王 序



IBC代数的性质及等价刻画

王 序

江南大学理学院, 江苏 无锡 214122

本文采用IMV代数的构造方法，定义了IBC代数，对其相关性质进行了初步研究，进而在其上定义了偏序关系，给出了IBC代数的一种构造方法，并给出了IBC代数的等价公理系统。

Basic代数; MV代数; IMV代数; IBC代数

Basic代数是Chajda I为了研究MV代数和正交模格的共性而引入的代数结构[1],它在多值逻辑和量子力学中有着十分重要的作用.到目前为止,关于Basic代数的性质与结构已有多人讨论[2-7].2014年,Cabrera LM和Mundici D以MV代数的区间为模型,抽象地提出了区间MV代数的(简称IMV代数)概念,证明了IMV代数与MV代数是范畴等价的,并给出自由IMV代数的表示[8].由于Basic代数是MV代数的推广,因此有必要将Cabrera LM和Mundici D的思想推广到Basic代数.本文采用IMV代数的构造方法,定义了IBC代数,对其相关性质进行了初步研究,在其上定义了偏序关系,给出了IBC代数的一种构造方法,并给出了IBC代数的等价公理系统.

1 预备知识

定义1.1[1](2,1,0,0)型代数=(,+,Ø,0,1)称为Basic代数,如果它满足下列条件:

(1)+0=;

(2)ØØ=;

(3)Ø(Ø+)+=Ø(Ø+)+;

(4)Ø(Ø(Ø(+)+)+)+(+)=1.

设为Basic代数,称为可换的,若+=+称为可结合的,若(+)+=+(+).

文献[1]证明了(,≤,0,1)是带有最大元1和最小元0的有界格，且对任意的,Î,˅=Ø(Ø+)+,˄=Ø(Ø˅Ø).

引理1.1[1]设是Basic代数,则下列性质成立:

(1) 0+=; (2)Ø+=+Ø=1; (3)+1=1+=1; (4) 若可交换,则+(˄)=(+)˄(+),+(˅)=(+)˅(+).

定义1.2[8](2,2,1,1,0,0,0)型代数=(,0,1,,Ø,D,Ñ,Å,Ä)称为IMV代数,如果它满足下列条件:

(1)Å(Å)=(Å)Å;

(2)Å=Å;

(3)Å0=;

(4)ÅØ0=Ø0;

(5)ØØ=;

(6)Ä=Ø(ØÅØ);

(7) 1=Ø0;

(8)Ñ=ØDØ;

(9)Ø=;

(10)D0=0;

(11)D1=1;

(12)D=0;

(13)DD=D;

(14)DÑ=Ñ;

(15)D(Å)=DÅD;

(16)D(Ä)=DÄD;

(17)DÄØÑ=1;

(18) (ÄÑÄØD)ÅD=;

(19)Ø(ØDÅD)ÅD=Ø(ØDÅD)ÅD.

2 IBC代数的定义及性质

本节采用IMV代数的构造方法,定义了IBC代数,对其相关性质进行了初步研究,在其上定义了偏序关系,并给出了IBC代数的一种构造方法.

定义2.1 (2,1,1,1,0,0,0)型代数=(,0,1,,Ø,D,Ñ,Å)称为IBC代数,如果它满足下列条件:

(1)Å0=; (2)ØØ=; (3)Ø=; (4)D=0; (5)DÑ=Ñ; (6)D(Å)=DÅD(7)ØDÅÑ=1; (8)Ø(ÅØÑÅD)ÅD=; (9)Ø(ØDÅD)ÅD=Ø(ØDÅD)ÅD; (10)Ø(Ø(Ø(DÅD)ÅD)ÅD)Å(DÅD)=1.

其中1=Ø0,D=ØDØ.

下述例子表明IBC代数是存在的.

例2.1设={0,1,},在上定义运算Ø,D,Ñ,和Å如下:

xØxxDxxÑxÅ0i1 01000000i1 iii0i1iii1 1011111111

容易验证,=(,0,1,,Ø,D,Ñ,Å)是一个IBC代数.

定理2.1设是区间Basic代数,对任意的,,Î,下列性质成立:

(1)Ñ=1; (2)D1=1,Ñ0=0; (3)D0=0,Ñ=1; (4)D=ØÑØ; (5)Ø(ØÑÅÑ)ÅÑ=Ø(ØÑÅÑ)ÅÑ

(6)Ø(Ø(Ø(ÑÅÑ)ÅÑ)ÅÑ)Å(ÑÅÑ)=1 (7)Ñ=D,DD=D,ÑÑ=Ñ(8)DÅ1=1, 1ÅD=1, 1ÅÑ=1 (9) 0ÅD=D, 0ÅÑ=Ñ(10)DÅDÅØD1ÑÅÑÑÅØÑ1 (10) 若D=D,Ñ=Ñ, 则=; (11)Å1=1Å=1.

