设计辅助齿抑制永磁同步直线电机端部效应

2018-05-29汤廷孝邓益民

机械制造 2018年11期

□ 张弛 □ 汤廷孝 □ 邓益民

宁波大学机械工程与力学学院浙江宁波315211

1 概述

直线电机可以直接将电能转化为机械能并输出直线运动。直线电机的使用，简化了机械传动结构，由于其可靠性好、系统维护简单，故在交通运输、数控加工、物流传送等领域都有应用［1］。永磁同步直线电机具有推力密度大、效率高、控制精度高、响应速度快等特点，在超精度加工领域前景广阔。

然而，永磁同步直线电机也具有一定的局限性，由于直线电机铁心前后端部和永磁体磁场相互作用产生磁阻力，磁阻力带来端部推力和端部法向力，统称为端部效应力。直线电机运动过程中，变化的端部效应力造成直线电机的机械振动，影响电机的工作精度和使用寿命。

针对这种情况，沈阳工业大学的彭斌等［2-3］提出采用端部V型结构的方法，减少磁阻力波动，并取得了较好的效果。一些学者［4-6］提出增加辅助极的方法，减少端部法向力波动，采用有限元法讨论了不同尺寸端部辅助齿的影响，但没有定量的分析。通过计算，推导出端部定位力最小值时，辅助极相关尺寸表达式。汉诺威大学的Jastrzembski等［7］提到在直线电机端齿部制造倒角的方法抑制推力波动。Kim等［8］提出电机端部采用弧形齿的方案，并且通过田口方法进行优化。然而，若此结构应用在初级铁心上，过长的端部弧形齿显然增加了电机的尺寸。朝鲜大学的Kim等［9］分析了阶梯状分布的端部辅助齿结构对端部效应力波动的影响。Jang等［10］从减少直线电机循环电流的角度出发，对电机端部进行结构优化。国内外许多学者通过图解和公式计算对端部力进行了详细的分析，得出端部推力波动可以分解为多个正弦或余弦波，并通过实验进行验证［11-13］。Wu Xiaoyan等［14］通过计算，对电机的整体尺寸进行优化，以减小推力波动、增加电机推力密度为目标，提出一种新型永磁同步电机。

目前，大多数关于直线电机端部效应力波动抑制的研究将端部力产生的波动简化为正弦或余弦波，在此基础上进行初级谐波或多级谐波的削弱［6，12］。但是，这样的方法只能消除端部力波动中所占比例较大的波动，简化的本身也会带来误差。

笔者提出的端部效应力削弱方案，考虑到在永磁同步直线电机实际工作时，由于永磁材料的非线性、铁心磁导的变化等原因［15］，端部效应力表现为类正弦（余弦）形式［13，16-17］，提出端部添加多齿结构辅助齿来抑制力的波动。该方案具有很强的实用性，适用于多种永磁同步直线电机，且避免了大量的理论计算，结构简单，便于加工。

2 端部效应力的数学建模

2.1 端部推力的分析

永磁同步直线电机的永磁体按照一定规律排列，在不同位置磁场分布存在差异，磁感线以极距τ为直径或长轴，在平面上围成圆或椭圆，如图1所示，永磁体上的箭头表示永磁体的充磁方向，动子铁心在运动过程中，其端部所受磁阻力呈现周期性波动，且铁心前后端推力的周期、振幅相同，方向相反。按照动子铁心的移动方向，铁心前端受力为正方向，后端为负方向，铁心后端的推力总是阻碍电机的移动。

▲图1 直线电机磁通示意图

沿着电机移动方向，直线电机前端所受端部推力可以用傅里叶级数表示为［11］：

式中：F0为基准力；Fsn为sin函数表达的曲线波动力；Fcn为cos函数表达的曲线波动力；x为位移；Ft+为前端端部推力；Ft-为后端端部推力。

Δ=L-kτ，L为永磁同步直线电机的轴向长度，即动子铁心的长度，k为整数，τ为极距。

将式（1）代入式（2），得直线电机后端端部推力：

从以上分析可知，永磁同步直线电机的前、后端端部推力波动均以极距τ为周期，波形为类正弦（余弦）波。通过改变直线电机轴向长度L，控制Δ的大小，使前后端部力在一定程度上相互抵消，达到抑制推力波动的目的。但是，为了确定Δ的值，需要进行大量的计算。

2.2 端部法向力的分析

直线电机端部法向力的波动不仅会给直线电机带来振动和噪声，还会在电机上产生力矩，给电机带来俯仰运动的趋势，在电机导轨产生附加的非线性摩擦力，影响电机稳定运行。因此，对于端部法向力的研究非常重要，下面通过对电机永磁体磁通的研究建立端部法向力相关力学公式。

