郭凌华, 温 蕾, 张瑞坚, 党玲玉

(1.陕西科技大学 轻工科学与工程学院 轻化工程国家级实验教学示范中心 中国轻工业纸基功能材料重点实验室 陕西省造纸技术及特种纸品开发重点实验室， 陕西 西安 710021; 2.珠海经济特区诚成印务有限公司, 广东 珠海 519000)

0 引言

在重复结构的交汇处，如重叠蜂窝状结构、栏杆状的结构，重叠织物等，会产生有趣的几何图案，这些图案是由重复层之间的交互作用产生的，这也就是莫尔纹.由网屏叠合引起的莫尔纹的几何属性与由线栅叠合引起的莫尔纹的几何属性是一样的.网屏并不是必须由圆形、椭圆形或菱形网点组成.网屏可能是由包含了给定图案，如微型字母或2D微型图形的重复的小正方形(或平行四边形)组成[1].

莫尔纹[2,3]的理论研究己经成为一门学科.莫尔纹的理论研究有两个目标，即莫尔纹的分析和莫尔纹的合成[4].在莫尔纹的分析研究中，主要分析和描绘莫尔纹的分布特征与其形成的原因.在莫尔纹的合成(指定莫尔纹的构建)研究中，莫尔纹的内容是预先指定的，根据其指定的内容构建基本图层，使得当这些基本图层叠加时，指定的莫尔纹会呈现出来.莫尔纹的分析研究和莫尔纹的合成研究紧密联系在一起并且相互促进发展.因此，指定莫尔纹的构建研究在莫尔纹理论中占有重要的地位.基于莫尔纹的信息放大技术与指定莫尔纹构建有一定交叉之处.莫尔纹放大技术就是将待放大的微型信息作为“指定”莫尔纹，构建基本图层，而后通过与“指定”(与微型信息相匹配)显示光栅的叠合达到莫尔纹放大的效果.

1 莫尔纹机理分析

莫尔纹参数方程模型给出了基本图层、显示光栅以及莫尔纹放大信息各自的表达模型，而指定莫尔纹构建算法在此基础上进一步描述了基本图层、显示光栅和莫尔纹放大信息之间的数学关系和物理关系.

1.1 莫尔纹参数方程模型

参数方程模型在分析两个线栅图相图层叠加得到的莫尔纹时是最简单的模型并且使用最为广泛[5].在参数方程模型中，基本图层被表示为参数化的线栅家族，同时莫尔纹也可以表示为一个参数化的线栅家族，其参数方程可以从基本图层的参数方程推导出来.下面以最简单的直线栅图为例说明参数方程模型的工作原理，x表示水平方向的坐标，y表示竖直方向的坐标.设基本图层一中的黑色线栅的中心线由下面式子确定(通过建立合适的坐标系)：

x=mT1

(1)

式(1)中：m为基本图层一的频率；T1为基本图层一的周期.

设基本图层二中黑色线栅的中心线由下面式子确定：

xcosθ+ysinθ+nT2

(2)

式(2)中：θ为直线与y轴较小的夹角；n为基本图层二的频率；T2为基本图层二的周期.

当两个图层叠加时，在有些区域中两个图层的黑色线栅相交的交点落在彼此之上，这些相交点构成的区域内黑色像素偏多,会导致交点区域比其他区域昏暗一些；在有些区域中两个图层的黑色线栅相交的交点落在彼此之间，这些相交点构成的区域内黑色像素偏少，会导致交点区域比其他区域明亮一些，如图1所示.这些明亮与昏暗的区域交替出现，构成莫尔纹[6-8].

图1 直线栅叠加得到的明暗交替的莫尔纹

令k表示叠加得到的莫尔纹的参数方程的指标，三个参数方程的指标满足关系式(3).

k1m+k2n=k

(3)

式(3)中：k1、k2为莫尔纹参数，值为整数.

满足关系式(3)的莫尔纹被称为(k1,k2)-莫尔纹.一般情况下，人眼会自动识别最为突出的莫尔纹，其中直线交点的密度最高[9].图1中标明的交替的明亮昏暗区域是其中最为突出的莫尔纹，图中莫尔纹属于(1,-1)-莫尔纹.

(1,-1)-莫尔纹的直线方程，满足公式(4).

k=n-m

(4)

式(4)中：k为叠加得到的莫尔纹的频率；n为基本图层的频率；m为显示光栅的频率.

