陈诺

摘 要：近年来，创新试题总是经常出现在各地高考试题中，这类试题构思巧妙、材料新颖、导向明确，学生只有灵活运用所学数学知识和数学思想方法，才能有效的进行探究与分析，对出现的问题制定解决的方案，从而创造性地解决问题。

关键词：高考；创新试题；分析；解决方案

近几年高考数学试题突出了创新意识的考查，出现了大量的创新试题。何为数学创新试题呢？笔者认为数学创新试题是指相对于考生而言，在试题背景、试题形式、试题内容或解题方法，等方面具有一定的新颖性与独特性的数学试题，其基本目的在于培养或诊断考生的数学创新意识与创新能力。本文基于解题的思想方法，总结出高考数学创新试题的常见的三大类：数形结合思想、特殊与一般思想、化归与转化思想。在以2012-2014年全国高考理科数学试题为例评析的基础上，进行解后反新（即通过解题评析，达到反思创新）。

一、分布分析

二、典例评析

著名的数学家波利亚说得好：“数学问题的解决仅仅只是一半，而更重要的是解题之后的回顾与反思。”因此笔者对以下典例解答后，反思其解题思想方法的创新之处，即解后反新。以求达到对往后高考创新题在解题思想方法的创新上起到抛砖引玉的作用。

2.1 数形结合思想

例1（12北京8）某棵果树前n年的总产量Sn与n之间的关系如图所示。从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，m的值为（ ）

A.5 B.7

C.9 D.11

解题思路 由已知图象表示某棵果树前n年的总产量Sn与n之间的关系，可分析出平均产量的几何意义为原点与该点连线的斜率，结合图象可知n=9时，直线的斜率最大，即前9年的的年平均产量最高。

解后反新 本题以函数的图像与图像变化为载体考查了斜率的几何意义，其创新之处在于斜率考查方式的新颖性，考生需由斜率的几何意义入手，根据图像的变化情况，寻找斜率的最大值。对于函数及其斜率的几种不同表达方式，考生应当做到熟练转换，因此，本题在一定程度上考查考生数形结合的能力。

例2（12浙江理17）设a∈R，若x>0时均有

，则a= .

解题思路 易知 .因x>0时，

恒成立，令 ，

，即

恒成立，由于两个函数图像都过点 ，用数形结合思想知， 表示的直线斜率为正，且与x轴的交点

在抛物线 上（如图所示）.所以

，注意到a >1，解得 .

解后反新 本题考查含参数的函数不等式恒成立问题，其解法大多是“最值法”、“分离参数法”以及大学数学的二阶导数、洛必达法则求极限等知识和方法。而本题的创新之处在于其解题方法有相当的开放性与发散度，本题采用数形结合的思想，很好地考查学生灵活应用数学知识和数形结合的能力。

2.2特殊与一般思想

例3（12浙江理17）设a∈R，若x>0时均有

，则a= .

解题思路 由x在 的任意性，取x=2时，题目中的不等式任然成立，即 ，所以 ，

得到 .

解后反新 本题解题方法的创新之处在于用特殊值法去解含参数不等式恒成立问题，解法新颖、巧妙，很好地考查了特殊与一般思想.

例4（13福建15）当x∈R， 时，有如下表达

式：

两边同时积分得：

从而得到如下等式：

请根据以下材料所蕴含的数学思想方法，计算：

解题思路 设

，于是

，所以

解后反新 本题考查定积分、二项式定理等基础知识，利用特殊与一般思想解题.以往应用该思想方法大多是把一般問题特殊化，从而简化计算，最终解决问题.而本题的创新之处在于解题方法的独特性——一般化，在解答过程中先采用类比推理思想，将特殊问题一般化，再通过解答一般问题，反过来解答特殊问题，达到将特殊与一般的灵活转化，从而达到化难为易的效果.

2.3化归与转化思想

例5（13全国Ⅰ12）设 的三边分别为an，bn，cn，

的面积为Sn，n=1，2，….若b1>c1，b1+c1=2a1，an+1=an，bn+1=

，cn+1= ，则（ ）

A. 为递减数列 C. 为递增数列， 为递减数列

B. 为递增数列 D. 为递减数列， 为递增数列

解题思路 由题意可知

an+1=an=…=a1，因为

，所以

，

即 . 所以 是以 为长轴，以 为焦距，以Bn，Cn为焦点的椭圆的焦点三角形.又由于b1>c1，所以 的形状和位置如图所示：

因为

，所以 ，

当 时， ， .所以，点An的位置无限趋近于椭圆的短轴端点P，所以 的高hn单调递增，又因为 单调递增， 所以是递增数列。

解后反新 本题考查由递推公式求通项公式、新定义几何数列的单调性以及面积公式等数学知识。以往判断一般数列单调性的方法是作差法、作商法或求导法（数列问题转化为函数问题），本题的创新之处在于其解题方法的奇妙性，通过化归与转化将 转化为椭圆的焦点三角形，将求Sn的单调性转换成求以BnCn为底的 高的单调性，从而精简计算，体现化归与转化思想的巧妙与强大。

三、思考与展望

纵观近三年的高考理科数学创新题，不难发现创新试题重在考查对知识理解的准确性、深刻性及知识的综合灵活运用。它着眼于知识点新颖巧妙组合的同时，加强对解题思想方法的考查。数学思想方法是从数学内容中提炼出来的数学知识的精髓，是将知识转化为能力的桥梁，有着广泛的应用，是历年高考创新题结合考查的重点。

与此同时，近三年的高考理科数学创新题的解题方法大都以数形结合思想、特殊与一般思想和化归转化思想为主，在未来的高考创新题中应该给予适当的重视。

参考文献：

[1]马老二.高中数学创新题编拟研究[D].上海：华东师范大学.2007-5

[2]毛仕理数学高考创新试题剖析及复习建议[J].中学教研.2008-1.

[3]吴忠岭.2007-2012年高考新课标全国卷（理科数学）考点分布统计表.2012