浙江省杭州高级中学 (310003) 王希年

我们知道，二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图像与函数y=ax2的图像形状相同，f(x)的图像相当于函数g(x)=ax2的图像经过平移而得到的.而函数y=ax2的图像可以看作对函数y=x2的图像进行了伸缩变换，抛物线的开口大小由|a|决定，|a|越大，开口越小.也可以把二次函数f(x)=ax2+bx+c的图像看成是y=ax2和y=bx+c图像的纵向叠加，也可以看成是y=ax2和y=-bx-c图像的纵向减损.

波利亚的“怎样解题表”将解题过程分成了四个步骤：第一，你必须弄清问题.第二，找出已知数与求知数之间的联系.第三，拟定、实行你的计划.第四，验算所得到的解，回顾反思.

在课堂教学中，我们用波利亚的四个步骤来讲题.下面通过一些例题及变式来讲清楚“顶天立地”的方法，以供教学参考.

一、利用图像平移，恰好“顶天立地”时，找问题解决方案

例1 设函数f(x)=|x2+ax+b|在[0,2]上的最大值为M，求M的最小值.

分析:1°函数y=x2+ax+b与y=x2的图像形状相同，函数y=x2+ax+b的图像相当于函数y=x2的图像经过平移而得到的.

3°在对称轴右侧，函数y=x2递增，递增速度越来越快；在对称轴左侧，函数y=x2递减，递减速度越来越慢.因此，当函数g(x)=x2+ax+b的对称轴在区间[0,2]的中点时，g(x)max-g(x)min最小，即n-m最小.所以，当g(0)=g(2)=M，g(1)=-M.现把直线y=M叫做天线，把直线y=-M叫做地线，g(x)=x2+ax+b的图像“顶天立地”时，M取得最小值.

2°图像分析得出的解是不严密的，在分析好答案后，要严格给出代数推理并给于论证.

二、利用伸缩变换，恰好“顶天立地”时，找问题解决方案

例2 (2010年全国联赛一试)已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，当0≤x≤1时，|f′(x)|≤1，试求a的最大值．

分析:1°我们知道f′(x)=3ax2+2bx+c的图像与函数y=3ax2的图像形状相同，f′(x)的图像相当于函数g(x)=3ax2的图像经过平移而得到的，|3a|越大，抛物线的开口越小，函数g(x)=3ax2的图像可以看成是y=x2的图像经过伸缩变换而得到的.

变式2 设函数f(x)=kx2+ax+b(k>0),记M为函数y=|f(x)|在[-1,1]上的最大值，N为|a|+|b|的最大值，若M=2k，求N.

分析:1°由文章开头所述，f(x)=kx2+ax+b(a,b∈R)的图像与函数y=kx2的图像形状相同，f(x)的图像相当于函数g(x)=kx2的图像经过平移而得到的.在对称轴右侧，函数g(x)=kx2递增，递增速度越来越快；在对称轴左侧，函数g(x)=kx2递减，递减速度越来越慢.

当长度为2的区间[t,t+2]在g(x)=kx2对称轴右侧时，t>0,g(x)max-g(x)min=g(t+2)-g(t)=4tk+4k>4k;当长度为2的区间[t,t+2]在g(x)=kx2对称轴左侧时，t<-2,g(x)max-g(x)min=g(t)-g(t+2)=-4tk-4k>4k;但当g(x)=kx2对称轴在[t,t+2]内时，-2≤t≤0，g(x)max-g(x)min=max{g(t),g(t+2)}-g(0)=max{g(t),g(t+2)}≤4k.

2°固定1°中长度为2的区间[t,t+2]为[-1,1]，让函数g(x)=kx2平移成f(x)的图像，由1°知道，当区间在f(x)的对称轴的右边或左边时，f(x)max-f(x)min>4k，因此，f(x)max>2k和

f(x)min<-2k，一定有一个成立，否则f(x)max-

f(x)min≤4k.这样必有M>2k.

