范家骅，祁 伟，戴 清

（中国水利水电科学研究院，北京 100048）

1 异重流潜入及其工程问题

异重流的形成是两种不同密度的流体相遇时，在一定条件下较重或较轻的流体从有压水流或无压水流向另一种不同密度的流体开始过渡到分层流（异重流）的相对运动过程。需要研究的问题是：从非分层流过渡到分层流需要遵循哪些条件。这种过渡现象即在潜入点下游形成底部异重流流动，或称之为异重流浑水楔。

（1）水库入口处。洪峰期间或非汛期挟沙水流进入水库末端回水区，流至一定的水深处潜入库底形成底部异重流，即异重流浑水楔。潜入点下游浑水楔长度随洪峰历时而变，洪峰历时短时，浑水楔流不到坝址，全部淤在水库内；洪峰历时长时，可通过坝底孔排出部分泥沙；而潜入点上游壅水区会形成三角洲泥沙淤积并导致河段水位抬高［1-2］。

（2）盲肠河段与河道的交汇处（船闸和引航道）。河道挟沙水流与盲肠河段内静止水体相遇因密度不同产生相对运动（即所谓交换水流），挟沙水流潜入底部并流进盲肠河段，同时上层清水则自盲肠河段流出进入河道。由于河道含沙水流这样持续不断地进入盲肠段而造成盲肠河段的累积淤积。

（3）河道交汇处。河道主流含沙量大于支流含沙量时，主流浑水潜入支流形成底部异重流并向支流上游方向运动，且上溯至一定距离，形成一段具有一定长度的浑水楔；而当支流含沙量大于主流含沙量时，支流浑水则潜入主流，也形成底部异重流和具有一定长度的浑水楔。工程设计或研究的内容主要为楔内泥沙沿程淤积和淤积处理方法。

（4）河口与海域的交汇处。海区盐水与河道水流在河口处相遇，在一定条件下会形成向上游的盐水楔运动；而盐水中含沙量较大时（受海滩风浪掀沙影响），上溯水流与河道水流相遇，在一定条件下会形成含沙分层运动的浑水楔，浑水楔沿程泥沙淤积会抬高航道底高，需挖除淤积碍航泥沙，才能保持一定航深的航道通航。另外河道挟沙水流流出河口，因其含沙量较小，浑水密度小于海水密度，浑水会向海面扩散，形成上层异重流。

2 潜入现象研究回顾

异重流潜入现象的水槽实验、水力理论分析和模型数值计算工作，国内国外不少学者进行过研究，以下将分述和回顾各家研究成果；同时本文还将着重于浑水异重流在等宽水槽内的现象，在笔者先前工作的基础上做进一步的分析，与前人工作进行对比，以获得对异重流潜入现象进一步的认识，并对潜入现象的水力分析中若干问题进行讨论，为工程设计中水力计算提供参考［1-2］。

2.1 水库壅水区浑水潜入点实验 浑水异重流潜入点水槽实验有范家骅［3］、芦田和男［4］、曹如轩［5］、曹如轩与钱善琪［6］、俞维升［7］、姚鹏与王兴奎［8-9］和焦恩泽［10］等。笔者分别在宽15 cm水槽和宽50 cm水槽内进行过浑水潜入实验，异重流潜入过程如图1所示。

水槽实验中一般观测记录潜入点的水深、含沙量、流速以及潜入点潜入后交界面线的沿程变化，并进行部分测次若干断面的含沙量垂线分布和流速分布的测量。对潜入点测定数据进行量纲分析，可获得潜入点断面密度Froude数Fp的值。根据Schijf和Schonfeld［11］的异重流双层渐变流方程，潜入点水深过渡到潜入点异重流水深之间会存在一个交界面线的拐点，该处密度Froude数等于1；而潜入点水深大于该处临界密度Froude数中的水深，故可见潜入点处密度Froude数Fp小于1。资料分析得潜入点处密度Froude数：

图1 异重流潜入图

式中：up为异重流潜入点流速；hp为潜入点水深；g′=(∆ρ/ρ)g。1961年笔者又在长50 m、宽0.5 m、高2 m水槽内进行异重流潜入点实验，进沙粒径d90=0.0145～0.05mm，d50=0.0055～0.008 mm，观测沿程浑水水深、含沙量和泥沙粒径的变化，4次实验后得Fp=0.58～0.66。

