黄述亮

（滁州学院 数学与金融学院，安徽 滁州 239000）

线性代数在自然科学和社会科学的等众多领域（如计算机辅助设计、软件工程、数字信号处理等）中有着广泛的应用，其中包含的矩阵思想和方法是处理很多数学问题的重要工具。线性代数的主要研究内容基本上可以归结为矩阵问题，涉及到的主要运算是矩阵的初等变换。将集合按照一定的规则进行分类是集合论中的一种常用方法，而等价关系对于集合的分类起着重要的作用。同时，等价关系是进一步学习相关数学课程（如抽象代数）的基础，不少学者在这方面做了探讨，得到了很多结果[1-5]。特别需要指出，智婕[6]利用非常直观的形式展示了利用等价矩阵求逆矩阵、相似矩阵求Jordan标准形、合同矩阵化二次型标准形时的作用。总之，等价矩阵、相似矩阵及合同矩阵这三个概念非常重要，在学习线性代数的过程中出现的频率很高，并且和许多问题有内在联系。文章将深入挖掘三者之间的关系，这将有助于加深对相关问题的理解和把握。

1 等价关系与集合的分类

在集合论中，假设集合A≠Ø，则称A×A的一个子集R为A的一个二元关系，它可以用来判断集合的元素之间是否具有某种性质。特别的，条件更强且更重要的的二元关系是所谓的等价关系，它要求具备自反性、对称性和传递性三个条件。集合的分类是数学中一个非常重要的概念，如果蕴含 Ai∩ Aj=Ø，那么子集族称为A的一个分类，其中I为指标集。在给定集合的一个分类后，每一个子集Ai（i∈I）都是A的一个类，关键的一个问题就是类中代表元的选择。事实上，类里的任意一个元素都可以充当代表元，而且同一类中的不同代表元有相同的属性，具体问题中往往选择结构最简单的元素作为代表元。

众所周知，集合的分类和集合上的等价关系之间有内在联系，有下面的结果：

定理1.1[7]给定集合A的一个分类规定aRb⇔a，b在同一个类，则R是A上的一个等价关系。

定理1.2[7]设R是A上的一个等价关系，令[a]=，其中 a∈ A，则就给出集合A的一个分类。

2 矩阵间的三种等价关系与分类

考虑某个数域F上全体n阶方阵组成的集合Mn（F），对于A，B∈Mn（F），按照下面方式规定二元关系：

这里P，Q是可逆矩阵。

经过验证发现，上面给出的三个二元关系都是等价关系，因此可以对全体矩阵进行分类。

首先，从矩阵等价的概念中可以直接看出，等价的矩阵必然同秩，反之也成立。于是，在矩阵等价意义下，按照矩阵秩的大小，全体n阶矩阵Mn（F）可以被分成n+1个互不相交的子集的并集：

这样，从每个类中可以选择一个结构最简单的矩阵做为代表元。由此可以看出，矩阵的秩在矩阵的等价关系下是一个常量。

所有患者都满足中医的中风诊断要求以及西医的脑出血、脑梗塞诊断要求[2,3]。入选条件:(1)年龄35~75岁;(2)病程不足半年;(3)初次发病,且伴有单侧偏瘫;(4)主动治疗,自愿参与本研究。排除条件:伴有心肌梗死、严重肝肾功不全、重度感染、凝血功能障碍、意识障碍等患者。

其次，矩阵 A，B∈Mn（F）相似需要很强的限制条件，但是可以通过它们对应的λ矩阵等价来刻画：两个矩阵A和B是否相似的问题就转化成为验证是否有相同的不变因子。用抽象的线性空间（或者说线性变换）的语言来说就是：同一个线性变换在空间中两组不同基下对应的矩阵相似。显而易见，按照矩阵的相似关系可以把全体n阶复矩阵进行分类，总共有无穷多个等价类。这里指出，不变因子组在矩阵相似下是一个不变量。

最后，对于矩阵之间的合同，可以分成实数域和复数域两种情形来考虑。如果在复数域上讨论矩阵的分类，显然两个矩阵合同等价于它们有相同的秩，从而分类和矩阵等价的分类一致。如果在实数域上讨论该问题，可以按照矩阵的秩r和正惯性指数p两个指标来分类：

