尹霄丽 郭翊麟 闫浩 崔小舟 常欢 田清华吴国华 张琦 刘博 忻向军

1 引 言

最近,水下传感网络、水下无人飞行器和潜艇等信息传输需求的快速增长促进了水下光通信系统的研究[1−4].带有不同轨道角动量(orbital angular momentum,OAM)模式数的光束(也称涡旋光束)是相互正交的,有望通过OAM复用来提升水下光通信系统的信道容量,相关研究受到了广泛关注[5−9].Ren等[2]实验研究了携带有4个不同OAM模式光束的复用传输,实现了4 Gbit/s的水下光通信链路.Baghdady等[6]实现了3 Gbit/s水下2.96 m OAM光通信链路传输.然而,利用OAM提升系统信道容量的方法容易受海洋湍流的限制.混浊度、水流速度、温度梯度和盐度梯度等[1,2,6,9]湍流因素的存在导致OAM光束能量将会扩散到其他OAM模式上,这种现象称为模式串扰,从而减少了系统的信道容量[10−13].带有OAM的汉克-贝塞尔(Hankel-Bessel,HB)涡旋光束具有无衍射和自聚焦特性,即在无衍射传播范围内不会改变光强分布,并在遇到障碍物后能够重建横向强度分布[14,15].虽然无衍射特性表明光束能量是无穷的,但是已经有实验证明能够产生近似的无衍射光束[16,17].HB涡旋光束在空间光通信领域得到了研究者的关注,研究表明在大气湍流信道中HB涡旋光束受湍流影响较小[14,15].据我们所知,HB涡旋光束在海洋湍流中的传输特性研究尚未见报道.

本文首先基于Rytov近似理论,对HB涡旋光束在海洋弱湍流信道的传播特性进行了理论分析,推导得到了接收光束的螺旋相位谱解析表达式.数值分析了海洋湍流参数对HB涡旋光束传输的影响,并在同等湍流条件下与拉盖尔-高斯(Laguerre-Gaussian,LG)涡旋光束进行了对比分析,这些结果将对OAM在水下光通信的潜在应用具有指导意义.

2 理论分析

2.1 HB涡旋光束经海洋湍流信道传播的统计特性

对于HB涡旋光束而言,在自由空间中传输距离z处的复振幅M表达式为[15]

(1)式中l0是OAM模式数;A0是用来描述光束功率的常数;Jm(x)是m阶的第一类贝塞尔函数;k=2π/λ是波数,λ是波长;ρ =(ρ,ϕ)是源平面二维位置矢量;ϕ是方位角.

基于Rytov近似理论,HB涡旋光束在海洋湍流信道中传输距离为z处的复振幅可以表示为[10]

(2)式中,Ψ1(ρ,ϕ,z)是海洋湍流引入的随机复相位扰动.

HB涡旋光束在海洋湍流中的二阶交叉谱密度函数可表示为[10]

(3)式中,*表示复数共轭,⟨·⟩t表示对湍流的系综平均[18,19].

利用Rytov相位结构函数的二次近似,能够得到(3)式等号右边的最后一项为[20]

(4)式中,ρ0是海洋湍流中球面波的空间相干长度,其表达式为[10]

(5)式中,κ是折射率波动的空间角频率,ϕocean(κ)是海洋湍流的折射率波动的空间功率谱,在均匀各向同性海水中可表示为[21,22]

(6)式中,χT是温度方差耗散率,从海洋表面到深水层的取值范围为10−4–10−10K2/s;ε是湍流动能耗散率,从海洋表面到深水层的取值范围为10−1–10−10m2/s3;η是Kolmogorov尺度;τ是平衡参数,用来描述温度与盐度波动对功率谱变化贡献大小的比值,其值从0变化到−5,其中0代表海洋湍流完全由盐度波动主导,−5代表完全由温度波动主导;AT=1.863×10−2;As=1.9× 10−4;ATs=9.41× 10−3;δ=8.284(κη)4/3+12.978(κη)2.

将(6)式代入(5)式中,化简得到[13]

(7)式表明在相同的波长和传输距离下,海洋湍流越弱,ρ0越大.

2.2 螺旋相位谱

当HB涡旋光束在海洋湍流信道中传播时,湍流效应导致了OAM模式串扰,接收端不仅能检测到发射模式,还能检测到其他模式.因此,可以将HB涡旋光束经过海洋湍流后的复振幅写成无穷多个本征态的叠加,即

(8)式中,系数al(ρ,z)可表示为

对系数al(ρ,z)求湍流系综平均,可以得到HB涡旋光束OAM模式概率密度为

将(3)式代入(10)式中,并利用(4)式化简得到

将(1)式代入(11)式中,并利用积分关系[23]

可以简化计算得到HB涡旋光束的OAM模式概率密度的解析表达式为

(12)式和(13)中,In(η)是n阶第一类修正贝塞尔函数.