芦田和男［4］进行浑水实验，分析得：其中hp为潜入点水深；S为底部比降；q为单宽流量。曹如轩等曾对上式利用他们的实验资料进行比较，其系数大于芦田和男的0.365，一般在0.4～0.57之间，平均值为0.44。

曹如轩［5］利用3个水槽进行含沙量6.5～715 kg/m3的浑水潜入实验，其中根据含沙量在30 kg/m3以下的资料得：而浑水含沙量大于100 kg/m3时Fp值较小，且随着含沙量的增加Fp值减小。含沙量在100～360 kg/m3时，Fp=0.4～0.2。曹如轩等对含沙量高且流体黏滞系数大的高含沙水流，利用Bingham体有关参数和流体阻力系数联系来分析潜入点密度Froude数与含沙浓度的某种关系，分析得到符合实验数据变化趋势的结果。曹如轩与钱善琪［6］进行含粗沙高含沙量潜入点水槽实验，得到与低含沙量潜入类似的Fp值结果。俞维升［7］用高岺土和石英沙挟沙水流以及盐水进行潜入点水槽实验，观察到潜入点向下游移动至一定处趋于稳定的现象，且平均Fp≈0.71；同时通过沿程流速测量与分析，计算得潜入后异重流流量沿程增加的现象。姚鹏与王兴奎［8-9］在长而宽的水槽内进行4种底坡的浑水异重流潜入点试验，槽宽1.2 m、长63.8 m，观察到潜入点Fp值因底坡加大而降低，变化范围在0.67～0.57之间。焦恩泽［10］进行不同含沙量（12～479 kg/m3）的潜入点水槽实验，其中大量试验为高含沙量异重流实验。同曹如轩实验类似，Fp值随含沙量增加而变小，并利用Bingham体参数与潜入点建立一定关系。范家骅［12］考虑小浪底水库的含沙量范围可用曹如轩、焦恩泽等人的高含沙异重流潜入点数据，并采用量纲分析方法，得到含沙量在400 kg/m3以下范围内的Fp平均关系为Fp=0.9c0.1，c为含沙量。

近年来国内关于水库潜入点Fp的研究公开发表的论文近20余篇，主要为小浪底水库高含沙量异重流的控制运用中进行异重流潜入点参数的研究，并对包括小浪底水库及其它水库的观测资料、水槽实验和模型试验资料进行有关水沙因素与Fp的影响分析。如李涛和张俊华等［13］、李书霞等［14］、李涛和夏军强等［15］的研究，可见在高含沙量异重流潜入点处，Fp参数与含沙量值有一定影响。

各家实验结果以及浑水模型、数值计算结果列于表1。

表1 浑水异重流潜入点水槽实验、数值计算与水力分析

2.2 盐水与冷热水潜入点实验 除了浑水实验，尚有利用盐水和冷热水模拟浑水进入水库壅水区潜入的水槽实验，有Keulegan［17］、Singh与Shah［18］、Itakura与Kishi［19］、Fukuoka等［20］、Kan与Tamai［21］等人的盐水实验，以及Farrell与Stefan［22］、Akiyama与Stefan［23-24］等人的冷热水实验。各家实验结果列于表2。

Keulegan［17］进行无潮河口盐水水槽实验，观测进槽的盐水异重流前锋加速运动规律。令进口水深即为潜入点水深，以hp表示；异重流前锋速度以ud表示。用资料分析可得：hp=2hd且0.57，故有

表2 盐水和冷热水潜入点水槽实验

Singh与Shah［18］用盐水在水槽内进行了异重流潜入实验。水槽长14 m，宽0.4 m，进槽单宽流量0.5～135 cm2/s，密度差为0.0005～0.013 g/cm3，异重流水深为1.5～17 cm，潜入点水深3～22.5 cm，水槽底坡S为0.005～0.02。他们使用量纲分析潜入点水深Re（Reynolds数）和底坡S诸因素的函数，并点绘潜入点水深与Re和S底坡的关系，表明在Re=600～11000以及S=0.0056～0.0215之间，此两因素对潜入点水深无多大影响；在低流量和高密度的某些测次，水面有明显的分界线，但未观测到有向下游流动的异重流，这些测次的值小于2 cm，均未包括在分析之中。最后分析对较大值有：

