宋煜阳

【摘 要】三角形的面积公式推导是化归思想的深化。教学中，基于学生前测中三类三角形面积公式自我探索经验水平，采用“在直角三角形中梳理发现，提炼方法，形成推导路径”“在锐角三角形中自主迁移，整体推进，解释说明公式”“在钝角三角形中想象类推，主导倍拼，补充说明剪拼”的探索路径，实现面积公式起于直角三角形、成于锐角（钝角）三角形的良好格局。同时，着力于推理想象和表象回应，合理选取方格图、箭头图、实物操作等学习材料，深入理解公式的含义。

【关键词】化归思想；公式推导；三角形面积

一、问题思考

（一）剪拼法与倍拼法有无主次之分？

在小学教材里，三角形的面积公式推导路径主要有两种：一是在面积不变前提下通过三角形的底或高折半、剪拼，转化为长方形或平行四边形（以下简称剪拼法）；二是通过构造全等三角形，与原三角形拼组转化为平行四边形或长方形，使得新图形面积是原图形的两倍后再折半（以下简称倍拼法）。

剪拼法和倍拼法在各版本教材中编排的比重存在一定差异。以人教版、北师大版、苏教版、浙教版、西师版、青岛版六个版本为例，每个版本均安排了倍拼法的例题，而剪拼法只在浙教版中有例题安排，人教版只是在“你知道吗”栏目里进行了补充。多个版本教材重视倍拼法、淡化剪拼法的编排，导致较多的教师认为“三角形的面积公式推导中，倍拼法比剪拼法更好、更重要”。

那么，在三角形的面積公式推导中，剪拼法和倍拼法究竟有没有主次之分呢？笔者认为，从公式推导的思维要求来说，剪拼法比倍拼法更为复杂多变，两者有难易之别，但并没有主次之分。

第一，对具体转化方法的地位需要从整个方法序列来认识。在教材面积公式推导中，转化方法的学习依次经历了平行四边形的面积、三角形的面积、梯形的面积、多边形的面积、圆形的面积等多个阶段。仅以转化方法的适用性而言，剪拼法比倍拼法应用更为广泛，如多边形的面积、圆形的面积采用剪拼法实现转化。而在中国台湾地区教材和韩国教材中，平面图形面积公式推导的转化方法序列并非从平行四边形开始的，而是先得出三角形的面积公式，然后研究平行四边形的面积公式。可见，平面图形面积公式推导的转化方法序列是没有“固定”的，自然也不存在转化方法的主次之分。

第二，对具体转化方法的地位需要从学段目标来理解。课程标准第二学段目标中指出，“探索并掌握三角形、平行四边形和梯形的面积公式”“探索并掌握圆的面积公式”。在整个面积公式探索的化归思想进程中，平行四边形的面积公式推导是化归思想的启蒙，三角形的面积公式推导是化归思想的深化。主要表现为在剪拼法、倍拼法等多种转化方式的探索活动中落实化归的思想，提高推理、空间观念等核心素养。

（二）需要给学生提供怎样的学习材料？

在本课教学中，我们总会围绕“需要提供方格图吗”“需要提供三角形操作吗”“需要提供怎样的三角形”等关于学习材料的问题展开讨论。本质上这些问题的讨论都是在思辨、考量学生自主探索的空间与可行性。

1.方格图问题。

在三角形面积的独立探索中，是否提供方格图是当前教学设计走向的分水岭。

持不介入方格图观点的典型教学设计路径为：

（1）分组提供等腰三角形和不等边三角形，供学生自主探究。

（2）交流反馈，梳理得出等腰三角形能剪拼转化为长方形，得出剪拼的两个三角形形状一样才可以实现转化。

（3）讨论思考如何让不等边三角形也能实现转化，学生提出倍拼法，组织学生用倍拼法推导面积公式。

（4）补充介绍剪拼法，说明用剪拼法也能实现转化。

在整个面积公式推导中，没有介入方格图，表面上探索空间很大，实际上从剪拼法到倍拼法的转身，多数学生是缺乏心理准备和方法准备的。在短短的1分钟内能够想到倍拼法的只是个别优秀学生（不排除课前了解倍拼法），并没有给多数学生提供真正的探索空间与方向。

当有了方格图，学生又有怎样的探索水平呢？笔者对宁波市奉化城区72名五年级学生进行了前测，要求通过多种方法分别求出方格图中（边长为1厘米）直角三角形、锐角三角形、钝角三角形的面积。前测情况统计如下表。

上表数据可以反映出两方面的基本学情。一方面，在方格图支持下近半学生能够在直角三角形内完成剪拼法到倍拼法的自我转身。另一方面，学生对锐角三角形、钝角三角形的剪拼法存在较大困难，对已有的经验方法不善于提炼和迁移运用，如倍拼法没能从直角三角形的运用迁移到钝角三角形和锐角三角形。

