浅析直角三角形中特殊角的三角函数值的记忆法

2018-03-26朵兴智韩润柏

中学课程辅导·教师通讯 2018年2期

朵兴智韩润柏

初中学生到了九年级就开始接触直角三角形的边角关系，即锐角三角函数的知识，这部分知识在计算物体的高度、宽度等实际问题中应用比较广泛，学生在学习这部分知识时对公式的掌握较好，但在应用的过程中，往往对特殊角的三角函数值容易出现张冠李戴现象。究其原因是对特殊角的三角函数值的记忆不牢靠。现介绍几种记忆特殊三角函数值的方法，供大家参考。

一、玩三角板法

此方法学生只需画一副三角板即两个直角三角形就可以了。如图1、图2

图1是锐角为30°与60°的直角三角形。设三角形中30°角的对边等于1，再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，就可以推出直角三角形的斜边长为2，再根据勾股定理算出另一条直角边长为3，最后根据正弦；余弦；正切的定义公式计算30°与60°角的三种三角函数值即可。如：sin30°=对边：斜边=1：2；tan30°=对边：邻边=1：3；其它几种30°与60°角的三角函数值以此类推。

图2是锐角为45°的直角三角形。设两条直角边的长为1、1，根据勾股定理推算出斜边长为2。最后根据正弦；余弦；正切的定义公式计算45°角的三种三角函数值即可。如：sin45°=cos45°=22； tan45°=cot45°=1。学生在应用中只需记住这两个图形即可。这样既可以锻炼学生的动手能力，又可以培养学生的数形结合的数学思想；而且还减轻了学生记忆的负担。

二、规律法

此方法先让学生列如下所示的表，学生通过观察表中三角函数值的变化规律，即可得到以下结论：正弦值随角度变化，即0°→30°→45°→60°→90°变化；值从0→12→22→32→1变化，余弦值随角度的变化规律：即0°→30°→45°→60°→90°变化；值从1→32→22→12→0变化；正切值随角度的变化规律：即0°→30°→45°→60°→90°变化；正切值从0 →33→1→3→不存在。在此基础上可以让学生进一步归纳出每一种三角函数的增减性，且对于特殊角的三角函数值而言，数值无非就是0；1；12；22；32；这几个，所以学生如果掌握利用三角函数的增减性归纳出每种三角函数特殊角的函数值的变化规律，就能很熟练的记住特殊角的三角函数值。

三、口诀记忆法

口诀是：“一、二、三，三、二、一，三、九、二十七，弦是二，切是三，分子根号不能删.”前三句中的1，2，3；3，2，1；3，9，27，分别是30°，45°，60°角的正弦、余弦、正切值中分子根号内的值.弦是二、切是三是指正弦、余弦的分母为2，正切的分母为3.最后一句，讲的是各函数值中分子都加上根号，不能丢掉.如tan60°=273=3，tan45°=93=1.这种方法有趣、简单、易记。

例1tan30°的值等于（）

A. 12B.32C.33D. 3

分析：本題就是典型的考察特殊角的三角函数值的记忆，学生完全可以通过上述方法解决，比如，可以画一副三角板就能把问题解决。

解：选C.

评注：设三角形中30°角的对边等于1，再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，就可以推出直角三角形的斜边长为2，再根据勾股定理算出另一条直角边长为3，再根据三角函数的定义公式就足矣。

例2如果∠α是等腰直角三角形的一个锐角，则的值是（）

A.12B.22C.1D.2

解析：此题主要考察等腰三角形的性质和特殊教的三角函数值的记忆，具有一定的综合性，因为等腰直角三角形的锐角是45度，所以tanα=tan45°=1，故选C。

评注：对于45度角的正切值没记住的学生可以采用玩三角板法，也可以采用口诀法和规律法，但这个题是综合题，就有它独特的解法，我们可以借助等腰三角形的性质及勾股定理的有关知识就能解决问题。

例3已知，且∠A为锐角，则∠A=（）

A.30°B.45°C.60°D.75°

解析：此题主要考察学生的逆向思维30度角的正弦值是12，故选A.