以密度Froude数Fp可表示为：

Fukuoka等［20］在长6.9 m、高0.9 m、宽0.20 m水槽内进行盐水潜入点实验。槽底比降为1/10的实验7次、比降1/60的实验7次，观测潜入点交界面形状、流速分布、盐分分布等；并分析点绘潜入点水深与的关系；还加入石桥和岩崎在水库中数次实验数据，得平均值：Fu⁃kuoka等认为他们的实验结果与他们在文中介绍Benjamin的理论分析结果接近，并计算出掺混系数E在0.046×10-2～1.8×10-2之间，还点绘实测和计算的沿程交界面高度的变化。

Kan与Tamai［21］在槽长6 m、高0.9 m、宽0.3 m、底坡为0.1～0.25的水槽内进行盐水异重流潜入实验，进槽盐水密度为1.00006～1.056 g/cm3，q=2.4～2.5 cm3/cm，得潜入点Fp平均值0.63，此值系26次数据0.45～0.92的平均值。

Farrell与Stefan［22］应用k-ε模型计算了潜入点水流现象，并进行了水槽冷热水实验。槽长40呎、宽16.5呎、底坡S=0.047，观测潜入点处水深、流速和温度差以及潜入区下游异重流水深、流速及温度等。实验共进行7次，实验资料分析得：Fp=0.69。实验还观测了1次掺混系数：式中Qm为异重流流量，Q0为进槽流量。

Akiyama与 Stefan［23-24］在槽宽61 cm、深30.5 cm且具有一边扩展角1°、3°和7°的水槽内进行冷热水异重流潜入点实验，研究槽宽扩宽对潜入的影响，实测获得Fp=0.56～0.89之间，平均值为0.68；实验中还测得潜入点下游异重流水深hd和潜入点水深hp的比值在0.65～0.9之间；并实测掺混系数γ＝0～0.31，掺混系数的定义为Q0为进槽流量，Qd、Qp分别为异重流流量和潜入点流量。该文中点绘Fp和F0的关系，可看出在1°时，Fp在0.6～0.7之间；3°时Fp=0.65～0.8之间；7°时Fp=0.6～0.8之间；总的范围在0.6～0.8之间，可见F0对Fp的影响不大。关于此关系，Stefan与Johnson［25］在他们论文中补充了扩展角3°共计5个新的测点，点绘在一起，显示Fp与F0和δ两者无多大关系。

2.3 “交换水流”浑水及盐水潜入实验与水力分析 引航道口门浑水潜入形成浑水楔、船闸盐水交换以及无潮河口入海处含盐水流潜入河口段形成盐水楔示意图见图2。

图2 引航道河口门异重流潜入图

这类船闸“交换水流”潜入实验的研究重点在于：求取船闸闸门打开后盐水进入储有清水的船闸时潜入形成底层水流的盐水和前锋速度两者的关系，可用密度Froude数的值表示，式中符号：前锋速度uf（即异重流流速ud），河口水深H（即潜入点水深hp），清水与盐水的密度差∆ρ/ρ。

进行相关理论分析和盐水实验工作的有O'Brien 与 Cherno［26］、 Yih C S（易 家 训）［27］、Keulegan［28］、Middleton［29］、Rozovsky［30］、Kersey和 Hsu［31］、 Lam［32］、Barr［33］、Rottman 与 Simp⁃son［34］。利用浑水进行引航道异重流潜入实验的有范家骅［1］。此外陈国谦和李行伟［35］利用k－ε（BN6）模型进行了数值计算。实验结果与水力分析列于表3。

至于各家水槽实验，由于上下层水深不同以及交界的阻力系数的影响，Fp值略大于或略小于0.25。

水库壅水区和引航道口门这两类异重流潜入，因为潜入处的几何和水流条件不同，主要由于上层水流流速ua值在水库中很小，分析时可忽略不计；而在引航道中ua接近ud。故两者的潜入点密度Froude数Fp有差异。综上所述：水库中Fp在0.5～0.8之间，引航道中Fp在0.25左右。