将公式(1)和(2)代入公式(4)可以得到公式(5).

x(T2-T1cosθ)-yT1sinθ=T1T2p

(5)

参数方程模型也可以用于计算多个图层叠加得到的莫尔纹，也适用于基本图层是曲线栅的情况.

基本图层方程：

y=tanθ·x+n·λ·tanθ

(6)

显示光栅方程：

y=m·Tr

(7)

用x，y表示n，m，根据方程(3)可以得到目标莫尔纹的方程：

(8)

式(8)中：Tr为显示光栅的周期；λ为基本图层中单个图形的宽度、θ为两个图层的夹角.

1.2 典型的指定莫尔纹构建算法

为了避免越来越多的银行支票等票据的伪造，学者们提出了很多防伪方式.有些防伪方式不易被裸眼识别，只能被特殊的设备或工具识别，实现防伪目的的步骤较为繁琐，还有些防伪标识在生成的过程中需要特殊的打印材料，这样会大大提升成本.而本文中，把对基本图层微小变化很敏感的莫尔纹用于文档防伪中，就可以避免前面提及的那些弊端[10].一般在实际使用中，将含有微小元素的图层一作为水印信息打印到载体上，而图层二作为检测图层，由检测人持有[11].当图层二以指定角度叠加到载体的水印上时，指定的莫尔纹会呈现出来.为了防止伪造和复制水印，一般会通过施加复杂的函数映射和高分辨率打印来提高安全性.

Hersch等[1,12]提出了基于一维放大效应的指定莫尔纹构建，其清晰度高，而且基本图层能够承载很多的基本图案，应用范围更加广泛.

在基于一维放大效应的莫尔纹构建算法中，生成两个图层：一个是基本图层[13]，另一个是显示图层.基本图层是由周期重复的带状光栅构成的，每一条光栅都包括了待放大信息的纵向压缩微小图案，显示光栅是由透明背景上的周期性重复的黑色线栅构成.

在一维放大效应的莫尔纹中，呈现的是放大的基本图层中的元素，下面是对莫尔纹中元素与基本图层中元素对应关系的分析，图2列出了图层叠加示意图.

图2 一维放大莫尔纹的叠加示意图

记基本图层中带状光栅的周期为Tb，其中基本元素的重复向量为t=(tx,ty)，显示图层中光栅的周期为Tr，两个图层的夹角为θ，选取图2中的G点和H点，坐标满足公式(9).

G=(Tr/tanθ-tx,Tr-ty)

H=(Tr/tanθ，Tr)

(9)

B点在变化前后作为不动点，即在映射关系中(λ,0)-(λ,0)，G-H，因此可以计算得到转换方程为公式(10).

(10)

由公式(10)可得，线性转换方程与旋转的角度θ无关，但是叠加得到的莫尔纹的走势与θ有关，记叠加得到的莫尔纹的走势的角度为φ，则满足公式(11).

(11)

式(11)中：Tb为基本图层中带状光栅的周期；Tr为显示光栅的周期；θ为两个图层的夹角；φ为叠加得到的莫尔纹的走势的角度.

莫尔纹放大系数为：

(12)

式(12)中：ty为显示光栅的图像高度；Tr的意义与公式(11)中相同.

基本图层单个信息的宽度为：

(13)

式(13)中：Tb、θ的意义与公式(11)中相同.

莫尔纹的向量为：

(14)

式(14)中：t为基本图层信息的向量；Pm为放大信息莫尔纹的向量；Tr、ty的意义与公式(11)中相同.

莫尔纹的周期为：

(15)

式(15)中：Tb、Tr、θ的意义与公式(11)中相同.

根据公式(11)，可以依据两个图层的周期和相对角度计算得到莫尔纹的角度，它们构造了两个基本图层与莫尔纹图层的数学关系，据此，可以实现指定莫尔纹的构建.

2 微型信息放大效果的建立

在莫尔纹防伪印刷中，除了运用现在已经发展较为成熟的信息隐藏与提取的方法外，还可以运用将隐藏信息放大的方法来完成防伪目标.而且对于信息放大的方法，其放大倍数是保密的，待放大微型信息的具体内容也是保密的，所以隐藏的信息很难被复制，所以其防伪性能更好，安全性更高.

