梁巨平，周 韬，周 浩

(北京航空航天大学 宇航学院， 北京 100191)

升力式再入飞行器的可达区域指的是飞行器能够到达的着陆点的分布范围。可达区域的计算一方面在飞行器前期的设计中能够对飞行器的飞行能力和机动范围进行分析以及为飞行器的任务规划提供关键信息，另一方面当飞行器在飞行过程中出现突发故障而不能维持标称状态飞行时能够为飞行器备选着陆点提供重要依据。所以，对于升力式再入飞行器的可达区域的计算与分析有着十分重要的意义。

国外在这一方面的相关研究开展比较早，文献[1]通过坐标变换，将该问题转变成一系列简单的不定纵程情况下的最大横程求解的问题，然后使用参数搜索方法求解，但是该方法没有考虑路径约束。文献[2]使用伪谱法直接进行弹道优化计算生成飞行器的可达区域。文献[3]基于加速度剖面的轨迹规划的方法建立了一种接近实时生成的可达区域计算方法，该方法考虑了路径约束和科里奥利力的影响。文献[4]使用了一种基于准平衡滑翔条件的闭环近似最优倾侧角控制算法，推导出一种飞行器的可达区域快速生成方法。国内学者在这方面也进行了相关的研究。文献[5]使用高斯伪谱法进行轨迹优化，通过优化几种极限情况下的轨迹，并将优化得到的轨迹的终点用直线连接，得到一个多边形的近似的可达区域。文献[6]将该问题转换成满足各种再入约束条件下的轨迹优化问题，使用序列-修复算法对最大纵程、最大横程、最小纵程以及一定纵程情况下的最大横程的一系列轨迹进行优化，然后将这些轨迹的终点连起来构成近似的可达区域。此外，在再入段平稳滑翔方面也有相关的研究成果。文献[7]计算了给定倾侧角和攻角曲线的平衡滑翔指令弹道倾角，并将弹道倾角作为负反馈信号抑制再入轨迹的振荡。文献[8]提出了平稳滑翔弹道的概念，给出了一种快速生成平稳滑翔弹道的方法。文献[9]给出了一种新的平稳滑翔动力学模型，基于该模型和伪谱法进行了平稳滑翔弹道优化方面的研究。

本文将平稳滑翔策略应用到再入段的可达区域的计算中，并将可达区域的计算问题看成是一系列的再入轨迹优化问题，提出一种能够保证再入过程平稳滑翔的控制量优化策略，即在控制量上增加弹道倾角的反馈项抑制再入轨迹的震荡。首先建立了升力式再入飞行器的运动模型以及各类轨迹的优化模型，然后给出了控制量的设计方案，用遗传算法解轨迹优化问题，最后通过仿真计算给出了相应的仿真结果，并进行了分析。

1 问题的描述

1.1 升力式再入飞行器的运动学模型

不考虑地球的自旋和扁率的影响，再入飞行器的三自由度再入段运动学模型如下：

(1)

式(1)中：v、θ、ψ、r、λ和φ分别表示速度、弹道倾角、航向角、飞行器质心到地心的距离、地心经度和地心纬度；m是飞行器质量，g=μ/r2是重力加速度，其中μ是地球的引力常量，σ为倾侧角。L和D分别表示升力和阻力，其表达式如下：

(2)

其中，ρ=ρ0e(-h/H)为大气密度，ρ0是海平面处的大气密度，H是一个大气常量；Sref代表的是飞行器的参考面积；CL、CD分别是升力和阻力系数，它们是马赫数和攻角的函数。

1.2 可达区域计算的轨迹优化模型

不同优化情况的性能指标取法如下：

当求取最大纵程时

Jmax=Ld

(3)

当求取最小纵程时

Jmax=-Ld

(4)

当求取右侧最大横程时

Jmax=Lc

(5)

当求取左侧最大横程时

Jmax=-Lc

(6)

其中，Ld和Lc分别表示飞行器的纵程和横程,且总有Ld>0，当飞行器向着初始目标平面的右侧偏转时Lc为正，反之为负。

参考文献[10]中的方法，攻角选取为给定的攻角剖面，这样动力学系统中就只有倾侧角这一个控制量，将倾侧角选为优化变量，只对倾侧角进行优化。攻角参考剖面设定为攻角随速度变化，设计攻角曲线为速度的分段函数，α=f(v)的表达式如下：

(7)

其中，k=(40°-14°)/(vf-4 570)2，vf为终端速度。

选取倾侧角σ方案为时间的分段常值函数，它由三段构成，即将整个飞行过程分成3段，每一段的时间长度不定，时间总和为整个飞行过程的时间。所以具体的优化变量如下

u=(σ1,σ2,σ3,t1,t2)

(8)

其中σ1～σ3为3个离散的倾侧角的值，t1,t2分别为对应的σ1,σ2每一段的持续时间。

过程约束，包括热流、动压和法向过载约束，如下所示

(9)

q=0.5ρv2≤qmax

(10)

ny=(Lcosα+Dsinα)/mg≤nymax

(11)

末端约束，包括高度约束和速度约束，

hf=Hf

(12)

vf=Vf

(13)

其中Hf、Vf分别为再入段末端的飞行高度和飞行速度的约束值。

倾侧角σ的约束为：

|σ|≤70°

(14)

当求取固定纵程Ld0处的左右最大横程时，应加入纵程固定的约束如下：

Ld=Ld0

(15)

