邰文星，丁建江，刘宇驰，赵志强

（1.空军预警学院，武汉 430019；2.空军装备部，北京 100034）

0 引言

D-S证据理论［1-2］自20世纪60年代提出以来，凭借其能够很好地表达“不确定性”和“未知”等认知科学上重要概念的优点，为处理不确定信息提供了一种行之有效的方法［3-4］，并在目标识别、信息融合与决策分析等领域得到了广泛的应用［5-8］。尽管它提供了一个非常有用的证据合成规则，但当证据源高度冲突时，经典D-S合成规则却无法使用或得出有悖于常理的结论。为此，国内外学者基于不同的观点和理论，提出了不少行之有效的改进方法。总的来看，相关的改进方法可以分为两大类［9］：一类是基于对证据源的修正，另一类是基于对合成规则的修正。

但遗憾的是，这些方法多是以目标识别为背景提出的，在评估问题中的应用效果并不理想。一方面，评估问题中的证据即评估指标不存在不可靠的问题，因而对其修正反而会增加不确定性，破坏聚焦能力。另一方面，评估问题中指标的地位即重要程度是不同的，关键指标的主导地位不可动摇。然而可惜的是，基于修正合成规则的诸多方法却并没有充分考虑这一点。为此，本文提出了一种新的合成规则改进方法，即通过证据权重和可信度的对比与融合来确定冲突概率的全局分配系数。实例分析证明，新的合成方法提高了证据合成的可靠性和合理性，促进了证据理论在模糊评估中的应用。

1 D-S证据理论与模糊评估

根据证据理论的相关概念，Θ表示全部可能评估结果X的一个论域集合，且Θ中的全部元素都是互不相容的，则称Θ为X的识别框架。例如：对武器装备作战能力等级的评估，识别框架，对于这个问题的任何结论都是Θ的一个子集。

定义1设Θ为一识别框架，如果函数（2Θ为Θ的所有子集）满足：

式中，m（A）称为事件A的基本概率赋值函数，表示证据对A的信任程度。

根据以上的定义可知，对于一个模糊评估问题，模糊评判集即为识别框架Θ，而其中等级v1对评判集V的隶属度U（v1）满足基本概率赋值函数的定义。

定义2假定识别框架Θ下的两个证据E1和E2，其相应的基本概率赋值函数为m1和m2，焦元分别为Ai和Bj，则根据经典D-S合成规则有：

式中，K为冲突系数，且有，它反映了各个证据之间的冲突程度。

定义3设是同一识别框架Θ下的等n个证据所对应的基本概率赋值函数，焦元分别为，则根据经典D-S合成规则有：

式中，。

根据以上定义可知，对于多指标融合模糊评估问题，证据Ei即代表评估指标Ci。在求解出各指标Ci对V的隶属度后，可通过式（2）或式（3）对各指标的评判结果进行融合。

2D-S合成公式及现有改进方法的不足

尽管D-S证据理论提供了一个非常有用的证据合成规则，但当证据源高度冲突时（即K→1）时，经典D-S合成规则将无法使用或得出有悖于常理的结论。

设识别框架，两个证据的基本概率赋值如下：

由D-S合成规则得到：K=0.99，。尽管命题A和C在两个证据中都有很高的概率赋值，但合成结果却为在两个证据中概率赋值都很低的命题B，这显然有悖于常理。

为了克服这一问题，国内外学者提出了一系列改进的方法。总结起来，可以概括为两大类：一类是基于修改D-S组合规则的方法［10-13］，主要侧重于冲突的重新分配和管理；另一类是基于修改原始证据源的方法，即先对冲突证据进行预处理，再采用证据组合规则进行融合。尽管这两类改进方法都可以处理高度冲突证据，但在评估问题中的应用效果并不理想。

