朱丽莎, 向磊, 邹常青

(1.东北大学机械工程与自动化学院, 110819, 沈阳; 2. 肇庆学院机械与汽车工程学院, 526061, 广东肇庆; 3.鞍钢集团工程技术有限公司, 114021, 辽宁鞍山)

齿轮在传递动力的过程中会不可避免地发生摩擦磨损,虽然在最初的跑合过程中磨损是轻微无害的,但是随着磨损量不断累积,齿轮齿廓形状及尺寸参数的变化会导致接触环境的恶化,从而产生更大的齿间动态载荷,造成更加严重的轮齿失效形式。如果能减少磨损,将会降低齿轮的振动冲击,延长齿轮的使用寿命。

在对直齿圆柱齿轮磨损的数值计算中,国内外学者普遍基于Archard磨损模型,只是在确定齿轮的啮合载荷和齿面滑动距离时采用的方法不尽相同。例如:Anddersson通过齿轮几何学理论得到了啮合过程中滑动距离与啮合位置的关系,其中双齿啮合时的载荷是平均分配的[1];Flodin等通过单点观测法确定了滑动速度和啮合压力,在分配载荷时并未考虑时变啮合刚度[2-3];Wu等考虑了齿轮动力学和弹性流体动力润滑的影响,推导出齿轮磨损的计算公式,其中啮合载荷为平均载荷[4];王晓笋和Kuang等研究了齿面累积磨损量对轮齿啮合刚度的影响,并进行了动力学分析,在计算磨损时考虑的载荷为最大载荷[5-6];Liu等研究了磨损对齿轮动力学特性的影响,其磨损模型中采用的是平均压力[7]。

在一个啮合周期内,双齿啮合和单齿啮合交替出现。在双齿啮合区中,2对啮合齿轮副共同承担法向载荷,如果只考虑弹性变形而不考虑误差,可将2对啮合齿轮副视为一对并联弹簧进行载荷分配,此时只需考虑沿啮合线上各对齿轮副的时变刚度。但是,低速重载齿轮由于存在磨损,不可避免地会在轮齿之间形成间隙,引起啮合点偏离理想渐开线位置,因此,需要建立更符合实际的几何侧隙下的齿间载荷分配公式。

1 齿间载荷分配公式

以重合度1<ε<2为例,啮合齿轮的受力情况如图1所示。根据总载荷等于2对齿的承载力之和,有

W=W1+W2

(1)

式中:W为单位宽度的总法向力;W1为第1对齿轮副分担的法向力;W2为第2对齿轮副分担的法向力。

在图1a中:et1

W1=k1(t)(x-et1)

(2)

W2=k2(t)(x-et2)

(3)

(a)et1

(b)et1>et2图1 啮合齿轮受力图

联立式(1)～式(3),可得载荷分配系数

(4)

2对齿轮副分别承担的载荷为

(5)

在图1b中,第2对齿轮先接触,由于Δ>0,故在第1对齿轮副中产生间隙。此时,载荷分配系数

(6)

2对齿轮副分别承担的载荷为

(7)

考虑齿轮磨损后,几何侧隙的表达式可进一步推导如下。

当啮合点在图2所示的B1C段时

|Δ|=|h1(y)+h2(y)-[h1(y+pb)+

h2(y+pb)]|

(8)

当啮合点在DB2段时

|Δ|=|h1(y)+h2(y)-[h1(y-pb)+

h2(y-pb)]|

(9)

式中:y为接触点i和节点i′沿着啮合线的距离;h(y)为磨损深度;下角标1、2分别表示主动轮和从动轮。齿轮啮合原理如图2所示。

图2 齿轮啮合原理示意图

2 直齿轮磨损预测数值模型

齿轮在高接触压力的作用下,相互啮合的轮齿表面发生相对滚动和滑动。虽然大部分齿轮采用了油脂润滑,但是润滑状态通常为边界润滑或混合润滑,这表明啮合表面不能被润滑剂完全隔开,摩擦表面会产生金属间的直接摩擦。此时,相互啮合的轮齿表面在低速重载作用下,会形成材料的转移以及表层金属剥落,这种现象称为齿轮的磨损。

