（江苏省淮阴中学开明校区）

近日，笔者所在的江苏省淮阴中学教育集团进行了一场九年级阶段性测试，作为数学阅卷负责人，笔者对试卷的最后一道压轴题思考颇多，现将思考过程与各位同仁交流如下.

一、题目再现

题目如图1，在△ABC中，AB=5，AC=9，动点P从点A出发，沿射线AB方向以每秒5个单位的速度运动，动点Q从点C出发，以相同的速度在线段AC上由C向A运动，当点Q运动到点A时，点P，Q同时停止运动.以PQ为边作正方形PQEF（点P，Q，E，F按逆时针排序），以CQ为边在AC上方作正方形QCGH，设点P运动的时间为t．

（1）求tanA的值；

（2）当△APQ为等腰三角形时，求t的值；

（3）当t为何值时，正方形PQEF的顶点F落在正方形QCGH的边上，直接写出t的值.

图1

题目提供的参考答案非常简洁，第（1）（2）小题自然无需研究，关键是第（3）小题，答案是怎么得到的？

二、解决问题

凭借几何画板软件的演示效果，以及空间想象，我们确定点F落在正方形QCGH的边上只有两种情况.

情况1：如图2，当点F落在边HG上时，

图2

作PM⊥AC于点M，交GH的延长线于点N.

因为AP=CQ=5t，

所以PM=3t，AM=4t.

则MQ=9-9t.

由△PMQ≌△FNP，

得PN=9-9t.

因为MN=HQ=QC，

所以9-9t+3t=5t.

解得

情况2：如图3，当点F落在边GC上时，

作PM⊥AC于点M，过点P作TN⊥GC于点N.

因为AP=CQ=5t，

所以PM=3t，AM=4t.

则QM=9t-9.

由△QTP≌△PNF，

得PN=PM=3t.

因为TN=QC，

所以9t-9+3t=5t.

解得

因为

所以

上述问题似乎得到圆满解决，可是仔细想想，问题很多.

图3

三、思考之路

1.如何分类

因为正方形QCGH有4条边，所以点F落在正方形QCGH的边上应该分为四类：点F落在边QH上；点F落在边HG上；点F落在边GC上；点F落在边CQ上.另外两类为什么不考虑？学生在考试中不能利用几何画板软件，空间想象力又达不到，该怎么办？当然，计算是最有说服力的方……