2.三角形操作问题。

关于三角形操作问题的讨论，分为两种情形。情形一，学生已经在方格图内完成三角形倍拼法的面积公式转化后，是否还需要提供三角形实物进行操作；情形二，在明确三角形操作活动后，该提供几个三角形实物进行操作。

在三角形实物操作问题上，很容易走入指令性实物操作和去实物操作两个极端。实际教学显示，较多学生尽管能够在方格图内完成倍拼法的图示解说，但在两个全等锐角三角形、钝角三角形的实物拼组中出现困难，典型错误主要为“将两个全等三角形的底重合拼组成平行四边形”（见图1），主要原因有两个：一是学生只顾着拼组成平行四边形，并未进入转化前后图形内部联系的思考，找不到对应的底和高；二是学生离开方格图，将另一个全等三角形翻转拼组存在困难（见图2）。

至于需要提供几个三角形进行操作，关键取决于学生对三角形面积公式的已知程度。一旦学生知道了三角形的面积公式，操作活动的性质就从发现公式转向解释公式。学生在问题“长方形、平行四边形面积公式没有除以2，为什么三角形的面积公式要除以2”的驱动下，对“底×高”“底×高÷2”两者加强关联性思考，也就不难用倍拼法进行解释。而当学生形成倍拼法的操作思路，对于三角形的数量与形状也就不存在困难。

（三）面积公式推导环节中的着力点是什么？

三角形面积公式推导的整个流程主要包括图形转化、寻找联系、推导公式三个环节，哪个环节是学生最为困难的呢？无论是前测还是课堂探索都显示，学生对寻找转化前后图形内部联系的意识与能力都非常弱，是面积公式推导的着力点。

以图3的锐角三角形面积公式推导为例，学生能在方格图中借助剪拼法将锐角三角形转化为长方形，列式计算出“3×4=12（平方厘米）”，但在长方形的长、宽与三角形的底、高之间建立对应联系缺乏思考。简单地说，在具体三角形面积探索时，学生关注点是算式，而从算式走向公式的推理意识较为薄弱，推理的环节成为面积公式推导过程的重点和难点。实际教学中，多数教师把探索公式的重心放在了图形转化上，推理过程只采用了集体问答、教师演示讲解的方式，一带而过，削弱了学生对寻找联系、推理分析的独立思考与交流的时空。

二、教学实践

（一）直角三角形的面积公式推导

1.回忆三角形按角分类，指出对三角形的面积研究可以从直角三角形、锐角三角形、钝角三角形三类进行研究。

2.直角三角形的前测作品分析交流。

整体呈现前测五幅作品（见图4），组织观察讨论：在直角三角形面积计算方法的探索中，同学们想到了这五种方法，你能看懂吗？哪些方法是类似的？

生：1、2、3为一类，都是剪下一部分移过去的；4、5为一类，都是用一个相同的三角形拼成了长方形或平行四边形，面积是原来的2倍。

结合學生的回答提炼“剪拼法”“倍拼法”等方法名称，对同属倍拼法的方法图4-4、图4-5进行讨论：通过倍拼法三角形转化为长方形，长方形的面积公式是“长×宽”，直角三角形的面积公式是什么？

生1：长×宽÷2。

生2：应该是底×高÷2，长是底，宽是高。

结合生2回答在图上标注出“底”“高”，并出示箭头图，点拨推导过程：长方形的长相当于直角三角形的底，长方形的宽相当于直角三角形的高，因为长方形面积是直角三角形面积的2倍，所以直角三角形的面积公式是底×高÷2。

学生集体完成图4-5倍拼为平行四边形的公式推导梳理，得出“直角三角形的面积=底×高÷2”。

组织学生对图4-1、图4-2中转化为长方形的方法进行推导，分别得出“直角三角形的面积=底×高÷2”“直角三角形的面积=底÷2×高”，观察比较：这两种方法都转化为长方形，有什么不同？

生：第一幅（图4-1）是沿着高的一半剪，第2幅（图4-2）是沿着底的一半剪。

结合学生的回答，课件演示高折半、底折半所在的中位线。

再次整体呈现图4的五幅作品，讨论：通过倍拼法和剪拼法都把新学的图形转化为原来学过的图形，发现直角三角形的面积公式为“底×高÷2”。这里的“÷2”意思一样吗？

生：不一样，有的是高÷2，有的是底÷2，有的是面积÷2。

小结：采用剪拼法，转化前后的图形面积不变；而倍拼法转化后的图形面积是原来的2倍。

（二）锐角三角形、钝角三角形的面积公式推导

1.猜测锐角三角形面积公式，明确探究任务。

通过猜测得出锐角三角形面积公式后，提供学习单，明确探究任务：同桌合作分别采用倍拼法、剪拼法，通过算一算、写一写，说明锐角三角形的面积公式是“底×高÷2”。

2.小组合作探究锐角三角形面积公式，全班交流反馈。

选取学生作品（见图5），学生上台展示交流，侧重介绍转化方法和公式推导过程。交流中台上、台下同学互动提问点评。

3.锐角三角形倍拼法操作活动。

每人提供2个全等的锐角三角形（标注出底），采用倍拼法将三角形转化为平行四边形，同桌互相介绍、指认转化前后图形的底和高。

呈现将两个三角形的底重合拼成的平行四边形错例（见图1），组织讨论发现，只有将三角形翻转、底倒着倍拼成的平行四边形，底和高才是和原来的三角形对应的，才能解释“底×高÷2”的含义。

