曾小林，黄一缘

(1.重庆工商大学 数学与统计学院， 重庆 400067；2.北京师范大学 数学科学学院，北京 100875)

0 引 言

Borel可测集(简称Borel集)是在高等概率论、实变函数、测度论等课程中经常遇到的一个基本概念.简而言之，Borel集是Borel代数的任一成员的称呼，它被冠以测度论的开创人——Lebesgue的老师Borel的名字，显示其在测度论发展历史上的重要性.从数学史知道，概率论在柯尔莫哥洛夫的公理化体系下由于有了测度论的工具而得以深入发展[1].而Borel集和Lebesgue集是测度论最基本的概念，关于后者，许多文献已有详尽论述[2-3].也许是涉及Borel集的过多讨论会削弱Lebesgue集在测度论里的重要地位，一般文献对n维Borel集的构造问题涉及并不多，即使有少量讨论，也多是在一维情形下展开，且着眼于Borel集与Lebesgue集的关系进行的[4].为了加深对测度论基本思想的认识，改变初学者对有关测度论概念“晦涩难懂”的刻板印象，针对n维欧氏空间上Borel集的构造问题，提出几个具有测度论特色的结果加以详细讨论.主要是采用一种新的途径证明文献中已知的下述结果[5]：n维欧氏空间中任一开集都可表示成至多可数无限多个两两不交的n维左开右闭区间之并，然后以此为工具，给出n维欧氏空间上Borel代数的几个较小生成元.从某种意义上来说，本文可以作为“结构-目标”教学思想的一种实践[6].此外，文中引理2证明采用的分情形讨论的方法以及定理1证明采用的反证法比较浅显地例释了测度论和随机泛函分析中常用的方法，尤其是这些方法在随机赋范模上的分析学中也被经常使用[7].

以N表示正整数全体，Z表示整数全体.n维欧氏空间的概念是众所周知的，回忆如下：

定义1[8]定义映射ρ：Rn×Rn→R如下：

则(Rn，ρ)形成一个度量空间，称为n维欧氏空间，且度量ρ常常略而不提.

这里yi-xi称为该区间第i条边的边长.类似地，还可给出Rn中的开区间、闭区间、左闭右开区间等区间的定义，见文末注记1. 为了与一维的情形相区分，有时这些区间称为n维区间.

1 主要结果及其证明

定理1n维欧氏空间Rn中的任一开集都可表示成至多可数无限多个两两不交的n维左开右闭区间之并.

命题1Al中任意两个不同成员的交集为空集.

命题2 对任意l∈N，Rn可表示为Al中所有成员的并.

由x的任意性得

证毕.

为了证明定理1，需要下面3条引理.

引理1 对每个l∈N，集类Al都是Rn的一个可数无限划分.

证明由命题1，2立即得证.

引理2 设l1，l2∈N且l1

(i=1，2，…，n)都成立.等价地，

注意这两个不等式中l1，l2，mi均为已知，由此得到si必须且只需满足下列不等式：

(1)

下面用构造的方法来证明满足式(1)的整数si总是存在的.

对每个i=1，2，…，n，按上述方法构造si，必可使得D⊂E，证毕.

引理3 设G为Rn中的开集，x∈G，则对充分大的正整数l，Al中包含x的那个成员必定包含于G.

证明首先由引理1知对每个l∈N，Al中必有一个成员包含点x.下证对充分大的l∈N，该成员包含于G.

定理1的证明：设G为Rn中的任一开集，要证G可表示为Rn中至多可数无限多个两两不交的左开右闭区间之并.

由l0的定义知D⊂G是显然的.

注记1 用B(Rn)表示Rn中开集生成的σ-代数，称为Borelσ-代数(简称Borel代数)，且集类B(Rn)中的成员称为Borel集.以定理1为基础，利用σ-代数对可数交、可数并、取余集运算封闭的性质，可以证明下列集类生成的σ-代数都是B(Rn)：

常称C1，C2，…，C8为Borel代数B(Rn)的较小生成元.

C1={(a，b)：a，b∈Rn且a

C2={(a，b]：a，b∈Rn且a

C3={[a，b)：a，b∈Rn且a

C4={[a，b]：a，b∈Rn且a

C5={(-∞，b)：b∈Rn}

C6={(-∞，b)：b∈Rn}

C7={[a，∞)：a∈Rn}

C8={(a，∞)：a∈Rn}

2 结 论

利用n维欧氏空间中左端点形如mi/2l(其中mi为整数，l为正整数)且长度均为1/2l的那些特殊的左开右闭区间形成的集类Al的优良结构，综合运用实数域上的分区间讨论、不等式与拓扑技巧，首先证明了Al是n维欧氏空间的可数无限划分，且随着l变得越大Al变得越精细，以及对n维欧氏空间中任意开集中的任意一点来说，当l充分大时Al中包含该点的那个成员必定包含于该开集中.然后，在此基础上用反证法证明了n维欧氏空间中任一开集都可表示成至多可数无限多个两两不交的n维左开右闭区间之并.最后以此结论为工具，介绍了n维欧氏空间上Borel代数的几个较小生成元.需要强调的是，本文证明定理1的方法不同于文献[4]中给的证明，与后者比起来，本文的证明由于采用了集类Al而显得更加直观，更具有可读性.

参考文献(References)：

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[2] 胡适耕. 实变函数[M].第二版.北京：高等教育出版社，2014

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[3] 刘培德. 实变函数教程[M].第二版.北京：科学出版社，2012

LIU P D. Lecture Notes of Real Variable Function[M].2nd Edition.Beijing：Science Press， 2012

[4] 孟丽君，慕嘉.浅谈Borel可测函数及其性质 [J]. 甘肃联合大学学报(自然科学版)， 2010， 24(1)： 114-117

MENG L J， MU J. The Tray Talks about Borel Measurable Function and Properties[J]. Journal of Gansu Lianhe University (Natural Sciences Edition)， 2010， 24(1)： 114-117

[5] 唐建国. N 维欧氏空间中开集的各种区间构造[J].惠州学院学报(自然科学版)，2013，33(6)：37-39

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