曾朝杰

(上海同建强华建筑设计有限公司,上海 200072)

0 引 言

在上海及沿海地区,软土地基大量分布,但表层土由于反复毛细作用导致固结硬化,往往形成硬壳层,对于一般多层或小高层房屋而言,这层土承载力足够、但下卧层变形太大,为节约桩基投资,在上世纪80年代以上海工程界为代表推出沉降控制复合桩基[1-2],本质是将桩基作为减少沉降构件,充分利用硬壳层承载力形成桩土共同作用,1994年出版文献[2]较早论述复合桩基计算理论并进入地方规范体系,1999年出版文献[3]完善了沉降控制复合桩基系统化设计计算理论。

但是采用文献[2]、文献[3]计算方法及目前软件编制水平,均要假定桩基承台承载比例,进行布桩,反复试算,直到计算沉降满足要求为止,工作量很大,为降低试算工作量,本文研究不布桩情况下,自动将桩力在半空间离散再进行四维积分的计算理论及配套程序[5],并广泛应用于工程实践[6-7]。

1 复合桩基的基本应力计算公式

复合桩基应力计算公式由布希涅斯克(Boussinesq,布氏解)及明德林(Mindlin,明氏解)应力基本公式推导而成。

1.1 布希涅斯克及明德林基本解公式

布氏竖向应力基本解:

(1)

明氏竖向应基本解:

(2)

式中:A2=[n2+(m-1)2],B2=[n2+(m+1)2],F2=n2+m2,n=r/Lm=z/L。

桩地基应力计算基本尺寸关系如图1所示,其中,d为桩截面尺寸(桩径或者断面宽度),L为桩长,Z为计算点离半空间顶面(地表)的距离(深度),r为计算点离桩轴线的水平距离。

图1 半空间明德林桩及尺寸示意图Fig.1 Relevant size of a half space pile

1.2 可解析的积分解形式

对于上述基本解,只有在一些简单平面域,如布氏解在平面矩形域、圆形域,明氏解在平面矩形域、圆形域、竖向均布、竖向线性增长(用于有桩地基)的情况下才能求得其解析积分解。

布氏矩形域角点应力积分解:

(3)

式中:m=L/b,n=z/L(L,b分别为矩形基础长宽),并容易推导得文献[3]中第4.3.1条中关于矩形中心沉降系数δ:

(4)

对于桩基应力计算则需要采用明德林-哥特斯(Mindlin-Geddes)积分解:

(1) 桩端集中力对地基的应力为前述基本解(参见式(2));

(2) 桩侧摩阻力为矩形均布时对地基中的应力(式(5)):

(5)

(3) 桩侧摩阻力为线性均匀增长时对地基中的应力(式(6)):

(6)

以上字母含义可参见图1、图2或文献[3-4]。

图2 单桩工作状态下桩顶力的分解Fig.2 Decomposition of the pile top force

图2中Q为桩顶集中力,αQ为桩尖集中力,βQ为桩侧均布(线性平均)侧阻力,(1-α-β)Q为桩侧线性增长侧阻力。

1.3 任意多连通域积分的数值解

在大多数情况下碰到的基础形式均为不规则,那么求解不规则任意多连同域基础下的土体应力,就只能以数值积分的方式进行,本文利用计算机图形学、向量学计算技术,将这种无法解析的域剖分为多个可解析或较易积分的简单域—三角形平面域及三角形棱柱体空间域,然后进行高精度辛普生变步长数值积分即可求得地基任意点应力。

2 复合桩基沉降计算基本方法及原理

本文一切计算均严格按照文献[3-4]的规定,但在计算技术上利用了数学、测量学及计算机图形学上知识,在严谨性、科学性、适应性方面有其独特优点,同时能充分体现文献[3-4]在复合桩基计算方面特点;在此,将文献[3-4]中沉降计算原理作一简述。

2.1 天然地基

天然地基的沉降计算按分层总和法进行计算,文献[3]第4.3.1条:

(7)

