雍龙泉

(陕西理工大学 数学与计算机科学学院， 陕西 汉中 723000)

绝对值函数φ(t)=t在t=0处不可微，鉴于绝对值函数在非光滑优化理论及变分不等式中具有重要意义，因此研究绝对值函数的光滑逼近函数具有重要的实际意义[1-6]。φ(t)=t等价于φ(t)=max{t,-t}，文献[7]给出了绝对值函数的光滑处理方法以及在摩擦接触问题中的应用；文献[8-13]给出了绝对值函数φ(t)=t的一些逼近函数，并分别应用于求解绝对值方程；文献[14]研究了极大值函数max{0,t}的一类光滑逼近函数；文献[15]研究了绝对值函数的上方一致光滑逼近函数和下方一致光滑逼近函数。

本文在上述文献的基础上，较为系统地给出绝对值函数的7个一致光滑逼近函数，从理论上分析这些光滑逼近函数的性质及逼近程度，最后指出了一致光滑逼近函数的应用前景。

定义1(光滑逼近函数)[15]给定非光滑函数f(t):=R→R，我们称光滑函数f(μ,t),μ>0为f(t)的光滑逼近函数，如果对任意t∈R，存在κ>0，使得

f(μ,t)-f(t)≤κμ， ∀μ>0。

如果κ不依赖于t，则称f(μ,t)为f(t)的一致光滑逼近函数。

1 一致光滑逼近函数

下面给出绝对值函数φ(t)=t的7个光滑函数φi(μ,t)，它们在(μ,t)∈R++×R上是连续可微的。φi(μ,t),i=1,2,…,7，定义如下：

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

图1—图3分别给出了μ=0.4,μ=0.2,μ=0.1时φi(μ,t),i=1,2,…,7与φ(t)=t的图像。

图1 μ=0.4时φi(μ,t),i=1,2,…,7与φ(t)=t的图像

图2 μ=0.2时φi(μ,t),i=1,2,…,7与φ(t)=t的图像

图3 μ=0.1时φi(μ,t),i=1,2,…,7与φ(t)=t的图像

2 一致光滑逼近函数的性质

下面给出7个光滑函数φi(μ,t),i=1,2,…,7的性质，因为篇幅的原因，证明省略。

命题1 函数φ1(μ,t)在(μ,t)∈R++×R具有如下性质：

(1) 0<φ1(μ,t)-φ(t)≤μln 4；

命题2 函数φ2(μ,t)在(μ,t)∈R++×R具有如下性质：

(1) 0<φ2(μ,t)-φ(t)≤μ；

命题3 函数φ3(μ,t)在(μ,t)∈R++×R具有如下性质：

(1) 0<φ3(μ,t)-φ(t)≤μln 2；

命题4 函数φ4(μ,t)在(μ,t)∈R++×R具有如下性质：

(1) 0≤φ4(μ,t)-φ(t)≤μ(1-ln 2)；

命题5 函数φ5(μ,t)在(μ,t)∈R++×R具有如下性质：

命题6 函数φ6(μ,t)在(μ,t)∈R++×R具有如下性质：

命题7 函数φ7(μ,t)在(μ,t)∈R++×R具有如下性质：