立体几何中动点轨迹的长度问题

2018-04-23云南省玉溪第一中学653100武增明

中学数学研究(广东) 2018年5期

云南省玉溪第一中学(653100) 武增明

在高考、竞赛中,经常出现短小精悍、新颖别致、设计独特、能力立意高、很灵活的空间中求一动点轨迹长度的小题,以考查同学们的空间想象能力和构造图形的能力.这类问题往往会与垂直、投影等有关,要解决这类问题,首先需根据题意,利用圆的定义、线段的定义、平面截球、平面截柱体及锥体、台体所得截面图形等等确定轨迹是何种图形,再根据图形的形状求其长度.通常这一图形是可求周长、长度的图形,如圆、圆的一部分弧、三角形、矩形、线段、折线段、多边形等.现采撷几例加以分析,以期对提高同学们的空间想象能力和构造图形的能力有所帮助,同时也供同仁教学参考.

例1已知等边△ABC边长为2,动点P在边AC上,现将△ABP沿直线BP折起来,使二面角A′−BP−C成直二面角,则点A′在平面BPC内的射影H的轨迹长度为___.

图1

图2

解析如图1所示,因为二面角A′−BP−C为直二面角,所以若使 A′H⊥ 平面 PBC,则 A′H⊥PB,由△A′HB=△AHB,知AH⊥PB.即无论点H 在什么位置,恒有AH⊥PB,所以点H的轨迹是以三角形边长AB为直径的圆的一部分,如图2.容易知道,这段弧长刚好为半个圆周长的,即长度为

图3

例2如图3,在矩形

图4

解析由题意,因D′H⊥AE,所以 H 的轨迹是以AD为直径的一段圆弧.如图4,设AD的中点为O,因为长方形ABCD中,,所以.又因为∠DAC为锐角,且,可得,因此,.可得H所形成的轨迹,也就是弧DF的长度为,故选A.

例3正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1,点P为侧面BB1C1C内的动点,且满足PA=2PB,则点P所形成轨迹图形的长度为____.

图5

解析根据题意,点P为正方体侧面BB1C1C内的动点,AB⊥PB,如图5所示.根据勾股定理,得AB2+PB2=PA2,又PA=2PB,AB=1,故,即.根据圆的定义,点P的轨迹是以B为圆心,半径为的圆,因点P在平面BB1C1C 内,所以点P的轨迹的长度为圆周长,即.

评注本题也可以采用建立空间直角坐标系的方法求出点P的轨迹方程,根据方程判断轨迹为圆,再从实际问题入手,求出这一部分圆的长度.一般地,在解决立体几何中动点的轨迹图形问题时,通常可以采用先建立坐标系求曲线方程,通过方程再判断曲线类型的方法解决.当然,更直接的方法是通过曲线的定义直接判断曲线类型,进而求解.

例4正四棱锥S−ABCD的底面边长为2,高也为2,E为BC边的中点,动点P在四棱锥的表面上运动,并且总有PE⊥AC,则动点P的轨迹的周长为( )

图6

解析因为动点P在正四棱锥的表面上运动,且总保持PE⊥AC,故点P落在过点E且与AC垂直的平面内.根据线面垂直的判定定理,如图6所示,找到满足条件的点P的轨迹为△EFG的三条边,其周长显然为△SDB的周长的一半.由,易知△EFG的周长为（）

例5点P为棱长是2的正方体ABCD−A1B1C1D1的内切球O球面上的动点,M 为B1C1中点.若满足DP⊥BM,则动点P的轨迹的周长为____.

图7

解析根据DP⊥BM可知,过定点D的动直线DP与直线BM一定垂直,所以直线DP在过点D且与BM垂直的平面内.又因为点P在正方体的内接球面上,所以点P的轨迹是正方体的内切球面与过D点与BM垂直的平面相交得到的小圆.如图7所示,取棱BB1的中点N,连结CN,则CN⊥BM,则平面DCNQ即为所求的正方体内切球的截面.因为正方体棱长为2,易求球心O到该平面的距离,即(E为侧面中心,且EH⊥CN),截面小圆的半径为,所以点P的轨迹的周长为.

评注本题的关键是确定动点P的轨迹,即点P即在球面上,又在过点D且与直线BM垂直的平面上,得到平面与球面的交线小圆;再利用球的半径和球心与截面距离求小圆的半径.

例6如图8,在边长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中,E,F,G,H分别是CC1,C1D1,D1D,CD的中点,N是BC的中点,M在四边形EFGH上及其内部运动.若MN//平面A1BD,则点M的轨迹长度是()

图8

解析由题设知,只要找到点M轨迹与点N组成平面和平面A1BD平行即可,而找面面平行,结合条件先找线线平行较好.因为题中有如此多的中点,中位线定理证直线平行唾手可得:GH//D1C//A1B,HN//DB,所以平面GHN//平面A1BD,因而点M的轨迹为线段GH,其长度为.

例7在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中,M,N分别是AC1,A1B1的中点.点P在正方体的表面上运动,则总能使MP与BN垂直的点P所构成的轨迹的周长等于___.

解析MP是动直线,BN是定直线,要使它们垂直,只要找BN垂直MP形成的平面.但此题设计得略胜一筹是此面难找,故退而求其次,易找BN⊥面B1C1EF,然后再将面B1C1EF往上移至过点M 即可.显然,点P轨迹周长就是原矩形B1C1EF的周长,易求周长为.

例8如图9,在三棱锥A−BC D中,∠BAD=90°,.若点P为△ABC内的动点,且满足直线DP与平面ABC所成角的正切值为2,则点P在△ABC内所成的轨迹长度为____.

图9

图10

解析由∠BAD=90°,AD⊥BC,知AD⊥平面ABC.为了方便理解,将图9放置成如图10(1),再由DP与平面ABC所成角的正切值为2,AD=4求得AP=2.所以,点P轨迹是以点A为圆心,2为半径的△ABC内的圆弧长,如图10(2),弧MN 在形外,不计.易求得,所以,在△ABC内所成的轨迹长度为.

评注从学生解题情况看来,由于原图摆放的位置不符合视觉习惯,学生不易观察分析P的轨迹如何,还有学生误解点P的轨迹全在△ABC内而出错.本题反映了立体几何对空间想象能力有较高要求.

例9正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1,在正方体的表面上与点A距离为的点形成一条曲线,这条曲线的长度为____.