由于永磁体产生的磁场在空间中按照一定规律分布，动子铁心在变化的磁场中运动，产生变化的端部力。假设空气和永磁体的磁导率相同，排列的永磁体产生稳定的磁场，磁感线以τ为周期呈圆形分布，如图1所示。动子铁心移动时，穿过法向端面的磁通可由磁通曲线 Φ（x）近似表示，将其傅里叶展开［13］：

式中：Φm为经过动子铁心边缘磁通量的最大值。

在空间里，单位体积的磁场储能wm可以表示为：

式中：B为磁感应强度；H为磁场强度；μ0为真空条件下的磁导率；Φ为经过动子铁心纵向边缘的磁通；S为磁感线在铁心纵向表面所围面积。

当动子铁心经过一个极距长度τ时，气隙磁场储能发生了变化，储能变化量为Wm：

式中：le为动子铁心叠压厚度；δ′为气隙长度；V为气隙体积；l1为经过铁心纵向边缘又返回永磁体的那部分磁感线在永磁体横向所占的长度，l1=K1τ，K1为磁通压缩系数。

联立式（4）和式（6），气隙储能变化量Wm可表示为：

沿着动子铁心运动的方向，动子铁心前端所受端部法向力Ff+可表示为：

动子铁心后端面的受力Ff-与之类似，可表示为：

通过分析可知，永磁同步直线电机前后端法向力波动仅初相位不同，波动同样以极距τ为周期。对端部法向力和推力波动进行抑制时，若使Δ=τ/2，直线电机的前后端法向力大小相等、方向相反，可在最大程度上相互抵消；然而，方向相反的法向力位于电机前后端，产生力矩，会给电机运行带来了新的问题。若使Δ=τ，则Ff+（x）=Ff-（x），直线电机前后端端部法向力同向，不会为电机带来额外力矩，但同向端部力相互叠加后，合力的大小达到单边力的两倍，波动增加。

可见，通过调整电机横向尺寸L来削弱端部法向力，存在着一定的局限性。

3 新型辅助齿抑制端部效应力

对于不同的永磁同步直线电机，在电机空载运行时，其力的波动波形不尽相同，但其端部法向力和端部推力都以极距τ作为周期，且波形规则。通过实际测试和仿真，永磁同步直线电机单端的端部推力和端部法向力波形图近似如图2和图3所示［13］。

▲图2 单端端部推力波动图

▲图3 单端端部法向力波动图

永磁同步直线电机动子铁心在移动时，在永磁体产生的磁场中受到磁阻力，这是端部力产生的根本原因。根据以上分析，可以确定端部推力和法向力的波动都遵循以极距τ为周期的规律，根据这一规律，结合端部效应力类似正弦（余弦）波的形式，如果永磁同步直线电机在移动过程中能产生多个仅初相位不同的波动力，且将这些波动力按照一定规律相互叠加，则可以相互抵消，从而有效抑制力的波动。

以图2和图3所示电机单端的端部推力和端部法向力波动为例，分析在一个极距τ内，初相位不同的力相互叠加对端部效应力波动的影响。

端部力波动叠加效应情况如表1所示。其中，n1条力的波动相互叠加时，相邻波动之间的初相位差为τ/n1。为了更好地研究波动相互叠加后的情况，以波动因子KF为衡量标准进行研究：

式中：Fmax为波动力的最大值；Fmin为波动力的最小值；ΔF为n1=1时波动力的最大值与最小值差的绝对值。

表1 端部力波动叠加表

由表1可知，将端部波动力按照一定的方式进行叠加，可以有效抑制端部推力和端部法向力的波动，且在一个极距内，随着端部力叠加的越多，力的波动越小。理论上，当端部效应力波动叠加到一定数量时，力的波动可以完全忽略不计。

对于端部推力波动，由于左右端的推力方向相反，电机前后端推力波动相互叠加后可以在一定程度上相互抵消。对于端部法向力波动，经过叠加后左右端部法向力波动减少，由于左右端力的方向相同，产生的力矩可忽略不计。经过叠加，力的恒定分量增大，端部法向力的恒定分量和电机导轨的支撑力能够相互抵消。

基于以上分析，为了得到初相位不同的波动力，采用端部多齿结构，在直线电机端部制造多个平面，如图4所示。为了避免齿与齿、齿与初级铁心内部磁场相互耦合，齿与齿之间采用非铁磁性材料连接。在运动过程中，每个辅助齿上产生的波动相互抵消，达到削弱端部力波动的效果。

