安徽省砀山中学(235300) 盖传敏

数学运算求解能力是数学核心素养当中最基础的一种能力,数学运算求解能力包括分析运算条件、探究运算方向、选择运算公式、确定运算程序等一系列过程的思维能力,也包括在实施运算过程中遇到障碍而调整运算的能力.笔者在平时教学中发现,由于运算出错而失分的情形屡见不鲜,这与在平时教学中不注重运算能力的培养,或培养方法不当有很大关系,下面笔者结合实例谈谈提高数学运算能力的几个有效途径,仅供参考.

途径1 认真分析运算条件,确保运算的准确性

例1在锐角△ABC中a,b,c分别是内角A,B,C所对的边,若C=2B,求的取值范围.

错解因为C=2B,由正弦定理知,又△ABC为锐角三角形,则,所以

评注充分挖掘已知条件、结论所隐含的信息是寻求合理、简捷、正确运算途径的必要条件.对本题而言,△ABC为锐角三角形,则,又因为C=2B,即,所以

途径2 灵活运用运算公式,确保运算的合理性

例2设α为锐角,若,则的值为___.

解析

思路1展开,结合cos2α+sin2α =1,求出sinα,cosα,运用和角公式及倍角公

思路2通过角的代换,运用式求解.和角公式及倍角公式求解.

评注对于思路1直接利用和角公式展开,通过一元二次方程求解,思路虽然清晰,但运算很难实施.思路2通过角的代换、转化,然后结合和角公式及倍角公式则轻松求解.运算能力的形成始于对算理、算法的认识,在定理、公式学习时,不能局限于定理、公式的记忆与模仿,而应重视它们的形成过程,理解认识问题的本质.

途径3 选择适当数学思想方法,确保运算的简捷性

例3求函数的值域.

思路1利用导数法求解

思路2利用数形结合求解

评注思路1求出导函数后,对于后续运算,学生往往难以进行,思路受阻;思路2通过数形结合把问题转化为直线的斜率来求解,运算过程简捷清晰.除此之外中学数学中常见的数学思想方法还有函数与方程思想、分类与整合思想、化归与转化思想等.

图1

途径4 总结运算技巧,确保运算熟练性

例4已知椭圆C;的离心率为在该椭圆上.

(1)求椭圆C的方程;

(2)过P(−1,0)的直线l与椭圆C相交于A,B两点,F为椭圆的右焦点,求△ABF面积的最大值及此时的直线方程.

解析(1)

思路1 直线的设法采用y=k(x−x0)+y0形式.

(i)若直线l的斜率不存在,则直线l的方程为x=−1,易得

(ii)若直线l的斜率存在且斜率为k,则直线l的方程为y =k(x+1),设A(x1,y1),B(x2,y2),联立直线和椭圆方程,得(1+4k2)x2+8k2x+4k2−4=0所

综上可知当直线l的方程为x=−1时,△ABF面积取最大值,最大值为

思路2直线的设法采用x=my+n形式

由题意可知直线l的斜率不为0,故设直线l的方程为x=my−1,A(x1,y1),B(x2,y2),联立直线和椭圆方程,得(4+m2)y2−2my−3=0,所以

评注思路1在设直线方程y=k(x−x0)+y0时,要注意对斜率k进行分类讨论;除此之外在求解最值时,运算比较繁杂,对部分同学来说半途而废.思路2通过设直线方程x=my−1巧妙地避免了对直线斜率的讨论,同时在解题过程中简化了运算,提高了运算效益.

总结

数学运算能力与其他的数学能力密切相关,培养和发展学生数学运算能力是数学教学的重要任务,在培养学生数学运算能力的过程中,不仅要考虑到运算准确性的一般要求,还要深入研究数学运算的合理性,以及数学运算的技巧性和灵活性.通过课内、课外适量训练,培养学生良好的运算习惯和优秀的思维品质,面对数学问题能较熟练地进行分析与求解,全面提高学生的数学运算能力.

[1]教育部考试中心.普通高等学校招生全国统一考试大纲的说明(理科)[M].北京:高等教育出版社,2017:160.

[2]张岚.基于数学核心素养的解析几何教学–谈数学运算能力的提升[J].中学教研,2017(5):27-29.

[3]施晓霞.高三数学复习中要注重培养学生的运算能力[J].数学通讯,2010(1):46-48.