3°由1°和2°知，当a,b满足M≤2k时，f(x)的对称轴在区间[-1,1]内，回到原始情形，先把函数g(x)=kx2的图像左右平移|t|个单位，再向下平移-n个单位，得到y=k(x-t)2+n(-1≤t≤1,-2k≤n<0).即y=kx2-2tkx+kt2+n，当-1≤t≤0时，f(x)max=f(1)=k(1-t)2+n≤2k，即n≤2k-(1-t)2k对-1≤t≤0恒成立，则n≤-2k，又由-2k≤n<0，所以n=-2k.

同理，当0≤t≤1时，f(x)max=f(-1)=k(-1-t)2+n≤2k，即n≤2k-(1+t)2k对0≤t≤1恒成立，则n≤-2k，又由-2k≤n<0，所以n=-2k.此时y=k(x-t)2-2k(-1≤t≤1),|a|+|b|=2k|t|+k|t2-2|=-kt2+2k|t|+2k=-k(|t|-1)2+3k≤3k，当t=±1时，|a|+|b|取最大值3k.

反思:先确定f(x)的对称轴在区间[-1,1]内，|a|与左右平移量有关，|b|与上下平移量有关，从而猜想|a|+|b|取最大值时，对称轴靠边，并且{f(-1),f(1)}={-2k,2k}.

三、利用图像叠加，恰好“顶天立地”时，找问题解决方案

(1)证明：f(b)≤f(a)；(2)设f(a)-f(b)≤M(a,b)，求M(a,b)的最小值.

分析:分别画出y=2x和y=cosπx在[0,1]的图像，两图形叠加即为f(x)=2x+cosπx的图像，由描点可近似地画出f(x)的图像是有两个极值点的N形图像.

图1 图2

图3

反思:运算过程中适当运用图形帮助理解，可以得到更清晰的解题思路，可以提高解题的正确率，所以，我们说数形结合中，数也离不开形.

变式3 已知f(x)=8x3+ax2+bx，是否存在实数a,b，使得对任意x∈[-1,1]，均有|f(x)|≤2.若存在，求出a,b的值；若不存在，请说明理由.

分析:f(x)=8x3+ax2+bx的图像可以看成是函数y=8x3和g(x)=ax2+bx的图像叠加，y=8x3在[-1,1]上的值域为[-8,8]，与g(x)=ax2+bx的图像叠加后，要使|f(x)|≤2成立，先考察两端，必须g(1)=a+b≤-6,g(-1)=a-b≥6，相减消去a得b≤-6，但当a>0时，f(1)=8+a+b≤2+a，|f(1)|≤2不一定成立；当a<0时，f(-1)=-8+a-b≥-2+a，|f(-1)|≤2不一定成立；

图4

画图叠加，当a≠0时，|f(x)|≤2不恒成立.

上图是函数y=8x3和g(x)=-6x的图像叠加所得，图像与直线y=2和直线y=-2“顶天立地”，若改变b的取值，就会改变这种极致情形，使得|f(x)|≤2不恒成立.所以存在a=0，b=-6，使得对任意x∈[-1,1]，均有|f(x)|≤2.

解析:根据题意，有

四、利用图像减损，恰好“顶天立地”时，找问题解决方案

图5

首先，任意一条与抛物线E无公共点的线段，都可以通过平移，使其与抛物线E有公共点，并在此过程中，M(a,b)变小，如图5.

图6

反思：前面题中的天、地线是水平的，本题的天、地线是斜向的.这不影响问题的本质.

图7

解析:设f(x)=

课堂教学中，要想让学生听懂，且印象深刻，就要从问题的本质入手，要做充分的铺垫.课堂教学中要讲透一道题，不仅要讲方法，还要讲内涵，讲背景，这样学生对这道题的认识是立体的.本文从图像变换及图像的叠加和减损的视角，来揭示一类多元参数题的内在本质，之中几何图像运动变化辅助较多，代数问题直观展示，形数互助，善莫大焉，这正如单墫教授在一书中写道：“数学大花园里，几何是最美的部分”[3]，数学老师应该多用点时间把数学的直观美感展现给你的学生.

[1]波利亚.怎样解题[M]，涂泓，冯承天译，上海科技出版社，2007.

[2]石秀福，王希年.一类二次函数考题的平移背景研究[J].中学教研(数学)，2016(7)42-45.

[3]单墫平面几何的小花[M]，上海教育出版社，2002.