地基压缩层从基底算起,至应力比0.1为止(应力比方法,若为变形比方法也很容易实现),计算点取为基础形心,计算结果为基础平均沉降。

2.2 沉降控制复合桩基

在常规桩基的设计中,外荷载完全由桩基承担,这时桩数较多,工程造价很高。在满足安全的前提下,采用桩土共同作用计算的方法,即本文及文献所述沉降控制复合桩基。

它是一种介于浅基与常规桩基之间的一种过渡基础类型,沉降计算时,它假定:当作用于承台底面的荷载准永久值效应组合值P大于各单桩极限承载力标准值之和时,桩分担相当于各单桩极限承载力标准值之和的荷载、承台地基土分担其余荷载;反之,桩承担全部荷载。具体计算时按下列原则进行:

(1) 当P-σCAC>kRk时,复合桩基沉降由两部分构成,一部分由桩顶附加荷载Rk+Gpk的k根桩作用下产生的沉降,按文献[3]第6.4.2条计算,但沉降经验系数宜取1.0;另一部分由承台底面附加荷载P-σCAC-kRk产生的沉降,计算同天然地基;

(2) 当P-σCAC≤kRk时,复合桩基沉降由桩顶附加荷载(P-σCAC)/k+Gpk的k根桩作用下产生的沉降,按文献[3]第6.4.2条计算,但沉降经验系数宜取1.0。

上述P为上部结构在基底产生的附加荷载,σC为承台地面承担的应力,AC为承台面积,k为桩数,Rk为单桩极限承载力标准值。单桩极限承载力为土对桩的极限支承力及材料强度双控,计算时按文献[2-3]要求宜取0.8折减系数,计算点一般取为群桩形心。

2.3 沉降计算公式

由上述方法,就可以求出地基中应力σ,在求解平面上任意一点(x,y)的沉降时,沉降可表示为

第i层土应力面积积分:

(8)

第i层土分层沉降:

(9)

基础总沉降:

S=ψΣSi

(10)

式中:hi-1为基础底面(或桩尖平面)到第i层土的顶面距离;hI为基础底面(或桩尖平面)到第i层土的底面距离;Ωx,Ωy分别表示多个任意平面形状多连通域基础形成的积分域,本文中用分段折线来模拟该域,并在积分时用分段函数来表示积分上下限;ψ为经验调整系数,由规范或有经验的专家确定,与地域或计算应力方式有关。

3 复合桩基明德林解(Mindlin)任意空间域积分的计算原理

通常,为按照前述原理进行复合桩基的沉降计算,必须先假定承台的分摊比例,再进行桩数的假定计算,然后按照假定桩数进行布桩,桩数布好之后,进行计算,计算沉降过小,再进行减桩,沉降太大,就进行加桩,要反复进行多轮次计算,最终达到理想桩数,作为最终确定的复合桩基设计方案。

本文利用了求积仪原理,任何空间域都可以先从平面域着手,平面域的积分完成,再利用明德林-哥特斯解沿深度方向进行一次线性积分就可以完成整个四维空间积分。

具体的做法事,将平面不规则的单连通域、多连通域近似看做折线逼近,如图3所示,所有连通域都可以剖分成三角形简单域,由沉降计算点(一般是桩基的形心点)引出线与各转折点相连,如转折点数字是n的话,则形成了n三角形域(如图3所示,五个角点即形成5个三角形)。

图3 连通域的三角形剖分 Fig.3 Triangulation of connected domains

在做数值积分时,每一个三角形均可按照式(12)、式(13)进行分段积分,一般可以分成两段,积分采用的是高精度变步长辛普生积分[8],平面域可以解决布希涅斯克及明德林桩尖面力的积分解,再沿着深度方向积分就完成了明德林桩侧力(视作体积力)的第四维积分。

对于图3中的三角形域△O34为例,可以进一步划分为图4所示积分域1(△O3d)及积分域2(△34d),再进行分段积分即可,则地基深度标高Z处的附加应力为

σz=σ1+σ2

(11)