表3 船闸交换水流盐水、浑水实验与水力分析

3 异重流潜入现象的理论分析成果

3.1 von Karman的理论分析成果 von Karman［36］应军事部门的求询，讨论一种理想流体模型。图3为较重液体ρ2在较轻液体ρ1中运动，考虑较轻液体在无限深度假设前提下，推导下层较重液体恒定运动的流动速度c1。

von Karman应用A点和B点的Bernoulli方程：

在以一定速度运动的框架之中水流为恒定，因为相对于这框架，水流为静止：

因此有：

3.2 Benjamin的理论分析成果 Benjamin［37］认为von Karman利用能量方程并忽略滞流点前端头部高密度水流受到与上层水流混合的能量损失是不能接受的，虽然Benjamin的推理得到同样的c1结果。易家训［38］的看法是von Karman虽然在这一点上是一个疏忽，但使用Bernoulli方程所取上下游两点，如果在上游的点取的位置更上游一些，下游的点更下游一些，使用Bernoulli方程则无问题。

Benjamin分析两平板之间的空穴流的空穴移动速度，分析中忽略黏性和表面张力，上游无穷远处水深为d，流速为c1，下游无限远处水深为h，流速为c2。概化图见图4。

沿表面的Bernoulli方程，O点表面的压力为零：

无限远处的压力p0：

上下游远处的断面压力分布为静水压力分布，动量守恒方程为：

图3 von Karman异重流概化图

图4 Benjamin空穴流概化图

连续条件为c1d=c2h，解得：

其次Benjamin考虑水流的能量损失：假定水流有水头损失，流速c2在很远的下游会变成均匀流，定义Δ为水头损失，则有：

此式与力平衡所得的下式：

相等，可得：当h＜0.5d时，Δ为负值，故在实际中不能发生。利用以上各式，可得当h＞0.5d时，有：

3.3 Singh和Shah的理论分析成果 Singh和Shah［18］除了进行盐水潜入点水槽实验外，还用动量方程分析潜入现象，动量方程为：

式中：左边代表动量的改变率，β1和β2为动量系数；v1和v2为两断面的平均流速；P1和P2为两断面的压力；F1和F2为底部和交界面的剪力阻力；Ws为两断面间液体重量的分力。

Singh在分析中作出如下假定：水压力为静水压力分布；每一点的水流方向平行于槽底；潜入长度L和底坡S均为小值，故第2断面总水深等于第1断面的水深，即潜入点水深；交界面上的阻力F2假定平行于槽底。概化图见图5。

为简化分析，忽略F1、F2和Ws小值，可得：

对上式的分析采用三种简化：第一种是忽略潜入点断面与下游异重流断面之间底部阻力和交界面阻力，并忽略动量流速分布系数，得：第二种考虑动量流速分布系数，计算得该系数β1和β2等于1.18，则：第三种考虑潜入点潜入区距离之内的底部和交界面阻力的影响，Singh从均匀异重流中计算得平均总阻力系数f为底部阻力系数与交界面系数之和，其值为0.13，最后得：

Singh按三种关系式计算的潜入点水深值同实验测得的潜入点水深值点绘在同一图上对比，显示三条平均线在水深较小部分计算值偏大，在水深较大时则偏差较小。

3.4 Savage和Brimberg的理论分析成果 Savage与Brimberg［39］采用类似Benjamin的方法分析潜入点的水力特性。应用Bernoulli原理，分析恒定二维两种密度ρ1和ρ2的流体，断面1处于潜入点上游远处，流速为u1，水深为h1；断面2处于潜入点的下游远处，流速为u2，水深为h2。概化图见图6。设

O点为滞流点，沿自由水面的O点的上游应用Bernoulli原理；其次应用Bernoulli原理自O点沿交界面下游；并设在潜入点上游相当远处和下游相当远处水压力为静水压力，运用动量平衡方程可导得：

图5 Singh潜入点概化图

图6 Savage潜入点概化图

令潜入点水深h1即为hp，可表示为：

Savage用以上推导的关系式同Singh的潜入点实验水深比较，两者较接近，但测点分散。实验数据显示除以外尚有其它参数的影响，如底坡和交界面剪应力。Savage考虑到第一部分的水力分析工作忽略了底部比降和剪应力，故利用Schijf与Schonfeld［11］的双层渐变流一维运动方程来分析潜入点现象，分析中令水流为恒定及上层流速为零，对动力方程进行数值计算。

