杨寒彪 梁婷婷

[摘 要] 特征值与特征向量在现代科学中有十分重要的应用，作为线性代数的基础，它在理论和实际生活中都有着重要的作用，很多理工学科都和它息息相关。介绍特征值与特征向量的定义以及性质，在此基础上给出了特征值与特征向量在理工科领域中的应用，如求主应力和K-L变换的人脸识别中的应用。当然，矩阵的特征值和特征向量的内容很广泛，仅就特征值和特征向量的一些应用展开研究。

[关 键 词] 特征值；特征向量；K-L变换；主应力

[中图分类号] O151.21 [文献标志码] A [文章编号] 2096-0603（2018）19-0107-03

第1章 特征值与特征向量的定义和性质（来源为《线性代数》，同济大学，p9）

“特征”词汇来自于德语的eigen。1904年数学家希尔伯特首先在这个意义下使用了这个词，更早数学家亥尔姆霍尔兹也在相关意义下引用过该词。eigen一词也可翻译为“自身的”“特定于……”“有特征的”或者“个体”——这强调特征值对定义特定的变换有多么重要。假设A是p阶方阵，若对一个数λ，存在一个p维非零向量x，使Ax=λx。则称λ为A的一个特征值或特征根，则称x为A的属于特征值λ的一个特征向量。则依该定义有（A-λI）x=0，而x≠0，则故必有

上图画出某一数据集上各个本征值大小的例子，我们可以看到前三个本征值即前三个主成分的方差占了全部方差的大部分，我们可以根据这样的本征值图谱来决定选择几个主成分来代表全部数据。很多情况下，可以事先确定希望新特征所能代表的数据总方差的比例，然后根据式（2-20）来试算出适当的k。

选择相对较少的主成分来表示数据，不仅可以用作特征的降维，还用来消除数据中的噪声。一般在本征值谱中排列在后面的主成分（有人称之为次成分）一般代表着数据中的随机噪声。此时若把ξ中对应本征值的很小的成分当做0，再用式反变换回原空间，则实现了对原始数据的降噪。PCA（主成分分析）可以将n个特征降维到k个，可以用来进行数据压缩，例如100维的向量最后可以用10维来表示，那么可知压缩率为90%。

（三）K-L变换用于人脸识别

在图像处理技术中，脸部图像的处理可以看作分量为每个像素辉度的向量。该向量空间中的维数是像素的个数。标准化面部图形的一个大型数据集合的协变矩阵的特征向量称为特征脸。它们对将任何面部图像表达为它们的线性组合都非常有用。特征脸提供了一种用于识别目的的数据压缩的方式。这个应用中，通常只取最大那些特征值所对应的特征脸。

在图像处理问题中用K-L变换或主成分分析来进行提取特征。人脸识别是指通过人脸的图像在一组候选的人中识别出这个人是谁。下面介绍本征脸方法，这个方法由Turk和Pentland提出。

并从前向后选取所希望数目的本征脸，也就构成了新的特征空间。原图像样本在这些新特征方向上的投影构成了对原图像的降维表示。根据K-L变换的性质，当前这种降维表示是在所有相同维数的线性表示中误差最小的。

一般，选取本征向量的个数k可以根据上式的比例来确定。若要保持原数据中90%的信息，则我们可以从1渐增到k，直到α大于等于90%为止。对128×128像素的人脸图像我们只需要很少几个本征脸就能比较好地表示和分类，这里大大压缩了特征维数。每幅图像在这k个本征脸上的投影系数就是样本的新特征，我们可以通过后续的操作实现对人脸的识别。

设样本xi在本征脸空间中的表示是yi= [yi1，…，yik] T，μ是原空间中样本的均值向量，则由所选择的k个本征脸可以重构出原始的图像。

第3章 应用分析

主成分分析（Principal Component Analysis，PCA），是一种统计方法。通过正交变换将一组可能存在相关性的变量转换为一组线性不相关的变量，转换后的这组变量叫主成分。整个PCA的过程就是求协方差的特征值和特征向量，然后做数据转换。在模式识别问题中应用主成分分析方法，我们知道每一个主成分所提取的信息量可用其方差来度量，其方差Var（ ）越大，表示该特征包含的信息越多。所以首先使用样本估算协方差矩阵，求解其特征方程，得到特征值与特征向量，协方差矩阵的特征根是主成分的方差，而特征向量的方向即为各个主成分方向，选择适当的主成分作为样本的新特征，将样本投影到这些主成分方向上进行分类或聚类。在特征提取中，K-L变换的最基本形式的原理与主成分分析是相同的，但K-L变换能考虑到不同的分类信息，实现监督的特征提取。主成分分析可以用来进行降维、消除数据中的噪声，并进行数据压缩。

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