4.钝角三角形倍拼法操作演示推导面积公式。

猜测得出钝角三角形的面积公式后，教师板贴三个相同的钝角三角形（不同底边），组织学生观察想象：如果把钝角三角形通过倍拼法研究面积公式，会转化为什么图形？另一个钝角三角形可以怎样倍拼？

指名学生上台倍拼另一个钝角三角形，并比画平行四边形和钝角三角形的底和高，介绍公式推导过程。

5.小结三角形面积公式和字母公式。

（三）三角形面积公式应用与解释

列式计算钝角三角形的面积。

反馈算式“10×3÷2”中的“10×3”算的是什么图形的面积？请你画出这个平行四边形。

讨论：如果算的是“10×（3÷2）”，你猜采用了哪种转化方法？你能想象这个转化过程吗？

学生结合图比画转化思路，课件演示跟进钝角三角形剪拼为平行四边形和长方形的推导过程。

三、教学反思

本课在城乡多个不同班级进行教学，尽管在面积公式推导的语言表达上存在一定差异，但都表现出很高的探索热情和探索水平。这一课堂教学效果，充分证实了只要基于学情，探索活动是能真正落地的。

（一）基于学情，扶放结合，探索活动有序充分

让学生充分经历三角形面积计算方法的探索过程，是本节课的核心目标。而要让学生充分经历多样化的剪拼、倍拼方法思考过程与方法提炼，既需要充分保障学生的探索时间与空间，又需要教师适度的点拨指导。这就需要对教学内容进行合理取舍，学习任务不宜过多、探索思维跨度不宜过大。

教学中，只保留了基本练习，把大量的时间用于三角形面积公式的探索。面积公式推导也没有平均用力，而是基于学生前测中三类三角形面积公式自我探索经验水平，采用了“在直角三角形中梳理发现，提炼方法，形成推导路径”“在锐角三角形中自主迁移，整体推进，解释说明公式”“在钝角三角形中想象类推，主导倍拼，补充说明剪拼”的总体探索框架进行侧重，实现了面积公式起于直角三角形、成于锐角（钝角）三角形的良好格局。

具体地说，先利用直角三角形面积计算前测作品进行梳理提炼，帮助学生明确面积公式探索的路径、方法与要求；接着将锐角三角形面积公式作为探索活动的主体环节，放手让学生对倍拼法、剪拼法两种方法进行自主尝试、内化迁移；而钝角三角形面积公式考虑到剪拼法自主探索难度过大，教学中先完成倍拼法的面积公式解释，然后在练习中进行剪拼法的补充说明。综观整个探索过程，目标明确，过程充分，扶放结合，循序渐进。

（二）基于学情，化解难点，学习材料适切有度

在三角形面积公式探索中，主要困难有两个。一是学生一时无法自发从剪拼法想到倍拼法，二是面积公式推导中不大关注转化图形间的内部联系。

针对第一个难点，教学中选取了格子图中探索直角三角形、锐角三角形的面积计算方法，在直观的格子图中，学生能“看到”倍拼后的图形，自觉产生采用倍拼法的想法。通过直角三角形面积计算方法的交流梳理，进一步明确了两种转化方法。在锐角三角形面积公式推导中，采用了剪拼法、倍拼法整体推进的方式，学生对格子图表现出较强的探索能力。

针对第二个难点，教学中主要以公式推导的箭头图为依托进行提炼、说理。在直角三角形面积计算方法梳理中，重点介入箭头图进行推理，并形成面积公式，为锐角三角形面积公式推导提供范例。在锐角三角形面积公式自主探索中，采用了列式计算、公式推导箭头图填充两种形式，列式计算相对具体，为较为抽象的公式推導箭头图提供了支持。实际教学显示，在方格图中列式计算、填写箭头图能够让较多的学生从算式走向公式。

（三）基于学情，注重回应，面积公式理解深刻

三角形面积计算公式含义丰富，学生要深刻理解公式，除了探索过程充分、体验到位，还需要加强对转化过程的想象以及转化后图形表象的回应。如直角三角形面积公式整体梳理中，组织讨论“同样都是‘底×高÷2，除以2的意思一样吗”，强化了转化过程的想象。又如，在钝角三角形倍拼法面积公式推导中，先让学生想一想“如果把钝角三角形通过倍拼法研究面积公式，会转化为什么图形？另一个钝角三角形可以怎样倍拼”。另外，在练习中对“10×3”“3÷2”的追问、补画和比画，都有助于学生对转化后图形表象的调用，再次回顾了转化的过程，从而加深了对三角形面积公式的探索印象。

（浙江省宁波市奉化区教师进修学校 315500）