对于证据源修正的方法，由于评估问题中的证据即评估指标是经过严格分析或计算后得出的，其可靠性不同于传感器系统，不存在故障或随机误差。因此，对证据源的修正不仅不能增加组合的可靠性，反而会破坏证据的确定性，降低多指标融合的聚焦能力。

对于修正证据合成规则的方法，无论是基于冲突概率的全局分配，还是局部分配，分配系数的确定往往仅考虑证据之间冲突的大小，而没有考虑证据本身即指标在评估中的重要程度，导致融合结果有悖于常理。

以某型武器装备的进攻作战能力模糊评估问题为例，设模糊评判集为，对应的识别框架为，从火力打击能力（E1）、机动能力（E2）和防护能力（E3）3 个方面对某装备进行评估可得：

由于K=1，证据高度冲突，经典D-S合成规则无法使用。应用文献［12］中的方法可得融合结果为：

以最大隶属度来判别，该装备的作战能力等级为A即较强，这显然与实际情况相悖。因为进攻作战中，火力打击能力始终是第一位的，其主导地位不能被动摇。但在本次评估中，机动能力和防护能力的突出表现却抢占了关键指标的主导地位，并在冲突概率的分配中获得了更高的份额，进而使一个火力打击能力较弱装备的进攻作战能力判定为较强。试想，若以此为依据选取进攻装备，必将导致作战中的火力打击能力严重不足，无法对敌方的防御工事和有生力量造成足够的威胁和破坏。

由此可见，必须对现有的改进方法做进一步的拓展，加入对指标权重的充分考虑。

3 改进的D-S证据合成公式

根据之前的分析，基于证据源修正的改进方法并不适合评估问题，所以应当从证据合成方法的修正上入手。基于修正合成规则的方法认为：改进证据理论的关键是冲突的管理，即冲突的重新分配问题，进而演化出两种不同的观点：一种是将冲突概率进行全局分配，另一种是将冲突概率局部分配。由于评估指标的权重是站在指标体系全局的角度确定的，因此，采取冲突概率全局分配的观点较为合理。

基于冲突全局分配方法中最具代表性的是Lefever等提出的统一信度函数组合方法［14］：

式中，为识别框架；K为D-S合成规则中定义的全局冲突系数；为K的分配权重且满足，它决定了分配给各个命题的证据冲突概率的大小。

在此类方法中，的确定是核心。文献［10］认为冲突带来的完全是不确定性，因此，将冲突全部分配给了识别框架Θ，而不是Θ的子集。尽管该方法可以合成高度冲突证据，但对冲突证据的完全否定，导致其具有一票否决的特点，并且在证据源多于两个时，合成效果不理想。在Yager合成公式的基础上，文献［11］认为即使证据之间存在冲突，它们也是部分可用的，其可用程度取决于证据的可信度ε，并基于此提出了新的证据合成公式。文献［12］同样认为冲突证据也是可用的，且证据冲突概率的分配应该基于证据与各命题的平均支持度来分配，进而提出了一种改进的证据合成方法。在此基础上，文献［13］进一步认为证据冲突概率的分配应该考虑证据之间的相关性，并提出了一种基于可信度crd（Ei）加权平均的证据合成方法。

综合以上方法的优缺点，结合评估问题实际，本文认为：在冲突概率的分配中，应当保证指标的地位不被证据的可信度所剧烈地改变，即关键指标的地位不能因可信度而剧烈地降低，非关键指标的地位也不能因可信度而剧烈地提升。为此，应当以指标的权重为杠杆，对可信度的话语权进行调整和限制。

基于以上观点，本文对文献［14］中的合成公式进行改进，如下：

其中，K仍为冲突系数，wi为证据Ei即指标Ci的权重，crd（Ei）为证据Ei的可信度。证据分配权重δi的具体计算步骤为：

第1步：求各证据即指标的可信度crd（Ei）

设E1和E2是识别框架下的两个证据，m1和m2分别为其相应的基本概率赋值函数，焦元分别为Ai和Bj，则证据E1和E2间的相似系数可以表示为［15］：

相似系数d12用来表示证据间的相似程度，且有。d12的值越大，表明证据间的相似程度越高，确定性越好。当d12=1时，表示证据E1和E2是完全相同的；当d12=0时，表示证据E1和E2是完全冲突的。

