汪志昊， 郜 辉， 张新中， 田文文

(华北水利水电大学 土木与交通学院,郑州 450045)

TMD(Tuned Mass Damper)作为一种被动式吸能减振装置，在工程结构减振领域得到了广泛应用[1-4]。TMD主要由质量块、调谐频率的弹性元件与耗散结构振动能量的阻尼元件三大组件构成。其中摆式TMD采用摆式结构作为弹性元件，可以满足结构任意水平方向的振动控制需要[5]，尤其是形式简单、设计简便的单摆式TMD被广泛应用于高耸塔[6]、超高层建筑[7]的风致振动控制。

大型摆式TMD阻尼元件多采用液体黏滞阻尼器，但该类阻尼器存在易渗漏、阻尼参数后期调节困难、内部热量不易耗散、长期性能难以保障等不足。鉴于电涡流阻尼的优越特性[8]，在学术界与工程界[9-12]的共同推动下，弹簧支撑式、悬臂梁式板式电涡流TMD已在人行桥、拱桥刚性吊杆等减振领域得到广泛应用，最近摆式电涡流TMD还成功应用于上海中心大厦[13]。

电涡流TMD的磁路与等效阻尼系数精准设计是决定其推广应用的重要因素。现有方法主要分为：解析方法[14-15]、二维磁场有限元分析方法[16]、三维电磁场有限元分析方法[17-19]等。解析方法难以考虑电涡流的趋肤效应与新生磁场作用、永磁体之间的耦合作用及导体板后附加导磁钢板对电涡流阻尼的增加作用等因素，主要适用于电涡流阻尼初步设计阶段的阻尼系数估算以及磁路设计定性指导；二维磁场有限元方法模型构造相对简单，对电涡流阻尼构件的磁路优化设计具有一定应用价值，但由于电涡流阻尼构件出力具有明显的三维特性，导致等效阻尼系数计算误差较大；而三维电磁场有限元分析法，则可以全面地模拟电涡流阻尼构件耗能过程中的电、磁耦合现象，仿真得到的电涡流等效阻尼系数可信度最高。

为明确摆式电涡流TMD钢制质量块与电涡流阻尼构件二者之间的磁场吸引力作用对TMD振动频率的影响程度，提高电涡流阻尼的耗能效率，本文从板式电涡流阻尼构件安装位置、钢制质量块与电涡流阻尼构件二者之间的磁场吸引力作用对TMD振动频率的影响规律以及基于三维电磁场有限元仿真分析的电涡流阻尼定量计算与磁路优化等三个方面，开展了摆式电涡流TMD构造优化设计与模型试验研究。

1 单摆式电涡流TMD构造

1.1 整体构造与工作原理

图1给出了单摆式电涡流TMD典型构造示意[20]，其主要由质量块、悬挂TMD质量块的吊索、用于TMD频率调节的索长调节机构、板式电涡流阻尼构件以及与主结构相连接的支架等构成。其中板式电涡流阻尼构件包括：固定在TMD运动质量块底部的永磁体组，安装在永磁体下侧的导体铜板与附加在导体铜板下方的导磁钢板，以及用于调节磁场间隙的高度调节螺母(实现电涡流TMD阻尼参数的灵活调节)。

图1 单摆式电涡流TMD构造示意

根据已有研究成果可知：沿TMD运动方向，图1中永磁体组相邻磁极宜相反布置，在导体板后附加导磁钢板以提升板式电涡流阻尼构件耗能效果。此外，值得注意的是，当图1所示摆式TMD运动质量块振幅逐渐增大时，磁场间隙也逐渐增大，使得TMD振幅越大，电涡流阻尼等效阻尼系数就越小。这一方面会降低TMD的减振效果，另一方面也不利于TMD的限位保护。因此，可考虑将电涡流阻尼构件中的导体铜板设置为变截面形式，确保当TMD振幅逐渐增大时电涡流阻尼的等效阻尼系数基本不变或逐渐增大，提升TMD减振效果的同时增强TMD限位保护效果。

1.2 板式电涡流阻尼构件的合理安装位置

为保证TMD耗能效果，导体铜板与永磁体二者之间相对运动方向宜尽量与摆式TMD质量块的运动方向保持平行，即板式电涡流阻尼构件可考虑安装在TMD运动质量块的侧面或底面。但摆式TMD往往需要控制结构多方向振动，若将板式电涡流阻尼构件安装在质量块的侧面，TMD仅能控制结构某一特定水平方向振动。若电涡流阻尼构件安装在TMD质量块的侧面，TMD质量块和电涡流装置必须关于质量块的运动迹线完全对称(实际很难保证)，否则质量块会由于受到两侧不平衡的磁场吸引力作用而难以维持原有稳定运动状态，导致TMD无法正常工作。可见，将板式电涡流阻尼构件整体安装在摆式电涡流TMD运动质量块的底面成为了必然选择。