证明：(1) 由定义2.1，Ñ=ØDØ=ØD=Ø0=1;

(2) 由(1)及定义2.3，D1=DÑ=Ñ=1,Ñ0=ØDØ0=ØD1=Ø1=0;由(2)及定义2.3,D0=ØØD0=Ø(ØD0Å0)=Ø(ØD0ÅÑ0)=Ø1=0, 再由定义2.3,Ñ1=ØDØ1=ØD0=Ø0=1;

(3) —(6)由定义2.3可得;

(7)ÑD=ØDØ(D)=ØDØDØØ=ØD(ØDØØ)=ØDÑØ=ØÑØD.另一方面,DD=D(ÑD)=DÑ(D)=ÑD=D同理可证Ñ=DÑ=Ñ(DÑ)=ÑÑ;

(8)DÅ1=ØØDÅ1=(Ø(ØDÅ0)Å0)Å1=Ø(Ø(Ø(ØD0Å)ÅD)ÅD0Å(ØD0ÅD0)=1,同理可证,ÑÅ1=1;1ÅD=Ø(Ø(Ø(DÅ1)Å1)Å0)Å(DÅ0)=1,同理可证,1ÅÑ=1;

(9)D=ØØD=Ø(ØDÅD0)ÅD0=Ø(Ø0ÅD)ÅD=Ø1ÅD=0ÅD,同理可证,Ñ=0ÅÑ;

(10)ØDÅD=Ø(ØD1ÅD)ÅD=Ø(ØDÅD1ÅD1=Ø(ØDÅ1)Å1=1,由定义2.1,1=ØØDÅØD=DÅØD,故ØDÅD=DÅØD=1.同理可证,ØDÅÑ=ÑÅØÑ=1;

(11) 若D=D,Ñ=Ñ,则由定义2.3,=Ø(ÅØÑÅD)ÅD=Ø(ÅØÑÅD)ÅD=.

ØDÅD=Ø(ØDÅD)Å(ØDÅD)=Ø(Ø(Ø(ØDÅD)ÅD)ÅD)Å(ØDÅD)=1

ØÑÅÑ=Ø(ØÑÅÑ)Å(ØÑÅÑ)=Ø(Ø(Ø(ØÑÅÑ)ÅÑ)ÅÑ)Å(ØÑÅÑ)=1

下面我们给出由Basic代数构造IBC代数的方法,建立Basic代数和IBC代数之间的桥梁.

定理2.3设=(,+,',0,1)是Basic代数,取使得对任意的Î,≠.令=È{}。在上定义运算Å,Ø,D如下:对任意的,Î

则=(,Å,Ø,D,Ñ,0,1,)是区间Basic代数.

证明:由定义2.3,只需证明等式(IB-1)-(IB-10)成立.由Å,Ø,D定义,等式(IB-1)-(IB-5)成立.下面证明(IB-6)-(IB-10)成立.

(IB-6)对任意的,Î,

1) 若,Î,则Å=+Î,从而由D及Å的定义得D(Å)=+=DÅD.

2) 若=,Î,≠0,则Å=,D=0,D=,于是D(Å)=D(Å)==DÅD.

3) 若=,Î,≠0,同理可证D(Å)=DÅD.

4) 若=,=0,则D(Å)=D(Å0)=D=0,DÅD0=0Å0=0.于是D(Å)=DÅD.

5) 若=0,=,同理可证D(Å)=DÅD.

6) 若==,则D(Å)=D(Å)=D=0=DÅD.

所以,(IB-6)成立.

(IB-7)对任意的Î,若Î,则D=Ñ=,故ØDÅÑ=Ø+='+=1.若=1,则ØDÅÑ=ØDÅÑ=Ø0Å1=1+1=1.因此,(IB-7)成立.

(IB-8)对任意Î,若Î,则Ø(ÅØÑÅD)ÅD=Ø(ÅØÅ)Å=Ø(Å'Å)Å=Ø('+)Å=Ø1Å=.若=,则Ø(ÅØÑÅD)ÅD=Ø(ÅØ1Å0)Å0=ØÅ0=.因此,(IB-8)成立.

(IB-9)对任意的,Î,由D定义知D,DÎ.所以由定义2.1,Ø和Å的定义知(IB-9)成立.

(IB-10)同(IB-9)可证.

综上可知,=(,Å,Ø,D,Ñ,0,1,)是区间Basic代数.

3 IBC代数的等价公理系统

本节利用→算子给出了IBC代数的等价公理系统.