若系统收集了等n个证据，则应用式（6）可以分别计算出两两证据间的相似系数dij，并将其表示为一个相似矩阵的形式：

将该矩阵的每行相加，可得到各证据对证据Ei的支持度为：

若Sup（Ei）的值越大，则说明证据Ei与其他证据的相似程度越高，它们相互支持的程度越高；相反，若Sup（Ei）的值越小，则说明证据Ei与其他证据的相似程度越低，它们互相支持的程度也越低。

将证据的支持度归一化，即可得到证据Ei的可信度为：

第2步：求可用度

4 实例分析

仍以之前某型武器装备的进攻作战能力模糊评估问题为例，设火力打击能力（E1）、机动能力（E2）和防护能力（E3）3个指标的权重分别为0.6、0.2和0.2，于是有：

为了对比验证本文提出的改进证据合成方法的有效性与合理性，分别采用现有的证据合成改进方法和本文提出的方法对以上数据进行融合，相关结果如表1所示。

表1 各合成方法评估结果

由表1可以看出，Yager合成公式将冲突概率全部赋予了未知项，导致无法给出有效的融合结果；文献［11］提供的方法尽管克服了证据高度冲突带来的影响，但融合后各命题的概率赋值偏低，未知项的比重较高，融合后的聚焦度不足；文献［12-13］基于冲突概率全局分配的观点，尽管获得了更好的融合效果，但融合结果脱离了评估问题的实际，容易误导决策者。而本文提出的方法在克服证据高度冲突影响的基础上，紧贴评估问题的实际，为决策者提供了更加客观、合理的信息。

表2 各合成方法中的分配权重

如表2所示，文献［11-12］的观点一致，认为所有证据在合成时的重要程度都是一样的，因而在冲突分配中占据的比重是相同的，这显然不符合评估问题的应用实际。

尽管文献［13］认为证据在合成时的重要程度是不同的，但却片面地认为证据的重要程度取决于其可信度即被其他证据所支持的程度。不可否认，这种少数服从多数的观点在多传感器系统中是可取的，因为所有传感器的地位是相同的，采纳多数一致的意见是合理的。但在评估问题中，这种观点是有风险的。

一方面，评估活动有着明确的目标，而不同指标对总目标的贡献程度是不同的，所以指标的相对重要性是不同的［16］。另一方面，评估活动具有较强的针对性，因而指标之间的相对重要性必须是稳固的，即不能做根本上的改变。破坏了以上两点，就会偏离评估的目标和侧重点。

以证据的可信度为依据确定冲突概率分配权重，其实质是：以可信度重构指标的重要性，孤立表现或意见不一致的指标，并弱化其话语权。例如本次评估中的关键指标E1（火力打击能力），其指标权重为最高的0.6，但由于同其他指标的意见不一致，最终在冲突概率的分配中只获得0.2232的最低权重，而其他两个一般性指标却得到了更高的0.3847和0.3921的分配权重。显然，证据可信度破坏了指标间的相对重要性，导致相关结果必然是背离既定评估目标和侧重点的。

