王豫平

一、复合函数问题

在解决复合函数f[h（x）]=g（x）求f（x）时，如果将h（x）的表达式直接代入f（x），就会造成自变量过于庞大和复杂，通常利用换元法令t=g（x）从中解出x的值，代入g（x）进行换元，这样就把原式化为初等函数模型，再利用函数模型性质从而解决问题。

例1 （2015山东理数）设函数f（x）=3x-1，x<12x，x≥1，则满足f（f（a））=2f （a）的a的取值范围（）

A.■，1 B.[0，1]

C.■，+∞ D.[1，+∞）

分析：函数f（x）是分段函数，要解决该问题则需要分别讨论不同的定义区间，如果直接解决该问题，那么自变量就会变得很复杂，从而增加了解题的难度。但是这时用换元法令t=f（x），从而把问题转换为一般的分段函数模型就好解决多了。

解：令t=f（a），则原式可化为f（t）=2t

当t<1时，3t-1=2t

设g（t）=3t-1-2t，则g′（t）=3-2tln2

当t<1时，g′（t）>0

所以g（t）在（-∞，1）上是增函数，即有

g（t）

则方程3t-1=2t无解

当t≥1时，2t=2t

由f（t）≥1，即3a-1≥1

解得a≥■且a<1

或a≥1，2a≥1

解得a≥0，即a≥1

综上可得a≥■，所以C答案正确。

二、三角函数问题

解决三角函数问题无疑需要各个知识点的正确连接，通常要把相关知识点合理运用。把一个角用其他两角代换，或把一个三角函数式用与其等价的三角函数式代换等，从而将其化简减少变元的个数。如果分开讨论变元很麻烦时，不妨利用换元法将其化为初等函数模型解决问题。

例2 （2016江苏数学）在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是______。

分析：在三角形ABC中∠A+∠B+∠C=π，从而tanA=-tan（B+C），所以原式可化为关于tanB，tanC两个变量的式子，如果分开讨论tanB，tanC的值域再确定tanAtanBtanC的最值则很麻烦，但是由于tanB，tanC都是大于0的，不妨利用换元法令t=tanB·tanC，把问题转换为关于t的一元二次函数模型求最值问题，就简单多了。

解：由sinA=sin（π-A）=sin（B+C）=sinB·cosC+cosB·sinC

sinA=2sinBsinC

可得sinBcosC=cosBsinC=2sinBsinC①

因为三角形ABC为锐角三角形，所以有

cosB>0，cosC>0

在……