引理3.1设=(,0,1,,Ø,D,Ñ,Å)是IBC代数，在上定义→=ØÅ,对",,Î,满足下列条件:

(1)Ø→D=

(2)ØØ=

(3) (D→D)→D=(D→D)→D

(4)Ø=

(5)DØDØ=ØDØ

(6)D(Ø→)=ØD→D

(7)D→ØDØ=ØD

(8) (((ØD→D)→D)→D)→(ØD→D)=ØD

(9) (Ø(→DØ)→D→D=

(10) (ØDØ→ØDØ)→ØDØD=(ØDØ→ØDØ)→ØDØ

(11) (((DØ→ØDØ)→ØDØ)→ØDØ)→(DØ→ØDØ)=ØD

(12)ØD→D=D,ØD→ØØDØ=ØDØ

(10)D→D=ØD,ØDØ→ØDØ=ØD

(11)D→=Ø→ØD=ØD

证明:由IBC代数的定义及定理2.1容易证明.

定理3.1设(0,1,1,2)型代数=(,,Ø,D,→)满足引理3.1中的(1)-(9),=(,0,1,1,,Ø,D,Ñ,Å)是IBC代数，则代数=(,,Ø,D,→)与=(,0,1,,Ø,D,Ñ,Å)等价.

证明:设=(,0,1,,Ø,D,Ñ,Å)是IBC代数，在上定义→=ØÅ,由引理3.1可知,是代数=(,,Ø,D,→).

反之,设代数=(,,Ø,D,→)满足引理3.1中的(1)-(9)，在上定义0=D,1=ØD,Ñ=ØDØ,Å=Ø→,对",,Î,我们来逐条验证定义2.1中的条件:

(1)Å0=Ø→0=Ø→D=

(2)ØØ=

(3)Ø(ØDÅD)ÅD=(D→D)→D=(D→D)→D=Ø(ØDÅD)ÅD

(4)Ø=

(5)D=0

(6)DÑ=DØDØ=ØDØ=Ñ

(7)D(Å)=D(Ø→)=ØD→D=DÅD

(8)ØDÅÑ=ØDÅØDØ=D→ØDØ=ØD=1

(9)Ø(Ø(Ø(DÅD)ÅD)ÅDÅ(DÅD)=(((ØD→D)→D)→D)→(ØD→D)=ØD=1

(10)Ø(ÅØÑÅD)=Ø(ÅDØÅD)ÅD=(Ø(→DØ)→D→D=

因此,代数=(,0,1,,Ø,D,Ñ,Å)是IBC代数.

综上所述,IBC代数=(,0,1,,Ø,D,Ñ,Å)与满足定理2中条件(1)-(9)的代数=(,,Ø,D,→)等价.

4 总结

Basic代数在多值逻辑和量子力学中有着十分重要的作用,我们采用IMV代数的定义方法,对其相关性质进行了初步研究,在其上定义了偏序关系,给出了IBC代数的一种构造方法,并利用→算子给出了IBC代数的等价公理系统.

[1] Chajda I, Halas R, Kuhr J. Many-valued quantum algebras[J]. Algebra Universalis, 2009,60(1):63-90

[2] Chajda I, Kolarik M. Independence of axiom system of basic algebras[J]. Soft Computing, 2009,13(1):41-43

[3] Chajda I, Kuhr J. Ideals and congruences of basic algebras[J]. Soft Computing, 2013,17(3):401-410

[4] Botur M, Halas R. Commutative basic algebras and non-associative fuzzy logics[J]. Archive for Mathematical Logic, 2009,48(3):243-255

[5] Botur M. An example of a commutative basic algebra which is not an MV-algebra[J]. Mathematica Slovaca, 2010,60(2):171-178

[6] Botur M, Halas R, Kuhr J. States on commutative basic algebras[J]. Fuzzy Set and Systems, 2012,187(1):77-89

[7] Botur M, Halas R. Complete Commutative Basic Algebras[J]. Order, 2007,24(2):89-105

[8] Cabrer LM, Mundici D. Interval MV-algebras and generalizations[J]. International Journal of Approximate Reasoning, 2014,55(8):1623-1642

The Properties and Equivalent Characterization of IBC Algebras

WANG Xu

214122,

In this paper, we used the construction method of IMV algebra to define the IBC algebra and do the preliminary research on its related properties, and then define partial ordering relation on it to give a construction method of IBC algebra and the equivalent axiom system of IBC algebra.

Basic algebras; MV algebras; IMV algebra; IBC algebra

O144.1;O159

A

1000-2324(2018)03-0539-04

2017-01-02

2017-03-03

王序(1993-),女,硕士研究生,研究方向:多值逻辑与模糊逻辑. E-mail:ilove507@yeah.net