基于广义的Archard磨损方程

(10)

来模拟直齿轮的磨损,式中:V为材料的体积磨损量;S为相互啮合齿面的滑动距离;W为施加的法向载荷;H为观测表面的材料硬度;K为磨损因数,与润滑状态和磨损机理相关。

对于相互作用表面上的一个接触点i,Archard磨损方程可以表示为

(11)

式中:h为磨损深度;k为磨损系数,与润滑状态、磨损机理、材料硬度相关;p为接触点的压力。

由于齿轮啮合过程中磨损深度和滑动距离是实时变化的,因此式(11)可进一步转化为一般形式的磨损模型,其微分形式为

(12)

由于滑动距离是滑动速度v和时间t的乘积,因此式(12)可转化为

(13)

式(13)对时间t积分,可得到磨损表面上点i的磨损量

(14)

假定k是常数,并且在极短的时间内接触点i的表面压力pi和滑移速度vi保持不变,积分形式可转化为如下形式

(15)

式中:n是当前磨损次数;Δt是时间步长;N是每次磨损运行间隔的转数,在此期间齿轮轮廓将不进行更新;q是赫兹接触半径内的点数。

应用Winkler接触模型[8],可确定接触点i的表面压力

(16)

式中:a为接触半径;x为点j到啮合点i的距离;P为沿轴向施加的单位长度集中力载荷,由式(5)和式(7)确定;E*为等效弹性模量;R为2个圆柱的等效半径。式(16)中的间接变量计算公式为

(17)

(18)

R1=ia1=rb1tanβ1i

(19)

R2=ia2=rb2tanβ2i

(20)

(21)

根据齿轮啮合理论,可以确定接触点i的滑动速度

vi=(ω1+ω2)yi

(22)

yi=ii′=rb1(tanβ1i-tanφ)=rb2(tanφ-tanβ2i)

(23)

以上各式中:E1、E2、μ1、μ2分别为主、从动轮对应的弹性模量和泊松比;rb1、rb2分别为主、从动轮的基圆半径;β1i、β2i分别为啮合点i在齿轮1和齿轮2上对应的压力角;φ为啮合角。这些参数如图3所示。

图3 啮合点与节点位置关系图

3 算 例

表1列出了齿轮对的参数,将其应用于渐开线精确建模的方程,可确定齿对单位宽度上时变啮合刚度k(t)[9],结果如图4所示。根据文献[10]可知,啮合刚度对早期齿面磨损不敏感,因此本文不考虑磨损对时变啮合刚度的影响。

表1 齿轮参数

图4 单、双齿的时变啮合刚度变化曲线

定义磨损次数为150,从第n-1次磨损到第n次磨损之间,齿轮转过的转数N=1 000,并且在1,2,…,N的任意一转中,齿轮的轮廓是恒定的,啮合点的压力和速度都相等。

图5和图6所示分别为在经过n次磨损后,主动轮和从动轮齿廓上的磨损深度,为了便于图形清晰,只给出了10,20,…,150次磨损后的结果。图中:横坐标代表啮合点与节点间的距离,节点处的坐标值为0,负值表示基圆到节点段的啮合点与节点间的距离,正值表示节点到齿顶圆段的啮合点与节点间的距离;对应图2所示的啮合原理示意图,B1点为啮合起点,B2点为啮合终点。

由图5和图6可知,节点处的磨损最小,齿根处的磨损大于齿顶的磨损,主动轮(小齿轮)的磨损大于从动轮(大齿轮)的磨损,这与文献[11]得到的结论一致。

图5 主动轮n次磨损后的磨损深度(n=10,20,…,150)

