维。

例如，习题4：已知正方形的面积是10cm2，求圆的面积。学生解答后，教师可以追问，圆和正方形放在一起，还可以产生怎样的图形？如果正方形变大呢？变小呢？如果正方形变成长方形呢？变成三角形呢？变成梯形呢？通过启发，学生导出了习题模块。（部分学生作品列举如下图）

习题4导出模块

引导学生进一步分析作品中图形结构与内在关系，可以发现这些组合图形有几种情况，一种是面积和，一种是面积差，还有一种是揭示两种图形之间的倍比关系的。无论是哪种情况，都要找到已知条件在单个图形中的价值，通过条件的代换，获取有用信息。进一步探索发现，所学平面图形都可以不断改变位置，用不同的组合图形来辨析、梳理。通过练习，学生明确了平面图形的面积内涵，清楚了它们之间的关系。

又如，习题5：已知正方形的边长为10cm，求阴影部分的面积。学生解答后，教师顺势引导：正方形的面积与圆的面积有什么关系？还可以求出哪些相关类似图形的阴影部分面积呢？学生尝试变形，将图形的相同部分进行平移、旋转，展开求联，导出“求联模块”，见下图。

习题5导出模块

进一步引导学生分析图形之间的数量关系：阴影部分的图形其实就是圆内接正方形后形成的。原图平均分成4份以后，将各部分进行旋转或平移后拼接，就能得到一组新图形。练习时让学生找出这一类图形面积的解决方法。

数学中的知识点关系复杂，借助组合图形可以沟通知识点的聯系。教师要善于挖掘各类图形的位置关系，开发出千变万化的求联习题，并通过解答、辨析，理清层次，构建新的知识网络。

五、动态求联

静态的图形可以产生联想，实实在在的静物也可以产生联想。如果让静物动起来，通过动态求联形成题组，奇妙无穷。生活中这样的素材很多，如一元硬币、汽车轮胎等。教师可以根据不同的生成路径形成不同的动态图形，以此让学生熟练运用圆的面积知识，并发展空间观念。

例如，习题6：一个一元硬币的面积是多少？练习时学生只要量出需要的数据（“半径或直径”），然后根据公式就能顺利地求出面积。这样的习题难度不大，对于提升学生的思维含量没有太大的帮助。如果让硬币滚动起来，会发生怎样奇妙的事情？学生展开想象：如果固定其中一个硬币，另一个沿着它的周长滚动一周呢？如果固定两个硬币，第三个沿着它们的边缘滚动一周呢？如果这个硬币沿着正方形的边缘滚动一周呢？如果这个硬币沿着正三角形的边缘滚动一周呢？……

学生尝试改变硬币的运动轨迹，导出习题模块。

习题6导出模块

引导学生对模块练习进行分析：硬币的运动轨迹形成什么图形？要求出这个硬币的运动轨迹必须知道什么？找出这一类题的解决方法（虽然图形由静变动，状态发生改变，但运用的知识点始终没变，规律始终没变，要善于在变中找不变）。

动态求联导出习题模块，教师应指导学生寻求解法上的共通点。在变化中，感受到数学的美；通过找寻解法上的共通点，感受习题模块“万变不离其宗”的内在魅力。

总之，在“圆的面积练习”中，围绕核心知识进行求联，如情境求联、等价求联、相似求联、构图求联、动态求联等，开展“求联练习”的设计，笔者对教材的认识、对学生的认识、对练习设计的认识、对学习过程的认识有了更深的了解。求联练习是习题教学的较高层次的体现，它的设计和具体操作从“形式”走向了“实际”，向一线教师提出了更高的要求和挑战，必须花更多的时间和精力去钻研教材，吃透教材。通过梳理核心点拓展“求联结构”的宽度，挖掘生长点加深“求联结构”的深度，打造“点点通道”拉伸“求联结构”的长度，从而将看似零散的习题组成一个个题组模块，设计出有利于学生个性能力张扬、潜在能力提升、数学素养提高的练习，进而在引导学生不断将数学知识简约化、模块化、集成化的过程中，逐步完善自己的数学知识结构。

求联式练习设计的价值并不仅局限于教师的练习设计能力的提升，更为重要的是引导学生参与到“求联”的过程中，参与到知识的建构过程中，参与到把数学的“知识结构”转化为个体的“知识结构“的过程中，以此培养学生的数学建模意识与眼光，养成数学的思维方式，提高学生的数学素养。

（浙江省建德市新安江第三小学 311600）