廖志轩, 汪中厚, 刘欣荣, 曹 欢, 孙奇楠

(上海理工大学 机械工程学院, 上海 200093)

齿轮作为传动系统中重要的基础元件之一，直接影响传动机构的可靠性、振动与噪声等性能指标。采用拓扑修形来改善齿轮的传动性能已成为一种发展趋势，而精确测量与评价拓扑修形齿面是提高齿轮质量的重要手段。

目前通过齿面测量数据对齿轮进行评价的方法主要有3种：第一种是SPC(statistical process control)方法[1-2]，该方法可以检测加工过程的稳定性，但没有分析加工误差的来源[3]；第二种是基于ISO1328.1的齿轮精度标准的评价方法[4]，该方法在评价齿形偏差与螺旋线偏差时仅以一条测量线的偏差来评价整个齿面的加工误差；第三种是GPS(geometrical product specification and verification)方法[5]，该方法尚处于起步阶段，对于复杂零件的应用还不成熟。现有的评价方法主要采用单项误差的评价方法，对拓扑修形齿面的评价尚不成熟[6]。

随着拓扑修形齿面技术的不断发展，齿面的整体形貌特征越来越复杂，为了更加全面地检测拓扑修形齿面的加工误差，王笑一、石照耀[7]提出了一种基于齿面全信息样本和统计分析方法的齿轮精度新指标的体系，可以完整地分析与评价拓扑修形齿面。林虎等[8]运用最小二乘法获得与实际齿面匹配的理论齿面，由此来求得齿面拓扑误差、齿廓误差以及螺旋线误差。李刚、汪中厚等人[9-10]对数字化真实齿面的构建进行了深入研究。

本文在前人的基础上提出一种齿面空间评价方法，该方法首先基于拓扑修形齿面的成形原理，构建理论拓扑修形齿面模型；然后基于最小二乘法曲面拟合原理将获取的采样点差值拟合成实际齿面数学模型；最后将理论拓扑修形齿面与实际拓扑修形齿面相匹配，建立空间误差评定模型。

1 渐开线拓扑修形齿面数学模型

1.1 理论齿面成形原理

理论渐开线拓扑修形齿面模型建立过程：(1)建立渐开线齿轮端面方程；(2)齿轮端面绕齿轮轴线做螺旋运动形成渐开线螺旋面；(3)根据拓扑修形齿轮空间接触线形成原理得到接触线方程；(4)通过机床各主轴空间运动的叠加，加工出拓扑修形齿面。

1.2 拓扑修形理论齿面构建

图1 空间坐标系转换示意图

图2 齿轮端面截形示意图

图3 拓扑修形示意图

为了便于分析拓扑修形齿面，在齿轮上建立坐标系Og-XgYgZg，其中Zg轴与齿轮轴线重合；在砂轮上建立坐标系Ow-XwYwZw，其中Zw轴与砂轮轴线重合，a为齿轮轴线和砂轮轴线之间的最短距离，即中心距，两轴线的夹角即为砂轮安装角Σ，所建坐标系如图1所示。

齿轮坐标系转为砂轮坐标系的公式为(1)，砂轮坐标系转为齿轮坐标系的公式为(2)：

(1)

(2)

首先创建将齿轮端面方程沿着齿轮轴线做螺旋角为β的螺旋运动，形成渐开线螺旋面。在磨削时，砂轮表面与齿轮螺旋面在空间接触，接触条件为：渐开线螺旋面的法线与砂轮旋转表面的轴线相交。渐开线螺旋曲面的法线方程为

(3)

其中，(x,y,z)为齿轮空间螺旋面上的任意一点，(x1,y1,z1)为齿轮螺旋面与砂轮表面的接触点，(nx,ny,nz)为渐开线斜齿轮螺旋面上的法向矢量。

齿轮端面截形如图2所示，齿轮端面截形通过做螺旋参数为p的螺旋运动形成齿轮螺旋面，得到齿轮螺旋面方程为式(4)，其中，ξy是端面上M点的矢径方向与截形切线正方向间的夹角；δy是齿轮端面截形上M点位置的极角。

(4)

经过变换并化简得到接触线条件式为

(5)

式中

n1=rycosξy·(a+pcotΣ)/p2,

n2=acotΣ/p+(rycosξy)2/p2，

根据拓扑修形齿面的形成原理建立拓扑修形齿面，如图3所示。

2 渐开线拓扑修形实际齿面数学模型

2.1 拟合法构建实际齿面

曲面构建的方法主要分为两种：拟合法和插值法。当采样点精度较高时，适合采用插值法；当采样点精度较低时，适合采用拟合法。为了排除可能存在的系统误差，本文采用拟合法。

运用最小二乘法不断寻找距离采样点偏差最小的点，在Matlab中，polyfit(x,y,n)函数实际上就是运用最小二乘法的拟合原理，其中n越大，越接近离散点，但越不平滑。