欲使板式电涡流阻尼构件的导体铜板和永磁体两个组件之间发生相对运动，原则上将二者任何一个安装在TMD运动质量块，另外一个安装在与结构直接相连的支架台座上都是可行方案，但为了提高电涡流阻尼的耗能效率，导体板尺寸一般应大于相应永磁体布置区域，若将导体板固定在运动质量块上必将会加大TMD的安装空间。考虑到减振效果更好的变阻尼式TMD往往需要将导体板设计为变截面，此时将导体板布置在台座上安装也更为方便。因此，将导体板固定在台座上成为摆式电涡流TMD的优选方案。

2 摆式电涡流TMD振动频率理论分析

摆式电涡流TMD钢制质量块和板式电涡流阻尼构件的导磁钢板受永磁体磁化后，质量块与电涡流阻尼构件之间必然产生相互吸引作用。图1所示TMD的受力简图见图2。

摆式电涡流TMD自由振动微分方程

(1)

式中:m,c分别为TMD质量块质量、阻尼系数；θ,l分别为TMD摆角、摆长；Fmag为质量块受到电涡流阻尼构件的磁场吸引力的竖向分量。

图2 摆式电涡流TMD运动质量块受力简图

(2)

式(2)的解为

(3)

据此，得到摆式电涡流TMD振动频率

(4)

阻尼比ζ较小时，式(4)可以简化为

(5)

由式(5)可知,TMD质量块受到电涡流构件中的磁场吸引力会增大摆式TMD频率，且该吸引力越大，对摆式TMD振动频率影响越大。以图1所示TMD为例，随着振幅的逐渐增大，磁场吸引力竖向分量呈减小的趋势，使得TMD振动频率随质量块振幅的增大而减小。

因此，摆式电涡流TMD设计若忽略质量块与电涡流阻尼构件二者之间的磁场吸引力作用，必将导致TMD振动频率估算值偏低，给后期安装调试带来困难。

3 摆式电涡流TMD模型试验

3.1 试验装置

摆式电涡流TMD模型试验装置见图3所示。10 kg正方体质量块通过4根吊索(计算摆长1.8 m)悬挂；N35型NdFeB永磁体组固定在质量块底部，距离支架底板60 mm，相邻永磁体磁极交错布置，导体铜板安装在永磁体下侧，磁场间隙10 mm；导磁钢板紧密贴合在导体铜板的下侧。模型试验中电涡流阻尼构件原材料相关参数如表1所示。

图3 摆式电涡流TMD模型试验装置

名称参数永磁体尺寸:20mm×20mm×10mm,剩磁感应强度Br=1.2T矫顽力Hcb=870kA/m,内禀矫顽力Hcj=955kA/m导体铜板尺寸:500mm×100mm×10mm电导率σCu=59.98MS/m导磁钢板尺寸:500mm×100mm×10mm电导率σFe=11.2MS/m

3.2 试验方法

采用人工施加初位移的方法对摆式电涡流TMD模型进行激振，每次试验均使TMD质量块从相同初始位移自由释放，通过中国地震局工程力学研究所891-4型速度传感器测试TMD振动速度，采用江苏东华动态采集系统DH5935N以500 Hz采样频率测试TMD速度振动信号，TMD动力特性测试工况见表2。

表2摆式电涡流TMD动力特性测试工况

Tab.2Experimentalcasefordynamiccharacteristicstestofapendulumeddy-currentTMD

工况永磁体数量永磁体平面内外间距/mm磁场间隙/mm导体板导磁板14块1024块1010铜板34块010铜板钢板44块510铜板钢板54块1010铜板钢板68块1010铜板钢板

3.3 试验结果与分析

摆式电涡流TMD模型典型工况自由衰减振动速度时程曲线见图4，前期均基本符合对数衰减规律。取自由衰减振动速度时程曲线相邻两个波峰之间的时间差作为TMD的振动周期，各工况TMD实测阻尼比为

(6)

式中:ζt为TMD的阻尼比;yj和yj+m分别为时程曲线中第j个和第j+m个波峰的峰值。据此得到TMD各工况的振动频率及阻尼比测试结果见表3。

(a) 工况2

(b) 工况5

工况频率/Hz阻尼比/%频率变化百分比/%10.3710.26020.3753.851.0830.3785.731.8940.3808.402.4350.3839.063.2360.39616.56.74