以上关于热流、过载、动压、末端速度以及纵程固定的约束均通过罚函数的形式加入到性能指标中。

2 基于平稳滑翔的控制方案设计

2.1 倾侧角设计

倾侧角的幅值大小影响飞行器的纵向运动能力，而符号的变化影响飞行器的横向运动能力，所以通过调节倾侧角可以控制纵向射程与横向射程。

本文采用的倾侧角σ的幅值由两部分组成，一部分是时间的分段常值函数σ0，该部分由数值优化得到；另一部分则是弹道倾角的反馈项kθ(θ-θ*)，这一项是为了使弹道不跳起，从而使飞行器能够平稳飞行而加入的弹道阻尼项。并且对的σ幅值的大小进行限制，最后可以得到倾侧角的幅值的表达式如下

(16)

其中:kθ为反馈系数;θ为实际弹道上的弹道倾角值;θ*叫做指令弹道倾角，它是在控制变量σ=σ0时，由准平衡滑翔条件决定的弹道倾角。而倾侧角σ的符号则与σ0相同，设为函数sign(σ)，所以倾侧角σ最终的表达式如下：

σ=sign(σ)×|σ|(单位：°)

(17)

2.2 指令弹道倾角θ*求解

指令弹道倾角θ*的表达式可由下面的准平衡滑翔条件推导得到：

(18)

其中：CL是升力系数，它是攻角的函数，而由前文给出的攻角剖面可知，攻角是速度的函数，所以已知速度就可求出CL；ρ，g分别是大气密度和重力加速度，他们都是高度h的函数。将上式(18)对时间求导可得到下式[7]：

(19)

由于重力加速度相对于高度的导数dg/dh以及指令弹道倾角相对于时间的导数dθ*/dt都很小，所以可以忽略上式(19)中包含这两个导数的所有项。此外，由于再入飞行器在准平衡滑翔条件下的弹道倾角接近于0，所以可以取 sinθ*≈0，cosθ*≈0。考虑上面两个条件，并将式(1)中的第一式和第四式，即可得到指令弹道倾角的表达式如下：

(20)

其中D=CD·0.5ρv2S表示阻力，a1、a2、a3、b1、b1的表达式如下所示：

2.3 反馈系数kθ设计

这里取反馈系数kθ为速度的分段函数，其表达式如下：

(21)

由上面的反馈系数kθ与速度的关系表达式可知，在再入轨迹的初始下降段不对弹道施加阻尼，让飞行器以常值倾侧角下降，当飞行器下降到一定位置之后开始对弹道施加较大的阻尼，使飞行器的弹道不会过度跳起，保持比较平稳的飞行，而到了再入轨迹的末端则只需要施加一个较小的阻尼就可保证弹道不再跳起。

综上，根据式(20)和式(21)可知，有了v和σ0后即可求出指令弹道倾角以及反馈系数kθ，然后将它们代入式(16)中求出加了弹道阻尼项的倾侧角的幅值，然后再代入式(17)求出加了弹道阻尼后的倾侧角的值。

3 仿真分析

本文选用的飞行器模型为X-33，仿真的初始条件为：初始高度为120 km，初始速度为7 500 m/s，初始弹道倾角为 -1°，初始航向角为90°，初始经纬度为(0°，0°)。要求的终端高度和终端速度分别为25 km和750 m/s，要求的过程约束值为驻点热流密度小于700 W/cm2，动压小于27.459 kPa，法向过载小于3.0g(g为重力加速度)。结合飞行器的总体参数，采用运动模型式(1)和1.2节中的轨迹优化模型以及2.1节中加入弹道阻尼的倾侧角方案，然后使用遗传算法[11]进行优化。

首先，对最大纵程情况下，有无考虑平稳滑翔弹道阻尼项的优化结果进行对比，优化结果如图1～图4。由图1～图4可知，在控制量上加入平稳滑翔阻尼项后，飞行器在飞行过程中的高度变化以及弹道倾角变化更加平稳，同时飞行过程中最大驻点热流有所降低。

然后，参考文献[6]中的可达区域的计算步骤，进行不同情况下的多次轨迹优化，最终得到飞行器再入段的可达区域结果如图5～图7所示。

从图5～图7可以看出，所有优化得到的再入轨迹均满足法向过载约束、动压约束以及热流约束。由图8可看出，除了有几条弹道在初始下降段之后有一点跳跃外，各条弹道基本上没有跳跃，飞行比较平稳。由图9可以得到具体可达区域的优化结果为：飞行器再入段的最大纵程为7 672 km，其对应的横程为-0.07 km；最小纵程为3 543 km，其对应的横程为±850.5 km；横程为零时的最小纵程为4 253 km；左侧最大横程为-1 385 km，其对应的纵程为5 108 km；右侧最大横程为1 383 km，其对应的纵程为4 901 km； 分别取固定纵程4 400 km、5 600 km、6 300 km、6 900 km时，其对应的左侧和右侧最大横程结果如图9所示。由图9可知，X-33飞行器模型的再入段的纵程跨度为4 129 km，横程跨度为2 768 km。由于没有考虑地球自转和地球扁率的影响，得到的覆盖范围近似左右对称。

4 结论

本文研究了再入飞行器在满足各种再入约束条件下的最大纵程、最大横程、最小纵程以及固定纵程下最大横程的轨迹优化问题，即再入段可达区域的计算分析问题。提出了一种能够保证再入过程平稳滑翔的控制量优化策略，即通过准平衡滑翔条件求取指令弹道倾角，然后将弹道倾角与指令弹道倾角的反馈项添加到控制量上，从而抑制再入轨迹的跳跃。仿真验证结果表明：该方法能够很好的抑制再入轨迹的跳跃，使飞行器再入段的高度变化平稳，有助于降低飞行器的最大热流密度。本文采用的计算可达区域的方法与现有的各种方法相比，考虑了再入轨迹的平稳滑翔的要求，得到的是平稳滑翔再入轨迹情况下的一个可达区域，能够为平稳滑翔再入飞行器着陆场的选取和初期的轨迹设计提供关键信息。

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