而本文提出的方法，在听取多数一致意见的基础上，维持了指标间相对重要性的稳定，使融合结果更加客观与合理，并且提供了更多的辅助决策信息。

首先，关键性指标的表现能够得到足够重视，使得融合结果中含有警示信息，有利于降低决策风险。例如，当某装备的性能出现以下极端情况时：

各合成方法得出的结果如表3所示。

表3 极端情况时的评估结果

可以看出，所有方法都不约而同地偏向于较强。但是，结合较弱的概率赋值，可以发现各方法偏向于较强的程度是不同的。

表4 各方法中较强与较弱的概率赋值之比

如表4所示，对比各方法中较强与较弱概率赋值的比值，可以发现：文献［11-12］是明显地偏向较强，文献［13］则是强烈地偏向，而本文是轻微的甚至是带有怀疑的。偏向程度不同的背后，其实是对关键性指标极端低迷表现的不同态度，其他方法几乎是默许或忽视的，这是激进和冒险的。而本文则对其给予了足够的重视，并在融合结果中予以了体现，以警示决策者不能草率地做出较强的结论。

其次，冲突概率分配权重能够为装备的改进提供依据和建议。一方面，对比指标权重与其冲突概率分配权重，可以快速确定出表现“合群”与“不合群”的指标。另一方面，对于关键性指标，当其表现低迷时，必须进行改进和提升，当其表现优秀时，保持原状即可；对于一般性指标，当其“合群”且表现低迷时，必须进行改进和提升，其他情况下，均可维持原状。

5 结论

本文在综合现有方法优点的基础上，提出了一种更适用于模糊评估问题的证据合成方法，即通过指标权重和证据可信度的融合来确定冲突概率的全局分配系数。实例分析的结果表明，新的证据合成方法不仅能够有效处理高度冲突证据，还能紧贴评估问题实际，给出更加客观、合理和有建设性意见的融合结果，从而降低决策风险。

［1］DEMPSTER A P.Upper and lower probabilities induced by a multivalued mapping ［J］.Annals of Mathematic Statistics，1967，38（2）：325-389.

［2］SHAFER G.A mathematical theory of evidence［M］.Princeton：Princeton University Press，1976：19-63.

［3］叶青，吴晓平，宋业新.基于权重系数与冲突概率重新分配的证据合成方法［J］.系统工程与电子技术，2006，28（7）：1014-1016.

［4］郭建全，赵伟，黄松岭.一种改进的D-S证据合成规则［J］.系统工程与电子技术，2009，31（3）：606-609.

［5］ACHARYA S，KAM M.Evidence combination for hard and soft sensor data fusion［C］//Proc.of the 14th International Conference on Information Fusion，2011：1-8.

［6］MERIGO J M，CASANOVAS M.Induced aggregation operators in decision making with the dempster-shafer belief structure ［J］.International Journal of Intelligent System，2009，24（8）：934-954.

［7］BASU S，SARKAR R，DAS N，et al.Handwritten bangla digit recognitionusingclassifiercombinationthroughDStechniques［C］//Proc.of the International Conference on Patten RecognitionandMachineIntelligence，2005，3776：236-241.

［8］朱友清，周石琳，周焕新.基于相容系数的冲突证据合成方法及评价准则［J］.系统工程与电子技术，2014，36（6）:1118-1123.

［9］郭华伟，施文康，刘清坤，等.一种新的证据合成规则［J］.上海交通大学学报，2006，40（11）:1895-1900.

［10］YAGER P R.On the dempster-shafer framework and new combination rules［J］.Information Science，1989，41（2）：93-137.

［11］孙全，叶秀清，顾康伟.一种新的基于证据理论的合成公式［J］.电子学报，2000，28（8）：117-119.

［12］李弼程，王波，魏俊，等.一种有效的证据理论合成公式［J］.数据采集与处理，2002，17（1）：33-36.

［13］潘光，吴琳丽.一种的改进的D-S证据合成方法及其应用［J］.系统工程，2014，32（5）：150-153.

［14］LEFEVRE E，COLOT O，VANNOORENBERGHE P.Belief functions combination and conflict management［J］.Information Fusion，2002，3（2）：149-162

［15］袁志发，宋世德，等.多元统计分析［M］.北京：科学出版社，2011:278-293.

［16］马亚龙，邵秋峰，孙明，等.评估理论和方法及其军事应用［M］.北京：国防工业出版社，2013:2-4.