另外,当发射OAM模式为l0时,可以将接收到OAM模式为l的螺旋谐波能量定义为

(14)式中,R为光束的接收孔径.接下来,将螺旋相位谱Pl(z)定义为OAM模式为l的螺旋谐波能量与光束总能量的比值,可表示为

(15)式中,表示涡旋光束的总能量.当l等于l0时,Pl0(z)表示探测概率;当l等于l0±∆l,Pl(z)表示串扰概率,∆l表示发射的OAM模式与探测到的OAM模式的差值.

3 数值分析

本文做了如下设置:Kolmogorov尺度η为10−3m,A0为10,接收孔径R为3 cm.考虑到海水中的吸收和散射效应,波长λ取为532 nm[1].

图1以发射OAM模式数l0等于1为例,给出了HB涡旋光束的探测概率随传输距离变化的曲线.设置温度方差耗散率χT为10−7K2/s,湍流动能耗散率ε为10−3m2/s3,平衡参数τ为−4,这些设置满足弱湍流条件[13,22].

图1 不同的OAM模式数l时,HB涡旋光束的探测概率随z的变化曲线Fig.1. Detection probability of HB vortex beam against z for diff erent l.

从图1可以看出,随着传输距离的增加,OAM模式探测概率曲线呈下降趋势,而邻近模式的串扰概率不断增加.从(7)式也可以分析得到,随着传输距离的增加,ρ0减少,海洋湍流引起的模式串扰变得严重.

图2是在温度方差耗散率χT为10−7K2/s,湍流动能耗散率ε为10−3m2/s3,平衡参数τ为−4,传输距离为30 m,发射OAM模式数l0为1到5时,HB涡旋光束的螺旋相位谱.从图2中可以看出,海洋湍流造成了明显的模式串扰,并引起了螺旋相位谱的扩展.同时,随着OAM模式数的增加探测概率下降,这是因为随着OAM模式数增加,光束变得更加发散[20].

图2 z为30 m时,HB涡旋光束的螺旋相位谱Fig.2.OAM spectra of HB vortex beam for z=30 m.

图3 —图5分别分析了平衡参数τ、温度方差耗散率χT,以及湍流动能耗散率ε对OAM模式l0=1的光束探测概率的影响.图3是在温度方差耗散率χT为10−7K2/s,湍流动能耗散率ε为10−3m2/s3,平衡参数τ取−4.5,−3.5,−2.5和−1.5四种情况下得到的探测概率随传输距离变化的曲线.从图3中可以看出,当τ值接近−5时,海洋湍流对光束的负面影响较小;随着|τ|减少,海洋湍流对光束的负面影响越来越大.这是因为|τ|→ 0时,海洋湍流以盐度波动为主,此时ρ0值很小,海洋湍流使HB涡旋光束发散得很严重[23].因此,可以得到HB涡旋光束更加容易受以盐度波动为主的海洋湍流的影响.

图3 不同的τ时,HB涡旋光束的探测概率随z的变化Fig.3. Detection probability of HB vortex beam against z for diff erentτ.

图4 是在湍流动能耗散率ε为10−3m2/s3,平衡参数τ为−4,温度方差耗散率χT取不同值时,探测概率随传输距离z的变化曲线.从图4中可以看出,HB涡旋光束的OAM模式探测概率随χT的增加而减少.当χT较小时,海洋湍流的负面影响较弱,更适合HB涡旋光束OAM模式的传输.这是因为在ε一定时,随着χT的增大,ρ0值减小,海洋湍流带来的负面影响变得更强,导致光束发散得越快,因而探测概率也在下降[23].

图4 不同χT时,HB涡旋光束的探测概率随z的变化Fig.4.Detection probability of HB vortex beam against z for diff erentχT.

图5 是在温度方差耗散率χT为10−7K2/s,平衡参数τ为−4,湍流动能耗散率ε取不同值时,探测概率随传输距离z的变化曲线.从图5中可以看出,HB涡旋光束的OAM模式探测概率随ε增加而增加.这是因为对于固定的χT,随着ε值增大,ρ0值也增大,海洋湍流引起的光束发散变小,因此探测概率增加[23].

图5 不同的ε时,HB涡旋光束的探测概率随z的变化Fig.5.Detection probability of HB vortex beam against z for diff erentε.