▲图4 端部辅助齿示意图

4 有限元验证与分析

选择12槽10极永磁同步直线电机进行有限元分析，为了研究直线电机端部效应力，并探究辅助齿的齿数和齿宽对端部力波动的影响，采用Maxwell仿真软件。图5为不带辅助齿的直线电机，其相关参数见表2。

4.1 辅助齿数对端部效应力波动影响的仿真分析

▲图5 永磁同步直线电机筒化结构

表2 不带辅助齿的直线电机参数mm

利用有限元法，对辅助齿齿数由一到两齿的永磁同步直线电机进行仿真，不带辅助齿的直线电机作为对照。当齿数为N时，辅助齿和电机端部共产生N+1（n1=N+1）个端部平面，N+1个端部平面分布在长度为一个极距τ的范围内，相邻齿平面相距τ/（2+N），本次仿真中，辅助齿厚hf为6 mm。辅助齿材料与动子铁心相同。

在永磁同步直线电机的瞬态仿真中，电机运行距离为2τ，端部效应力仿真结果如图6和图7所示（对于端部法向力波动，为了研究方便，仿真结果减去了一个恒定分量，每个波动中，最小值点相同）。

从图6和图7中可以看出，在无辅助齿时，端部推力和端部法向力波动均呈周期性变化，在两个极距内波动了两次，说明电机的推力波动的确以极距τ为周期。

当辅助齿齿数由零增加至二时，电机波动幅值随着齿数的增加，即端部平面的增加而下降，一齿和两齿时永磁同步直线电机的端部推力波动因子KF1分别为59.3%和22.4%，和上文波动力叠加后波动因子变化结果基本相同。此外，在端部一齿时，端部推力波动的波峰和波谷下凹和上凸，表现出叠加的特征。在端部两齿时，周期由τ变为近似的τ/3，符合力的波动相互叠加后的结果。可见，通过使用多齿结构制造端部平面的方法，可以使多组波动力相互叠加并相互抵消，有效抑制永磁同步直线电机的端部推力波动。

然而，值得注意的是，一齿和两齿时永磁同步直线电机的端部法向力波动因子KF2分别为82.46%和73.6%，且端部法向力的周期基本不变。采用端部多齿结构，可以在一定程度上抑制端部法向力，但端部辅助齿齿数的变化，不改变法向力的周期。

▲图6 直线电机端部推力波动图

▲图7 直线电机端部法向力波动图

本次仿真中仅仅考虑一齿、两齿时电机的端部效应力，因为在一个极距范围内，随着齿数的增加，齿与齿之间的距离减少，彼此之间磁场相互干扰，导致辅助齿磁场的分布发生变化。图8为辅助齿厚为4 mm时，不同辅助齿的磁通密度分布图，当电机在如图所示的位置时，相比于端部辅助齿齿数为一和二，在齿数为三的情况下，最内侧辅助齿周围磁场几乎被隔绝，导致其无法产生产生足够的磁阻力，影响辅助齿对波动力的抑制。

▲图8 端部辅助齿磁通密度分布图

在本例中，为了防止辅助齿之间相互干扰，当端部辅助齿齿数为二时，对永磁同步直线电机端部效应力波动的抑制最佳。

4.2 辅助齿厚度对端部效应力波动影响的仿真分析

探究辅助齿厚hf对端部效应力波动的影响，在端部辅助齿齿数为二的基础上，进一步优化分析。图9和图10为辅助齿齿厚hf由3 mm变化到7 mm时，永磁同步直线电机的端部推力和端部法向力波动情况。

由图9和图10可知，当电机辅助齿厚度改变时，端部推力波动周期和振幅变化，端部法向力波动的周期基本不变，振幅改变，这说明辅助齿的厚度对推力波动的周期和振幅影响较大，但仅对法向力波动的振幅产生影响。

由图9和图10还可以看出，从辅助齿齿厚4 mm开始，随着齿厚的增加，端部推力波动和端部法向力波动的幅值逐渐减小；当辅助齿厚度在5～6 mm时，端部效应力波动最小。其中，当齿厚为6 mm时，端部推力波动正反向峰值最小；当齿厚为5 mm时，端部法向力波动正反向峰值最小，之后，随着齿厚的增加，力的波动增加。

对仿真结果进行分析，当齿厚较小时，端部辅助齿极易发生磁饱和，其对端部力的抑制作用较弱。当齿厚较大时，由于齿与齿之间的间隔太小，彼此之间磁场相互影响，如图11所示。随着辅助齿齿厚的增大，相邻齿之间的磁力线明显增加。辅助齿周围磁场分布发生较大的变化，导致端部力波动增加。

根据以上分析，在本例中，当辅助齿厚度在5～6 mm，对永磁同步直线电机端部法向力波动的抑制达到最佳。