广东省华南师范大学附属中学(510630) 赵炜

在高中数学函数性质这一章的学习过程中,奇偶性无疑是最为重要的性质之一.当然,奇函数是中心对称函数的特殊情况,偶函数是轴对称函数的特殊情形.一般地,我们可以利用函数对称性解决很多问题.通常来说,学生只要找到这类问题的切入点,并不会觉得此类问题特别困难.但是笔者在最近一段时间的教学中发现这类问题变化多端,大部分学生并不能举一反三,类比发散.本文将通过数例对这一类问题进行一番抽丝剥茧,探本寻源.

一.一般函数的对称性问题

例1(2012全国文科第16题)设函数的最大值为M,最小值为m,则M+m=___.

解法一

解法二,x∈R,故f(x)+f(−x)=2.即 f(x)关于 (0,1)对称,由图像性质知f(x)max+f(x)min=2.

评注本题先将原函数进行化简,然后利用到定义在R上的奇函数最大值与最小值之和为0这一重要性质,并未真正求得M与m.一部分同学并未看到这一点,而尝试用导数的知识分别去求M 和m的具体数字,就会深陷泥沼,无法自拔了.

例2若函数在区间[−k,k](k＞0)上的值域为[m,n],则m+n等于( )

A.0 B.1 C.2 D.4

解析

所以f(x)关于(0,2)对称.所以f(x)max+f(x)min=4,即m+n=4.故选D.

评析1.例1中奇函数最大值与最小值之和为0这一结论只对形如[−k,k]型的定义区间成立.

2.例1中的解法二仍然适用于本题,但是解法一就不适用于本题了,因为并不是奇函数.所以解法二才是本质的,解法一只是表面的,并不适于一般情况.那些通过死记硬背记住解法一结论的同学在本题中不经过变通就会遇到很大的困难.

例3(第八届陈省身杯浙江赛区复赛)已知函数,其中a,b,c为实数.若f(lnlog521)=17,则f(lnlog215)=___.

解析,所以lnlog21 =5−lnlog215.又 f(x)+f(−x)=40,所以 f(lnlog215)=40−f(lnlog521)=23.

评析本题除了考察正切函数,幂函数的奇偶性,还考察了对数的换底公式和函数的奇偶性,综合性较高.

二.有关三次函数的对称问题

例4设实数α,β分别满足方程α3−3α2+5α−4=0,β3−3β2+5β −2=0,则α+β =___.

方法一整理得(α−1)3+2(α−1)−1=0,(1−β)3+2(1−β)−1=0,即α−1,1−β为方程x3+2x−1=0的解.而x3+2x−1=0只有一个实数解,则α−1=1−β,所以α+β=2.

方法二整理得(α−1)3+2(α−1)=1,(β−1)3+2(β−1)= −1,即对于函数f(x)=x3+2x,满足f(α−1)=1,f(β−1)=−1.又f(x)为奇函数,所以α−1=−(β−1),所以α+β=2.

评析方法一的变形很有技巧性,需要很强的观察能力与代数变形能力.方法二利用奇偶性来解决问题,相对来说比较容易想到.但是不论方法一还是方法二,都间接用到了“三次函数是中心对称的”这一性质.

一般的三次(函数)f(x)=ax3+bx2+cx+d都有对称中心(见[1]),这是隐藏在这类题目下的本质原因.因此解题时只要向此方向上化归,本类题目一般都可迎刃而解.

例5设函数f(x)=x3+3x2+6x+14,且f(a)=1,f(b)=19,则a+b=___.

解析经变形得f(x)=(x+1)3+3(x+1)+10,故f(x)的图像关于点(−1,10)对称.由于,故点(a,f(a))与(b,f(b))关于点(−1,10)对称,所以a+b=−2.

评析此题又与上题的问法不同,而且从题干很难直接看出f(x)的对称中心.如果没想到从对称性来入手,则很难下手解出a,b的具体数值.

例6(河南省郸城县第一高级中学2016-2017高一上学期第二次月考)已知函数f(x)= −x−x3,α,β,γ∈R且α+β＞0,β+γ＞0,γ+α＞0,则f(α)+f(β)+f(γ)的值( )

A.恒为正数 B.恒为负数

C.恒等于零 D.可能大于零,也可能小于零

解析由题意得f(x)为奇函数且f(x)单调递减.α+β＞0⇔α＞−β⇔f(α)＜f(−β)⇔f(α)＜−f(β),从而有f(α)+f(β)＜0,同理可得 f(β)+f(γ)＜0,f(γ)+f(α)＜0.三式相加得2(f(α)+f(β)+f(γ))＜0,故选B.

三.总结

此类有关函数对称性的问题难度颇大,在高考经常出现在选择填空的压轴题部分,在数学竞赛中也时有出现.透过以上几例可以看出,尽管此类对称性问题涉及的知识点是基础的、熟悉的,但是它的变化却是丰富的,巧妙的,甚至有些时候出题的方式很怪,导致大部分学生并不能识破出题者的“套路”.另外,三次函数是一类比较特殊的对称函数,命题者常常从此角度出发编出新题.因此,只有把握这类问题的对称本质,并通过适当的练习掌握一般的出题套路,才能有的放失,达到以不变应万变的境界.

强化练习题

1.设函数f(x)=x3+6x2+13x+13,且f(a)=1,f(b)=5,则a+b=____.

2. 设函数f(x)= sinπx+x3−6x2+12x+,若f(lg5)= 5,则f(lg2000)=____.

(答案:1.−4;2.4050.)

[1]管宏斌.三次函数对称中心初探[J].数学通讯,2004(15):25-26.