由表3可知,TMD运动质量块受到磁场吸引力作用确实会增大TMD的振动频率，且导体板位置处的磁感应强度越大，导磁钢板受永磁体的磁化程度越强，对TMD振动频率的影响也就越大。这与第2节TMD振动频率影响定性分析结果完全一致。对比工况2、工况5可知，导体铜板后附加导磁钢板可将TMD阻尼比提高到2.35倍，试验结果进一步证实了导体铜板后附加导磁钢板对电涡流阻尼的显著增强作用；对比工况3、工况4与工况5可知，永磁体间距也是影响摆式电涡流TMD阻尼比大小的重要参数，如永磁体间距为0.5倍永磁体长度时的TMD阻尼比是永磁体间距为0时的1.58倍。

4 电涡流TMD三维电磁场有限元分析

采用Comsol Multiphysics软件对摆式电涡流TMD阻尼构件进行三维电磁场有限元分析，其中TMD平衡位置处质量块与电涡流阻尼构件的磁场吸引力通过稳态磁场分析法得到，而电涡流阻尼构件的等效阻尼系数则由瞬态电磁场分析法得到，分析过程中固定永磁体不动，对导体板施加一定速度，通过计算导体板内的洛伦兹力可以间接获得电涡流阻尼等效阻尼系数，有限元仿真相关参数仍按表1取值。

4.1 质量块磁场吸引力作用对TMD振动频率的影响

将电磁场有限元计算得到TMD质量块在平衡位置处受到的磁场吸引力代入式(5)即可计算得到摆式TMD的振动频率，从而定量考察质量块受到磁场吸引力对摆式电涡流TMD振动频率的影响程度。

图5为工况5导磁钢板磁化程度分布图，表4对比了表2各工况TMD振动频率的计算和实测值。由表4可知，TMD振动频率计算与实测值误差很小(在3%之内)，且具有高度的一致性，即安装电涡流阻尼构件后，质量块受到磁场吸引力使摆式电涡流TMD的振动频率变大，且质量块受到的磁场吸引力作用越强，对摆式电涡流TMD振动频率的增大效果越显著。因此，摆式电涡流TMD宜在设计阶段通过有限元仿真确定振动频率具体影响程度，并据此对TMD初始摆长进行适当调整以避免失谐降低减振效果。

图5 导磁钢板被永磁体组磁化程度分布(单位：A/m)

Fig.5 Distribution of the steel plate magnetized by magnets(unit:A/m)

表4摆式TMD振动频率有限元仿真与实测值对比

Tab.4ComparisonsofvibrationfrequencyofthePTMDbetweenFEMsimulationandexperimentalresults

工况质量块受到的吸引力/NTMD频率计算值/HzTMD频率实测值/Hz频率计算值与实测偏差/%10.37320.9950.3740.3750.16933.1850.3780.3780.84344.4210.3810.3800.71456.1880.3840.3831.130610.3630.3930.3962.611

4.2 板式电涡流阻尼构件等效阻尼参数定量计算

有限元仿真分析的电涡流阻尼等效阻尼系数c可由导体板受到的洛伦兹力F仿真值与导体板速度v(本文取0.7 m/s)给出

(7)

而第3节模型试验电涡流阻尼构件的等效阻尼系数实测值为

c=4πfm(ζt-ζ0)

(8)

式中:m,f分别为TMD运动质量与振动频率;ζ0,ζt分别为附加电涡流阻尼前后TMD实测阻尼比。

图6对比了表2各工况电涡流阻尼构件等效阻尼系数仿真与实测值，各工况两者之间最大误差仅8.1%。考虑到有限元仿真模型相关几何参数测量与电磁参数理论取值存在不可避免的误差，三维电磁场有限元瞬态磁场分析法完全可以满足板式电涡流阻尼构件等效阻尼系数定量计算的精度要求。

图6 各工况电涡流阻尼等效阻尼系数仿真与实测值对比

4.3 板式电涡流阻尼构件的磁路优化

图7给出摆式电涡流TMD阻尼构件布置示意图。本文以电涡流阻尼等效阻尼系数大小为主要性能指标，考察磁场间隙、铜板厚度与导磁钢板厚度对矩形永磁体最优间距及电涡流等效阻尼系数的影响规律。

图7 板式电涡流阻尼构件布置示意图

图8为导体铜板、导磁钢板厚度均为10 mm电涡流阻尼等效阻尼系数随永磁体间距、磁场间隙的变化规律。由图8可知,阻尼系数随磁场间隙的增大而急剧降低，沿TMD运动方向永磁体最优间距随磁场间隙的增大而缓慢增加。因此，以保证TMD正常工作为前提，减小磁场间隙不仅可以提高TMD工作效率还可使得TMD结构更为紧凑。为避免摆式TMD质量块摆动过程中与电涡流阻尼构件发生碰撞，同时降低质量块与电涡流阻尼构件二者之间磁场吸引力作用对TMD振动频率的不利影响，磁场间隙不宜取值过小，因此后文分析磁场间隙统一取4 mm(0.4h)。

