湖北省大悟县楚才高级中学 (432800) 丁辉华

图1

本题是2017年高考数学江苏卷第12题,试题温和平实,表述中规中矩,主要考查平面向量基本定理,平面向量数量积,两角和与差的三角函数公式.按江苏卷历年的风格,处于这个题号的题目,区分度较大,此题确实如此,它不仅考查学生综合运用向量知识,平面几何知识,解三角形知识及分析问题、解决问题的能力,还考查学生把握知识的能力,以及选择解决问题突破口的能力,能较好地检测学生的数学素养和进一步学习数学的潜能.下面从不同角度剖析本题,与读者交流切磋.

一、借助向量的数量积求解

①+②得m+n=3.

二、根据条件，构造图形求解.

平面向量基本定理本质上是向量加法的三角形法则、平行四边形法则的另一种表达形式，即通过基向量线性表达.本题根据条件，也可以利用平面图形的特征来解决.

图2

下面讨论m+n=4不符合题意.

D=180°-45°-α=135°-α.

图3

评注:解法3通过构造三角形，借助正弦定理、余弦定理确定出m,n的关系，由余弦定理确定出来的是m,n的二次关系式，这样有可能产生增解，从而导致错解.解法4在解法3的基础上加以改进，多了一条辅助线，通过解直角三角形，得到关于m,n的一次方程，可以准确地求出m,n的值.

图4

图5

解法6:过点B作OC的垂线，垂足为D，垂线交OA(或OA的延长线)于E,如图5.

∵∠BOC=45°，

三、利用坐标法求解

图6

∴m+n=3.

图7