Savage为了定性描述潜入点下游的交界面形状，利用底层渐变流方程，将潜入点处的底部作为坐标零点，垂向坐标z代表水深，纵向坐标为距离x，推求渐变流方程的解。这样就类似于明渠渐变水流，可分为数种水面线类型。

从潜入点起向下游的交界面线在缓坡和急坡情况下可能出现的是接近M2和S2的曲线。数值计算的结果可建立Fp为f，α和S（底坡）的函数。对于缓坡有：

上式是在f=0.01～0.09，α=0.2～0.8，α=fi/f以及缓坡范围内的计算结果。

而在急流条件下，计算表明其性质与缓坡情况类似。但有一点不同，当潜入点密度Froude数为Fp=0.8至0.845时，交界面曲线出现剧烈变化。Savage分析Singh的实验资料，其潜入点Fp值小于0.8，在0.3～0.8之间，点绘的关系线，并以参数Fp=0.3～0.8作直线，测点绝大部分在Fp＝0.3～0.8线的范围之内。

3.5 Jain的理论分析成果 Jain［40］著文检验Savage的论文，提出一些不同意见。他认为用能量方程于潜入点附近的水流在物理上是不可能的。潜入点附近的能量耗损不可忽视，因此他利用动量方程和能量方程（考虑能量损失Δ）进行分析，概化图见图7。并得到以下关系式：

图7 Jain潜入点概化图

Jain指出Savage和Brimberg的分析，F1＝0.5为以上关系式当HL＝0和且β＝0.5时的特解。Jain对Δ值作出的假定，表示β与的相应关系。Jain计算出在不同β值时动量方程的解，并且指出对于某一已知β值存在一个F1的极大值（F1max），大于此值时不能发生潜入现象。

Jain的论文第二部分分析交界面曲线的计算，认为积分的方向是敏感的，计算应从控制断面算起。他利用Schijf与Schonfeld［11］的双层渐变流的一维方程进行计算，并假定其上层水流的平均流速为零。上层水面为水平，水深为a1，下层水深为a2，在潜入点处a1=0，如图5所示图形。可得：

上式仅包含两个无量纲参数λ和ηc，可用不同的λ和ηc值和不同下游条件求得数值解，其积分是从下游控制断面向上游方向计算。

对缓坡的计算，设一定的阻力系数α=0.5、λ=1 3和ηc＜1（即临界水深小于正常水深，如ηc=0.5）以及若干下游条件向上游进行积分。所求得的对于大范围的下游条件的交界面曲线在潜入点附近连接，且潜入点水深值与下游边界条件无关。但当积分是从上游向下游进行计算，即使很小的差别，却会造成不同的交界面曲线。

对陡坡（ηc＞1）计算两种典型的交界面曲线ηc=1.3以及λ=1 3（α=0.5），交界面曲线S1和S3均为缓流。

对于潜入水深，无量纲潜入点水深ηp仅为ηc和λ（或α）的函数，有下列近似关系：

3.6 朱鹏程的理论分析成果 朱鹏程［41］首先对异重流潜入条件按以下概化图形（见图8）进行了理论分析，得：

得：

曹如轩等［5］用同样方法，得上述相同公式。朱鹏程注意到上列动量方程导得的方程类似水跃前后的共轭水深，因此其间须经过临界水深。他认为要产生共轭水深，Fp必须小于1且Fd必须大于1。

芦田和男［4］对异重流潜入现象进行分析和浑水实验，求解潜入点水深。解得：

3.7 Akiyama和Stefan的理论分析成果 Akiyama与Stefan［42-43］分析潜入现象时，首先利用动量公式并引进掺混系数γ，推导潜入点密度Froude数与潜入点下游异重流厚度等因子的关系。

图9概化图形中的CVⅠ动量方程假定可忽略混合区的底部阻力以及忽略比降的影响，得下式：

他们定义掺混系数γ（水库清水混入底部异重流的水量）：

CVⅡ的动量方程：

图8 朱鹏程异重流潜入点概化图

图9 Akiyama异重流潜入点概化图

以上两动量方程合并，得：

式（19）中Fd为潜入点下游的异重流密度Froude数，此式表明Fd和和γ的关系。

为了分析潜入点水沙因子与底部阻力、交界面阻力以及下游异重流的影响，Akiyama作出假定：潜入点下游异重流在急坡时Fd等于临界值；在缓坡时Fd等于正常值Fn。他们利用Ellison与Turner［44］的具有掺混系数的异重流缓变方程，求解缓坡和急坡时的与掺混系数、阻力系数、底部比降以及异重流流速分布系数的关系式。由于所求得的关系式中阻力系数与掺混系数的各项关系式过长，为了同Singh等人实验资料做比较，Akiyama假定在进口处无掺混现象，即γ=0，故得下式：