LG涡旋光束是一种比较常见的涡旋光束,在空间光通信中也受到了研究者的关注[7,8,10,20].图6比较了HB涡旋光束和LG涡旋光束的探测概率随传输距离变化的影响.其中,设置HB涡旋光束和LG涡旋光束的发射OAM模式数为1,2和3,传输距离从0变化到50 m,温度方差耗散率χT为10−7K2/s, 湍流动能耗散率ε为10−3m2/s3,平衡参数τ为−4.LG涡旋光束的径向模式数为0,w0=1 cm为常见入射光束腰大小[10],w0=2.9 mm为光束传输至50 m处,使得接收端的光斑尺寸最小的最佳入射光束腰大小.

图6 不同的OAM模式数l时,HB与LG涡旋光束的探测概率随z的变化Fig.6.Detection probability of HB and LG vortex beam against z for diff erent l.

从图6中可以看出,HB涡旋光束的探测概率大于常见LG涡旋光束(束腰大小为1 cm),但是小于最佳LG涡旋光束(束腰大小为2.9 mm).这是因为在接收端HB涡旋光束的光斑尺寸小于常见LG涡旋光束,大于最佳LG涡旋光束.因此,在海洋湍流信道中,HB涡旋光束的传输性能优于常见LG涡旋光束,差于最佳LG涡旋光束.

4 结 论

本文研究了在弱湍流海洋环境下,湍流对HB涡旋光束OAM模式探测概率的影响.理论推导了HB涡旋光束经过海洋水平弱湍流信道后的螺旋相位谱的解析表达式.数值计算结果表明海洋湍流明显地造成了发射OAM模式扩展.HB涡旋光束的传输距离越长,海洋湍流带来的负面影响也越来越严重,使得HB涡旋光束在湍流海洋的传输距离被限制在几十米之内;随着OAM模式数、温度方差耗散率和平衡参数的增加以及湍流动能耗散率的减少,湍流效应带来的负面影响也越来越严重,导致HB涡旋光束的探测概率下降.在弱湍流及几十米传输距离条件下,HB涡旋光束的传输性能比最佳束腰大小设置的LG涡旋光束要差.这些结果有望为海洋环境水下光通信链路的实现提供一定的参考价值.

附录A

1)入射光束的最佳束腰尺寸

在自由空间中,束腰大小为w0的入射光束传输至距离z处的光斑大小为[10]

(A1)式中,zR=kw20/2是瑞利距离,k=2π/λ为波数,λ为波长.

要使光束传输至距离z处后光斑尺寸最小,当且仅当时,接收端最小光斑尺寸的表达式为

当波长为532 nm,传输距离为50 m时,入射光束腰大小w0为2.9 mm,此时,接收端得到最小光斑尺寸为4.1 mm.

2)接收端HB和LG涡旋光束光斑尺寸对比分析

通过原文(13)式分析得到,根据OAM模式探测概率密度⟨|al0(ρ,z)|2⟩能够推断光束的能量分布特性,能量最集中处即⟨|al0(ρ,z)|2⟩取最大值处.为了对比分析HB涡旋光束、常见(束腰大小为1 cm)和最佳(束腰大小为2.9 mm)LG涡旋光束的光斑尺寸,对OAM模式探测概率密度⟨|al0(ρ,z)|2⟩进行了数值计算.图A1描述的是各涡旋光束沿径向ρ的探测概率密度归一化曲线.其中设置温度方差耗散率χT为10−7K2/s,湍流动能耗散率ε为10−3m2/s3,平衡参数τ为−4,传输距离为50 m.

从图A1(a)可以看出,与常见LG涡旋光束相比,HB涡旋光束的主瓣更窄,能量更集中,HB涡旋光束的⟨|al0(ρ,z)|2⟩最大值处的位置更靠近ρ=0,因此,HB涡旋光束的能量扩散程度小于常见LG涡旋光束,并且光斑尺寸要小于常见LG涡旋光束[15].从图A1(b)可以看出,最佳LG涡旋光束的主瓣明显比常见LG涡旋光束的主瓣更窄,并且最佳LG涡旋光束的⟨|al0(ρ,z)|2⟩最大值处的位置靠近ρ=0,即最佳LG涡旋光束的光斑尺寸要小于HB涡旋光束[15].

图A1 OAM模式探测概率密度沿径向ρ的归一化曲线(a)w0=1 cm;(b)w0=2.9 mmFig.A1.The normalization curve of OAM mode detection probability density againstρ:(a)w0=1 cm;(b)w0=2.9 mm.

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