图8 阻尼系数随永磁体间距、磁场间隙的变化规律

Fig.8 Damping coefficients as function of the interval of magnets and magnetic field gap

图9为磁场间隙4 mm(0.4h)、导磁钢板厚10 mm时，不同厚度铜板等效阻尼系数随永磁体间距的变化曲线。由图9可知：沿TMD运动方向永磁体最优间距随铜板厚度的增大而持续增大；当铜板厚度小于4 mm时，等效阻尼系数随铜板厚度的增加而增加，而当铜板厚度大于4 mm后，等效阻尼系数随铜板厚度的增加而减小。这是由于导磁钢板的存在，铜板厚度增加使得磁路磁阻增大，当导体板体积的增加不足以弥补导体板内磁感应强度下降带来的不利影响时，电涡流阻尼等效阻尼系数必然开始下降。可见，铜板厚度4 mm(0.4h)处阻尼效果最优，因此后文分析铜板厚度统一取4 mm(0.4h)。

图9 不同厚度铜板下阻尼系数随永磁体间距的变化规律

Fig.9 Damping coefficients as function of the interval of magnets for different thick copper

图10为磁场间隙、铜板厚均为4 mm(0.4h)时，不同厚度导磁钢板等效阻尼系数随永磁体间距的变化规律。由图10可知：沿TMD运动方向永磁体最优间距随导磁钢板厚度的增加保持不变，均为0.4b；阻尼系数随导磁钢板厚度的增加而增加，但超过8 mm后，提升效果变缓，后文分析导磁钢板厚度仍取为10 mm(h)。

图10 不同钢板厚度下阻尼系数随永磁体间距的变化规律

Fig.10 Damping coefficients as function of the interval of magnets for different thick steel plate

综合图8～图10可知，当磁场间隙、铜板厚度与导磁钢板厚分别取4 mm(0.4h)，4 mm(0.4h)与10 mm(h)时，沿TMD运动方向永磁体最优间距可取为0.4b。但大型足尺摆式电涡流TMD不可能仅沿TMD运动方向布置永磁体，必然还需要沿垂直于TMD运动方向布置永磁体，即形成永磁体阵列，因此有必要补充研究永磁体沿垂直于TMD运动方向的最优间距。图11为4块矩形永磁体组成的永磁体阵列布置示意图，沿垂直TMD运动方向按相邻永磁体极性分为图11(a)、图11(b)两种布置形式。

(a) 磁路a

(b) 磁路b

图12为磁场间隙、铜板厚度与导磁钢板厚分别取4 mm(0.4h)，4 mm(0.4h)与10 mm(h)，沿TMD运动方向永磁体间距8 mm(0.4b)时，图11(a)、图11(b)两种磁路等效阻尼系数随垂直于TMD运动方向永磁体间距的变化曲线。由图12可知，磁路b的阻尼效果要明显优于磁路a，即沿垂直于TMD运动方向的相邻永磁体磁极相同，且永磁体间距越小越好。考虑到实际安装，永磁体间距不可能取0，本文建议取c=0.1b作为最优间距参考值，此时对应理想状况最优阻尼系数的95.1%。

5 结 论

(1)板式电涡流阻尼构件宜整体安装在摆式电涡流TMD的底面，永磁体和导体板宜分别安装在质量块的底部和位于永磁体下侧与主结构固定的台座。

图12 阻尼系数随垂直于TMD运动方向永磁体间距的变化规律

(2)TMD运动质量块受到磁场吸引力作用后会增大摆式电涡流TMD的振动频率，且吸引力越大对TMD振动频率的影响也越大，三维磁场有限元稳态磁场法仿真可以实现磁场吸引力引起的摆式电涡流TMD振动频率变化近似计算。

(3)三维电磁场有限元瞬态磁场分析法仿真可以满足板式电涡流阻尼构件等效阻尼系数的精确定量计算与磁路优化设计需要。

(4)板式电涡流阻尼构件等效阻尼系数随磁场间隙的减小、导磁钢板厚度的增大而增大，随导体铜板厚度的增加先增大后降低。沿摆式电涡流TMD运动方向，相邻永磁体磁极宜交错布置，且最优间距与导磁钢板厚度基本无关，而是随磁场间隙的增加、铜板厚度的增加而缓慢增加；沿垂直于TMD振动方向，相邻永磁体磁极宜相同布置，且间距越小越好。

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