图6 从动轮n次磨损后的磨损深度(n=10,20,…,150)

由于本文还考虑了时变啮合刚度和齿间载荷分配的影响,所以在这2个因素的作用下,啮合点在单双齿啮合区的转换处没有出现“断崖式”的突变,而文献[1]中当啮合点处为平均压力时,转换处出现了突变现象。在单双齿转换处的磨损有微幅的波动,节点到齿顶的磨损分布较均匀,而齿根到节点的磨损变化较剧烈。

图7所示为采用本文磨损模型和Flodin磨损模型,在同时考虑载荷分配时的主动轮磨损量分布,可见结果非常接近。Flodin磨损模型已通过试验验证[12],证明了其科学性和准确性。

图7 主动轮第150次磨损后本文模型与Flodin模型的计算结果对比

图8和图9是磨损次数为150次时,考虑载荷分配和未考虑载荷分配的齿面磨损分布图。由图可知,齿轮磨损趋势大体相同,但是磨损深度有所不同:在A点(即刚进入啮合的位置),考虑载荷分配的磨损量小于未考虑载荷分配的磨损量;在B点(即单双齿啮合转换的位置),考虑载荷分配的磨损量略大于未考虑载荷分配的磨损量。从动轮存在同样趋势,不再赘述。

图8 主动轮第150次磨损后的磨损深度

图9 从动轮第150次磨损后的磨损深度

图10和图11所示为主动轮啮合位置A和B处的磨损量变化图,从中可以看出:随磨损次数的增加磨损量逐渐增大;在啮合点A,考虑载荷分配的磨损量小于未考虑载荷分配的磨损量;在啮合点B,考虑载荷分配的磨损量大于未考虑载荷分配的磨损量。从动轮的磨损情况存在同样的趋势。

图10 啮合点A的磨损量变化

图11 啮合点B的磨损量变化

图12 n次磨损后齿对1的时变动态载荷(n=10,20,…,150)

由于在2个齿轮对的载荷分配过程中考虑了间隙和时变啮合刚度的影响,所以由图12和图13所示的载荷图可以看出:在刚进入啮合时(啮合位置A),齿对1承担的载荷随磨损次数先减小后增大,而不考虑载荷分配时齿对1承担的载荷是恒定的,因此考虑载荷分配时的磨损量小;在单双齿转换处(啮合位置B)动态载荷超过了平均载荷,因此考虑载荷分配时磨损量大;在快要啮出时,齿对1承担的载荷随磨损次数先增大后减小,因此考虑载荷分配时的磨损量也呈现先增大后减小的趋势。

从图12和图13还可以看出,随着磨损次数的增加,载荷的波动幅值变大,在单双齿转换处的突变也越来越明显。这是由于每次磨损后齿轮的间隙变大,从而引起载荷的重新分配,而载荷变大又会引起磨损量的增加,因此载荷和磨损是耦合增加的。

图13 n次磨损后齿对2的时变动态载荷(n=10,20,…,150)

4 结 论

本文考虑了磨损对齿廓表面几何形状的影响,推导了几何侧隙下的齿间载荷分配公式,并以此为基础,引入Archard磨损模型和Winkler弹性力学模型,建立了更加符合实际的低速重载齿轮的磨损量计算模型,以期为减小齿轮振动冲击提供一种途径。通过研究,得到以下结论:

(1)节点处的磨损最小,齿根处的磨损大于齿顶的磨损,主动轮(小齿轮)的磨损大于从动轮(大齿轮)的磨损;

(2)在单双齿转换处的磨损有缓慢微幅的波动,无突变现象;

(3)节点到齿顶的磨损分布较均匀,而齿根到节点的磨损变化较剧烈,因此重点应该关注齿根附近的磨损;

(4)随着磨损次数增加,传递载荷波动变大,这又会进一步加大磨损量,因此两者是耦合增加的。

参考文献:

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