2.1 矢量图形信息放大效果

2.1.1 矢量图形信息放大基本图层的建立

在CorelDraw中用智能绘图工具完成大小为71 mm×8.5 mm“Z”字形并填充颜色.使“Z”字形向右位移复制，一排一共放置3个“Z”字形.设定“Z”字形的周期Tb为9 mm，所以每排“Z”字形的向下位移量Tb-ty是0.5mm.设定“Z”字形的频率n为12，一共复制十二排“Z”字形，使矢量图形“Z”字形铺满整个画布.选中并群组画布上所有的“Z”字形，完成基本图层的制作，如图3所示.

图3 矢量图形基本图层示意图

2.1.2 矢量图形信息放大显示光栅的建立

显示光栅要能完全覆盖基本图层，所以设定显示光栅的长度为230 mm.而显示光栅的光栅条的宽度要比基本图层微型图形宽度大10%～15%[1]，所以设定显示光栅的宽度为10 mm.在CorelDraw中用矩形工具制作大小为230 mm×10 mm的一个黑色长方形光栅条.设定微型信息放大倍数为3倍，根据公式(14)设置显示光栅周期Tr为13 mm.光栅频率m为8，一共复制制作八组黑白相间的光栅条，使其能将基本图层完全覆盖.群组全部光栅条，完成显示光栅的制作，如图4所示.

图4 矢量图形显示光栅示意图

2.1.3 矢量图形信息放大效果中的匹配关系

将显示光栅叠放在基本图层上，通过微量移动显示光栅的位置，使显示光栅完全覆在基本图层上，清晰呈现矢量信息放大效果，如图5所示.

图5 矢量图形放大效果示意图

2.1.4 实验结果及总结

根据公式，确定微型信息所需要放大的倍数，计算出基本图层与显示光栅的周期、频率、长度、宽度等各项指标参数，在CorelDraw绘图软件中制作出合适的基本图层矢量图形和与其匹配的显示光栅，使基本图层和显示光栅完全叠合，就可以呈现出微型信息放大效果.

2.2 位图图像信息放大效果

2.2.1 位图图像信息放大基本图层的建立

在编程软件Matlab中根据已有的程序语言[14,15]运行制作“A”字形异形网点，设置其灰度为35%，加网线数为175 L,分辨率为2 100 dpi，文件尺寸为6 mm×10 mm.将生成的异形网点图导入绘图软件Photoshop的新建图层中，这就是基本图层，如图6所示.

2.2.2 位图图像信息放大显示光栅的建立

在Photoshop绘图软件中，新建尺寸大小为6 mm×10 mm空白文件二，文件背景颜色为白色，文件的颜色模式为灰度模式，文件分辨率与基本图层分辨率相同，即为2100dpi，填充文件图层的灰度为65%(即K65%C0M0Y0的黑).加网角度为0度，设定微型信息放大倍数为3倍，根据公式(14)和(4)，可以得到显示光栅的加网线数(即频率，在位图图像中，频率一般叫做加网线数)为117 L.把空白文件二的图像模式转换为灰度图，原本颜色均匀的图层就显现出来了黑白相间的长方形条，这就是显示光栅，至此完成显示光栅的制作，如图7所示.

图6 位图图像基本图层示意图

图7 位图图像显示光栅示意图

2.2.3 位图图像信息放大效果中的匹配关系

将显示光栅图层“图层复制”到基本图层上，把显示光栅的白色条纹部分删除，使其透光.显示光栅叠合在基本图层上，上下左右微量调整显示光栅与基本图层之间的位置关系，直至信息放大效果十分清晰，完成位图图像的放大效果，如图8所示.

图8 位图图像放大效果示意图

2.2.4 实验结果及总结

确定所需要放大的倍数，按照公式模型，计算出与基本图层位图图像相匹配的显示光栅的各项参数，在Photoshop绘图软件中制作显示光栅图层，将基本图层与显示光栅两个图层相叠加，就可以得到微型位图图像信息放大的效果.

3 结论

本文在微型信息放大的模拟试验中，一共讨论了两种微型信息的格式：矢量图形和位图图像.分别在CorelDraw绘图软件和Photoshop绘图软件中完成对矢量图形和位图图像的放大效果.在基于莫尔纹机理信息放大的研究实验中，位图图像选用灰度图，信息放大效果更佳；而矢量图形选用彩色图，信息放大效果次之.

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