式中:σ1，σ2用如下积分上下限函数表示。

图4 三角形域的数值积分及上下限Fig.4 Numerical integration upper and lower bounds of triangular domain

积分域1的竖向应力:

当a

(12)

积分域2的竖向应力:

当b

(13)

由图4及式(12)、式(13)可见,积分域上下限都是可解析线性函数,数学表达简单,配合数值积分则容易编程实现。

4 程序实现

根据以上先离散再积分数值计算原理,本文编制了相应Fortran程序,并配置了人机交互友好界面成为《超明星地基强度与沉降计算软件》,参见文献[5],该软件经上海市科学技术委员会鉴定为国际先进水平,后又评为规范配套软件,成为很多岩土工程科研部门在方案阶段咨询、研究的基本工具。

5 算例对比

针对文献[3]规范编制组给出的例题(考题,参见图5),按照133根桩最终施工图的计算结果,同时利用本文编制的软件计算,软件生成计算结果及简要过程如下:

图5 规范例题(桩位及基础平面简图)Fig.5 TheSpecification example (Foundation plan)

5.1 天然地基承载力设计值计算(过程略)

由文献[3]式4.2.3-1并结合表1所示地质报告参数,最终求得地基承载力设计值fdh:fd=γdfdh=123.16 kPa。

5.2 单桩竖向承载力设计值计算(过程略)

本工程采用C30级,0.2 m×0.2 m×16 m混凝土预制方桩,单桩竖向承载力设计值:Rd=Rsk/γs+Rpk/γp=194.42 kN (土体承载力控制)。

表1工程地质地层参数简表

Table 1 Engineering geological formation parameters

5.3 沉降控制复合桩基桩数-沉降曲线计算

5.3.1工程概况

本工程为6层楼砖混结构住宅,采用沉降控制复合桩基,上部结构荷载设计值Fd=54 000 kN,上部结构荷载准永久值效应组合值为43 500 kN。承台埋深1.27 m,地下水位-0.5 m,承台总面积Ac=355.72 m2;桩长为16 m,桩截面边长(桩径)为0.2 m,按桩基承载计算所需桩数为399根。

5.3.2沉降控制复合桩基桩数-沉降曲线

根据文献[3-4]要求,为确定有效控制沉降桩数,软件自动计算桩数沉降(表2),自动生成桩数沉降曲线(图6)。

表2计算成果一览表

Table 2 Calculation results list

*注:承台面积AC系指满足复合桩基承载力要求的最小承台面积,程序默认共计算30种桩数-沉降工况,为节约篇幅省略掉自动生成的工况26个;桩数为133根时,软件自动内插计算得沉降为17.91 cm作为计算成果(布好桩以后可再进行复核对比,参见图6)

图6 软件自动生成桩数沉降曲线Fig.6 Pile number vs.settlement curve by software

5.4 计算成果对比

按照文献[3-4]算法以及本文提供的数值积分算法,对比如表3所示。

表3计算成果对比表

Table 3 Calculation results comparison list

备注:①准确解指布好桩后,严格按照规范方法应力叠加计算所得;②规范计算解指按照规范,采用同心圆方法归并,查表简化计算得到的求解,参见文献[3]。

根据表3对比可见,本文方法与规范准确解偏大约2.6%,在工程设计计算合理偏差范围内。

6 结 论

本文方法及配套软件[5]实现了:①自动将基底力、桩力离散为面力和半空间体积力;②自动剖分平面多连通域为三角形域、剖分空间域为三角棱柱域;③自动完成面力及半空间体积力在地基应力中的积分;④自动根据变形控制要求进行多工况计算及插值,确定承台面积及桩数。

根据算例及对比可见,本文提供算法及相应程序,在计算准确度上已足够在复合桩基方案阶段估算之用,无须布桩应力离散并积分方式得出的计算结果,与准确解、规范法差异均在3%左右,而大大提高计算效率,使得原来需要数天时间计算才能确定复合桩基方案,仅需数分钟就可完成,本程序实现的软件已经在工程界大量投入使用。