广东省佛山市实验中学(528061) 谢伟帆

一、试题呈现

题目1正三角形ABC 的边长为2,将它沿高AD翻折,使点B与点C间的距离为,求此时四面体ABCD外接球表面积.

题目2(2018年广州市高三年级调研测试题)如图1,网格纸上正方形小格的边长为1,图中粗线画出的是某三棱锥的三视图,求该三棱锥的外接球的表面积．

题目3(2018年佛山市一模文科)平面四边形ABCD中,,AC=4,沿直线AC将ACD翻折成ACD′,当三棱锥D′−ABC的体积取到最大值时,求该三棱锥的外接球表面积.

二、分析

根据题目1,题目2,题目3画出的立体图分别为图2,图3,图4,其中图4中面ACD′⊥面ABC.不难看出,三题都有一个共同的特点,均有两个面相互垂直,在高考及各地模拟卷中,这种情况经常出现,笔者思考能否建立一个模型来解决这类问题.

图2

图3

图4

三、建立模型

建立如图5模型,球O为几何体的外接球,面O1⊥面O2,面O1∩ 面O2=MN,取MN 中点为 P.易证 OO1⊥ 面 O1,OO2⊥面 O2,O1P⊥MN,O2P⊥MN,四边形OO1PO2为矩形.由于几何体有两个面相互垂直,因此顶点分别在圆O1,O2上.外接球半径

图5

|O2M|为圆O2的半径长,

代入①得到r的第二种表示

四、模型的应用

下面用这个模型来解释上述题目.

题目1的解析易证AD⊥面BCD,则面ABD⊥面BCD,△BCD的外接圆为O2,△ABD的外接圆为O1.△BCD中已知三边,利用余弦定理求出任意一角余弦值,并求出正弦值,再利用正弦定理求得圆O2的半径,即|O2M|=1,由于AD⊥面BCD,所以AB为圆O1的直径,圆心O1为AB中点,|O1P|表示圆心O1到面O2的距离,,利用①式,外接球半径.这比文[1]的解法简洁,也解释了侧棱垂直底面时,高必然为侧棱一半这个结论.

题目2的解析因为CD⊥面ABD,可证面ABD⊥面BCD,△ABD的外接圆为O2,△BCD的外接圆为O1,圆O2的半径可以利用正弦定理求得,圆心O1为BC中点E,类似题1的做法,利用①式,外接球半径

题1,题2可以归类为侧棱垂直底面的情况,当然,题2需要转化一下,将面ABD作为底面,事实上,上述两题也可以利用公式③进行求解,这里不再赘述.

题目3的解析面ABC⊥面ACD′,并不存在侧棱垂直底面,这时候利用公式③会比较简洁.△ABC的外接圆为O2,△ACD′的外接圆为O1,面ABC∩面ACD′=AC,即AC为模型中的MN,|MN|=|AC|=4,因为△ABC =△AD′C,利用正弦定理求得外接圆半径|O1M|=|O2M|=,利用③式,

注记当几何体有两个面相互垂直,如果有侧棱垂直底面时,利用第一种表示,即公式①会更加简洁,否则利用第二种表示,即公式③,事实上,公式③的适用范围更广,更具有一般性.

[1]谢伟帆.一道立体几何题的思考[J].中学数学研究2017,(3):42-43.