2.2 实际齿面测量采样

在建立空间实际齿面之前需要对齿面进行采样，本文通过对实际齿面的测量来构建实际齿面。在某五轴三联动磨齿机床上进行，具体测量步骤：(1)对测头中心进行标定，即确定测头中心相对于齿轮坐标系原点的位置；(2)根据上述的标定值以及齿轮的几何尺寸，将测头运行到位于齿宽中心、齿轮分度圆处、齿轮轴心面处的位置；(3)根据上述操作确定测头中心的位置，通过触碰齿面，确定齿轮齿槽中心的位置；(4)根据公式(6)确定齿轮与机床主轴的联动关系，使得测头正好位于齿轮的齿槽中心，如图4(a)所示；(5)从齿面的左端面开始依次进行如图4(b)所示的齿形测量。

(6)

(a)齿形 (b)整体齿面 图4 齿面测量示意图

2.3 实际齿面数学模型及精度分析

通过得到的采样点构建空间齿面数学模型，根据机床主轴与测头之间的相对运动关系，将测量点转换到三坐标系中。并通过拟合法建立实际齿面的模型。

曲面重构技术是逆向工程中的核心技术之一。由于空间齿面中自变量x与y之间相互独立，所以在空间曲面拟合时可以分开拟合二维曲线。首先依据残差的定义，得出残差的个数等于采样点的个数，通过残差分析提供的信息，分析采样点是否可靠，以及采样点的周期性变化和外界干扰情况[11]。然后根据Matlab中评价曲线拟合效果的参数，在曲面拟合的过程中，不同的数据适应不同的拟合方法。为了寻找最佳拟合方法，Matlab中设定如下表1所示的参数来评价拟合效果，拟合残差如图5所示。利用Matlab中附带的cftool曲面拟合工具，可以通过曲面拟合的方法得出除了采样点以外的数值，选择合适的曲面拟合算法，通过误差参数来评定拟合效果。

图5 残差图

参数说明分析SSE和方差、误差平方和越接近于0拟合效果越好MSE均方差、方差均方差的值越接近于0拟合效果越好RMSE均方根、标准差均方根的值越接近于0拟合效果越好R-square确定系数反映线性化拟合的好坏,0～1之间,越接近1,表示方程的变量对函数的解释越强

最后，从以上评价参数中选取一个参数SSE，研究该参数与拟合曲线效果的关系，假设曲线方程为

φ(x)=P(xi,a0,a1,…，an)，

(7)

构造残差平方和函数为

(8)

式(7)展开表示为

φ(x)=a0φ0(x)+a1φ1(x)+…+anφn(x)，

(9)

假设φ0(x),φ1(x)，…，φn(x)线性无关，将式(9)代入式(8)得：

(10)

对式(10)求导得：

(11)

将式(11)中部分式子标记成

(12)

将式(12)代入式(11)得：

(13)

矩阵表示为

(14)

由式(14)得到解ai(i=0,1,2,…,n)，最后将解代入式(11)，得曲线拟合函数。

3 渐开线拓扑修形齿面空间评价试验

3.1 实验齿轮基本参数

基于齿面误差空间评价理论，以拓扑修形斜齿轮为研究对象，通过实验验证齿面空间评价的优势。齿轮基本参数为：齿数19，齿宽70 mm，压力角20°，法向模数5 mm，螺旋角20°，其余均为标准参数。其中，拓扑齿轮的修形方式为：在齿形方向折线修形，齿顶修形长度3 mm，齿顶修形量0.015 mm，齿根修形长度6 mm，齿根修形量0.01 mm；在齿向方向鼓形修形，最大鼓形量为0.02 mm。

3.2 实际齿面偏差

测量实际拓扑修形齿轮的一个齿槽，根据获取的采样点，基于实际齿面构建原理，构建实际齿面数学模型。齿面误差的定义为：采样齿面与设计齿面之间的偏差；测量误差的定义为：采样齿面与实际齿面之间的偏差；加工误差的定义为：实际齿面与设计齿面之间的偏差。由于本实验在齿面测量之前已经对测头的径向误差进行了补偿[12]，提高了测量精度，本文不考虑测量误差，将采样齿面视为实际齿面[13]。如图6(a)所示，是将实际齿面偏差去除修形量之后的整个齿面加工误差。从图6(b)中可以看出在齿根与齿顶的部分加工误差比较大。

(a)考虑修形量的齿面偏差云图 (b)考虑修形量的齿面偏差等高线图 图6 考虑修形量的齿面偏差

3.3 提取单项误差

空间评价体系还可以提取齿面上任意一条齿廓线的单项误差，如图3所示，将齿面分成左、中、右三个区域，依次表示为A区、B区、C区。将齿形误差以图表的形式显示，如图7所示。图7(a)从左到右齿形偏差依次降低，仅修形初期修形量较大；图7(b)从左到右齿形倾斜偏差逐渐升高，主要是由于修形改变中心距时引起的；图7(c)齿形的形状偏差较为稳定。

图7 全齿面误差变化趋势

4 结 论

本文提出的拓扑修形齿面空间评价方法具有以下特点：

(1)针对现有单项误差评定方法不能全面评价渐开线拓扑修形齿面的问题，采用齿面重构技术实现齿面空间评价方法。

(2)从空间层面上分析，实际齿面与设计齿面之间的偏差三维图可以分析齿面的整体加工情况，从加工误差的等高线图中可以看出齿面修形的残缺情况。

(3)从时间层面上分析，空间误差评价体系还可以提取单项误差，从齿廓偏差变化曲线图中可以分析在齿面修形过程中的加工误差变化。

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