此时，全体实n阶矩阵分类如下：

由此可以看出，矩阵在合同下的不变量有两个，我们可以选择秩r、正惯性指数p、负惯性指数q和符号差p-q中的任意两个指标对全体实矩阵进行分类。

3 三者之间的关系

从上面的定义中可以看出，等价矩阵、合同矩阵、相似矩阵都可以保持矩阵的可逆性不变，并且它们之间具有一定的区别和联系。显然，矩阵的合同与相似是矩阵等价的特殊情形：假如两个矩阵合同或者相似，那么一定等价，反之不然；矩阵的等价在上述三个关系中条件最弱；矩阵的相似和合同之间没有必然的联系，但是当定义中出现的可逆矩阵恰好是一个正交矩阵时，矩阵的相似和合同就变成了同一个概念。借助于初等矩阵，上面三种关系可以描述如下：

A 与 B 等价，则有初等矩阵 P1，P2，…，Ps，Q1，Q2，…，Qs使 B=PsPs-1… P1A Q1Q2… Qt，根据初等矩阵和初等变换的对应定理[8]，上式表明对矩阵A做若干次初等行变换和列变换，而对于变换的方式没有任何要求。

A与B相似，则有初等矩阵P1，P2，…，Ps使B=PsPs-1…P1AP1-1P2-1…Ps-1，这要求对矩阵做行列变换的次数相同，而且变换方式是同种类型。

由此得到一个结论，上面关于矩阵的三个关系本质上都是矩阵之间的初等变换，只是变换的方式有些不同。此外，三者之间的关系可以用数学中著名的Venn图描绘如下：

图1 矩阵合同、相似、等价三者之间关系图Figure 1 Relationship between matrix contract,similarity and equivalence

下面是几个概念之间不能互推时的一些反例。

例3.1 设则B=PTAP，因此 A 与 B 合同，显而易见，Tr（A）=1+3≠ 1+2=Tr（B），从而 A 与 B 不相似。

例3.2 设则B=P-1AP，即A与B相似。如果A与B合同，则B=得到矛盾等式

例3.3 设则这说明A与B等价。如果A与B合同，则B=QTAQ，令得到矛盾关系式：ab+cd=0，ab+cd=1。

例3.4 设则，该式说明A与B等价。如果A与B相似，则有可逆矩阵Q，使得B=Q-1AQ=Q-1EQ=E=A，这与题设矛盾。

4 应用举例

下面的例子表明矩阵的等价、相似和合同在证明相关问题时发挥着重要作用。

例4.1 设 A是m×s矩阵，B是 s×n矩阵，证明r（AB）≥ r（A ）+r（B）-s。

证明：令 r（A ）=p，r（B）=q，则有可逆矩阵 P1，P2，Q1，Q2使得从而令则C是s阶可逆矩阵，于是由于矩阵P1和Q2均可逆，故等价，必然同秩。经过比较可以看出，矩阵C1是从矩阵C中去掉s-p个行和 s-q 个列得到，于是 r（AB）=r（C1）≥ s-（s-p）-（sq）=p+q-s。

例4.2 设A和B为n阶方阵，证明：A与B相似⇔A=PQ，B=QP这里P与Q中至少有一个是可逆矩阵。

证明：（必要性）如果A和B相似，那么存在可逆阵 P，满足 B=P-1AP。记 P-1A=Q，则 A=PQ，B=QP。

（充分性）如果A=PQ，B=QP，其中P为可逆矩阵，那么Q=P-1AP，于是B=P-1AP，即A与B相似。

例4.3 设A和B都是n阶实对称矩阵，证明：如果A和B相似，则A和B合同。

证明：因为A和B相似，根据相似矩阵的性质，它们具有相同的特征值。假设A和B的全体特征值（重根按照重数计算）分别为 λ1，λ2，… λn。由于 A 和 B 都是实对称矩阵，因此有正交矩阵Q1和Q2使，其中

于是这里是可逆矩阵，即A与B合同。

[1]郭增晓.用等价关系对矩阵进行分类[J].石家庄大学学报，2000，12(2)：23-24.

[2]谢晓华.矩阵的等价关系与分类 [J].科技视界，2014，(21)：196-196.

[3]王晓玲，侯建文.矩阵三种关系间的联系[J].山西农业大学学报，2004，24(2)：189-190.

[4]胡婷.论矩阵的三种等价关系[J].科教导刊，2012(32)：255-256.

[5]孙晓霞.论等价关系在线性代数学习中的重要性[J].教育教学论坛，2016(5)：172-173.

[6]智婕.矩阵等价、相似、合同的联系[J].牡丹江师范学院学报，2011，76(3)：76-77.

[7]朱平天，李伯葓，邹园.近世代数[M].北京：科学出版社，2001.

[8]谭玉明，王圣祥，黄述亮.线性代数及其应用[M].上海：上海交通大学出版社，2016.