石业娇

(大连海洋大学 应用技术学院，辽宁 大连 116300)

许多学者采用数值分析方法研究了Fredholm方程.[1]提出了指数近似法以获得Fredholm延时微分方程的近似解.[2]为分数Fredholm延迟积分微分方程提出了一种谱配置方法.[3]为利用线性泛函变元求解广义Fredholm方程提出了一种有效的算法.[4]基于广义Fredholm方程数值解的Bernoulli运算矩阵提出了一种新的配置方案.[5]为解决半无限域上的广义Fredholm方程提出了一种新的Jacobi rational-Gauss配置法.

本文提出一种使用Laguerre多项式在半无限区间近似广义分数阶Fredholm方程的解的新方法.对于具有m个初始参数的广义n阶分数阶Fredholm方程，采用更可靠的广义Laguerre谱配置(generalized Laguerre polynomials, GLC)近似.同样，将区间(0,)内广义Laguerre-Gauss正交的(N-m+1)个节点用作合适的配置点，由此产生的方程和从初始参数中获得的方程由(N+1)个代数方程组成，这些方程可以采用任何标准数值方案求解.数值结果显示谱方法具有指数收敛行为.

1　提出的方法

1.1　基本定义

Riemann-Liouville算子[9]和Caputo算子[10]为两个最常使用的定义.分数阶微分的一些定义和性质描述如下.

定义1n阶Riemann-Liouville分数积分算子(n>0)的定义为：

K0f(x)=f(x).

定义2n阶Caputo分数导数的定义为：

m-10

式中Fm为m阶经典微分算子.对于Caputo导数：

FnC=0(C为一常数),

(1)

其中「n」和⎣n⎤分别为ceiling和最低值函数，而N={1,2,…}和N0={1,2,…}.Caputo的分数微分为类似于阶分化的线性运算.

Fn(λf(x)+μg(x))=λFnf(x)+μFng(x),

(2)

式中λ和μ为常数.

1.2　广义拉盖尔多项式

令Λ=(0,)和ω(a)(x)=xαe-x为Λ上的加权函数.定义内积和规范：

令Γ(x)为Gamma函数，则需要注意的是：

(3)

(4)

1.3　广义拉盖尔多项式插值近似

介绍了拉盖尔-高斯型求积分公式，该公式包含Laguerre Gauss和Laguerre-Gauss-Radau.

1.4　广义Laguerre-Gauss配置方法

谱配置方案的主要思想是将问题的近似解扩展为有限个正交多项式的和，并接着求系数以尽可能最小化误差.本节将使用广义拉盖尔-高斯配置方法来求解以下模型问题.

(5)

(6)

式中ain、λi和λsn为实数或复数系数，m-1

首先介绍基本符号.设置SN(0,)定义离散内积与范数：

所以，对于任意u∈SN(0,)和相同.与正交规则相联系，使用R表示广义的拉盖尔-高斯插值，

求解(5)和(6)的广义拉盖尔-高斯配置方法需寻找uN(x)∈SN(0,)，

推导求解(5)和(6)的拉盖尔-高斯配置方法.令

(7)

首先近似Fnu(x)和Fγnu(x)，如式(7).通过代入方程(5)中的这些近似，得到：

推出，

(8)

代入方程(7)，得到：

(9)

在广义拉盖尔-高斯插值点处组合方程(8)，得到：

(10)

使用(9)后，可将方程(10)写作：

使用任意标准求解器技术，对于未知系数as,s=0,1,2,…,N，结合方程(7)和(8)可以生成代数方程.

2　案例分析

利用现有方法数值求解了在半无限区间上系数可变的两个广义的分数阶Fredholm方程以证明其精度和性能.给定表中的绝对误差为所选点处|u(x)-uN(x)|值.

例1考虑系数可变的以下广义分数阶Fredholm方程

(11)

表1列出了不同α和N=22时利用广义拉盖尔配置法获得的绝对误差.表中的数值结果表明其结果是精确的.方程(11)的结果如图1所示.

表1例1中N=22时使用GLC的绝对误差

Tab.1　Absolute errors using GLC method at N=22 for Example 1

xα=1α=2α=30.10.00015700.0053740.014000.20.00014960.0067670.019730.30.00083250.0061920.020770.40.00015460.0049080.019550.50.00027400.0036410.017480.60.00038510.0027530.015640.70.00022010.0023720.014480.80.00012840.0024810.014190.90.00055590.0029890.014801.00.00097680.0037730.01620

3　结束语

提出了一种新的方法来求解半无限域内系数可变的包含有线性泛函参数广义分数阶Fredholm方程.为了求解这个问题，提出了基于广义Laguerre-Gauss插值节点的广义拉盖尔配置近似，从该方法中可以获得许多配置技术作为特殊情况.此外，数值结果证明了提出方法的正确性和适用性.未来会将提出的方法应用于其他的数值实例，进一步探讨提出方法的优缺点，从而提出更加简单有效的求解方法.

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[5]邵殿国, 宋代清, 谷晶. Stochastic maximum principle of forward backward stochastic fredholm systems with random jumps[J]. 吉林大学学报理学版, 2015, 53(4): 655-657.

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