李朋飞

（华北电力大学（保定）电力工程系， 河北 保定 071000）

1 理论基础

电子计算机断层扫描（Computed Tomography，CT）[1]利用样品对射线能量的吸收特性对生物组织和工程材料的样品进行断层成像，由此获取样品内部的结构信息。本文主要借助赛题中样品的数据建立相应的数学模型，标定CT系数的参数，并据此对未知结构的样品进行成像。根据附件一中可以确定的题中所给的椭圆模块与圆形模块是均匀的；附件二中接受信息的数值越大X射线的衰减程度就越大，穿过的模块也长度越长[2]。选取介质模板半径为4 mm的圆为研究对象，该圆心B在绕某固定点转动时其展开的投影图可确定为三角函数。

2 模型假设

1）X射线照射方向不变，模块以相同的速度绕该点转动；

2）假设X射线透射样品在探测器上得到的投影宽度最小的时候，射线方向与椭圆长轴平行；3）假设探测器单元之间两两间距相同；4）假设X射线每次转动角度相同；

5）假设X射线与正方形托盘平面绝对平行。

3 模型的建立与求解

3.1 模型一的建立与求解

根据CT投影原理可知附件二第A列至第M列、第DF列到FV列中圆形模块投影所得数据，最大值处即圆心B的投影位置点。以第150行为基准，每一列中最大值对应行数为一个B点绕旋转中心旋转所的得离散点并拟合即可得出B点旋转的正弦函数。如图1所示：

图1 Q点旋转所得正弦函数拟合结果

由图1拟合结果可知B点旋转投影函数

附件二中每一行代表一个探测器单元，每一列代表一个照射方向。选取附件二中第DF列到FV列在探测器上的投影，取出圆形模块做对应的探测器个数，计算平均值为28.8261，那么每一探测器单元数所对应的物理宽度d=8/28.826 1=0.2775 mm。以圆形模块圆心为基准点，根据模型分析，所拟合的正弦函数（1）的振幅即为圆点B绕旋转中心O所成圆周的直径，即为395.05 mm，经计算得旋转中心与圆形模块圆心之间的直线距离为54.813 0 mm。

将拟合图像放入同一坐标系中最后所得结果为图2。

图2 连线与水平线的夹角结果图（mm）

以图2中x轴正半轴为正方向建立极坐标系。X射线的180个方向分别对应该图2中的180个离散点，由于实际情况下i为整数，所以i=149，最终方向121.082°。

3.2 模型二、三的建立与求解

利用傅里叶切片定理，所有角度下的傅里叶数据组成一个在极坐标系里的二维傅里叶变换。将极坐标系栅格化，对利用二维插值方法得到直角坐标系中对应的值求二维傅里叶逆变换，即得到目标图像[3]。根据模型一的已知X射线的初始照射方向，根据X射线首次照射时的接收信息确定出该介质的初始相位[4]。通过傅里叶变换得到图形的旋转中心与托盘中求解出的旋转中心匹配，即可确定出介质与托盘的相对位置。将附件3中的投影数据进行恢复重构，即得到附件所对应的图像如图3所示。

图3 卷积滤波后的逆变换图像

对于问题三，由射影定理[5]可知旋转中心投影所对应的探测器单元为第256个。将其投影值置为0，在进行卷积反投影得出图像如图4。

图4 旋转中心投影置零对比图

由此得到旋转中心，将其以问题二类似的方法和托盘确定相对位置即可得到其位置信息，如图5所示，其中①点为旋转中心②点为托盘几何中心。

图5 未知介质的几何形状及位置信息

基于所构建模型，将原模块中的椭圆替换成与小圆圆心对称的半径为其二倍的大圆，两圆心关于正方形几何中心对称。探测器单元间距方法与原标参模型相同，但是由于两个模块相互影响较小，可以选取的数据点变多，拟合精度会提高，所得间距更接近真实值。

4 模型评价

本文的几何标参模型运用了CT投影定理，基于拟合的正弦图像，较好地求解了旋转中心的位置，准确地标定了相关参数。在傅里叶逆变换基础上建立起的反变换模型，是通过先卷积后反变换的方式进行的，引入滤波有效地降低了模块间断点的震荡效应，提高了反变换所得吸收率的精度。其缺点为：由于数据拟合的原因，误差大小在一定程度上受数据点数量影响。

[1]陈建林，闫镔，李磊，等.CT重建中投影矩阵模型研究综述[J].CT理论与应用研究，2014，23（2）：317-328.

[2]王浩.CT不完全投影数据重建算法研究[D].大连：大连理工大学，2008.

[3]王文发，刘彦保.傅里叶变换用于图像处理时的特性分析[J].延安大学学报（自然科学版），2006（3）：22-24.

[4]卢彦斌.X射线CT成像技术与多模态层析成像技术研究[D].北京：北京大学，2012.

[5]Baek J，Pelc N J.Gain correction for a CT system：US7734004[P].2010.