缓坡：

陡坡：

式中的异重流流速分布系数采用Ellison与Turner的实验值。（Ellison与Turner用盐水做实验所得流速分布系数S1、S2值远较Parker等［45］浑水异重流实验测得值为小）。Akiyama将此两式与Singh的盐水潜入实验资料进行对比，实验值与计算值符合。

3.8 Parker和Toniolo的理论分析成果 Parker和Toniolo［46］专门针对Akiyama与Stefan的论文［43］提出意见。他们指出：Akiyama文中在分析阻力系数和底部比降等影响时所假定潜入点下游的异重流运动在缓坡时的Fd值为正常值、在急坡时的Fd值为临界值是错误的，也是没有必要的。他们认为Akiya⁃ma的分析，用两种CVⅠ和CVⅡ的动量守恒方程就足以阐明hd和hp的关系，而且能得到Fp和Fd两者仅为掺混系数γ的关系式。

Parker分析CVⅠ的动量方程，导得以下两式：

当γ=0时，式（22）可得与朱鹏程推导相同的式（16）。

从式（22）可计算k为Fp和γ的函数，如果hp、up、εγ（来水密度以及γ为已知，则hd、ud和εd（异重流密度可从式（22）、连续方程求得。

Parker根据CVⅡ的动量方程，导得：

将式（24）代入式（22）

Parker认为利用CVⅡ的动量方程，有了式（24）就可直接计算Fp，如仅有CVⅠ的动量方程，所求得的式（22）还须先知道Fp和γ（或Fd和γ）用于计算k值，而用CVⅡ动量方程求得的式（24）和式（25），Fp和k两者可从已知γ时求得。

4 异重流潜入现象的数学模型计算成果

方春明等［16］对水库异重流潜入条件采用动量方程分析得：

根据两种概化图形，利用能量方程和动量方程进行理论分析，探讨了异重流在水库中潜入点密度Froude数小于1的水沙条件。方春明等还建立了二维水流和悬沙数学模型进行数值计算。为检验模型结果，选取曹如轩9组水槽潜入点实验所测资料进行对比计算，计算得Fp=0.48～0.77，与实验Fp=0.45～0.75比较，两者接近。而且他们对影响水流和泥沙模型计算结果的几个因素进行了潜入点流态和潜入点水深的对比计算；还计算了异重流潜入点的流场、清浑水交界面水深的纵向变化以及水面线的纵向变化，发现在壅水区水面线在潜入点附近出现倒比降。此计算结果与Savage提出的异重流潜入现象分析的概化图形中下游断面水位隆起高度Δ在定性上相符。

Farrell与Stafan［22，47］对水库中异重流潜入现象用k～ε模型进行计算，模型包括水流动量方程和温度方程，共进行12次紊流模型方程计算，得，即Fp=0.5。潜入点水深与Singh和Shah、Farrell和Stefan的实验数据系数1.3相比大20%，Farrell和Stafan尚难解释其差别的原因；其次这12次计算中，计算初期混合系数（用符号γ表示）在0.028～0.19之间，γ的变化可用下式表示，Q0为进槽流量，Qd为异重流流量。

Bournet等［48］的异重流潜入数值模型计算，应用水流动量方程、k-ε模型以及温度输移方程，计算流速场和温度在等宽槽和水槽其中一边扩展一个小的角度（1°～7°）两种情况下的分布。在等宽槽的计算中引进掺混系数，其值在0.005～0.012之间，计算得潜入点水深此式hp计算值较Singh实验值大些。

表4 水库异重流潜入点理论分析与数值计算

表5 引航道口门异重流潜入点理论分析

以上各家理论分析和数值模型计算成果，汇总列于表4和表5。有关浑水异重流潜入实验结果分析，将在本文第Ⅱ篇中给予介绍。

参 考 文 献：

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